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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 20222022 学年 第 1 学期概率论与数理统计 46 学时 A一、单项挑选题（本大题共5 小题,每道题 3 分,共 15 分）；1、 A、B为两个随机大事,如P AB0,就（B） AB 肯定是不行能大事；2 （A） A、B肯定是互不相容的；（C） AB 不肯定是不行能大事；（D）P A0或P B0. 2、二维离散型随机变量X Y 的分布律为Y0 1XF x y 为 X Y 的联合分布函数,就F1 1/6 1/3 0 2 1/4 1/6 1/12 1.5,1.5 等于名师归纳总结 （A）1/6 ；（B）1/2 ；第 1 页,共 25 页（C
2、）1/3 ；（D）1/4. 3、 X、Y是两个随机变量,以下结果正确选项（A）如E XYEXEY , 就 X、Y独立；（B）如 X、Y不独立 , 就 X、Y肯定相关；（C）如 X、Y相关, 就 X、Y肯定不独立；（D）如D XYDXDY , 就 X、Y独立 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4、总体XN ,2,2均未知,X1,X2,L,Xn为来自 X 的一个简洁样本,X 为样本均值,2 S 为样本方差；如的置信度为 0.98的置信区间为 XcSn Xc Sn ,就常数 c 为（A）t 0.01 n 1；（B） 0.01 n ；（C）t 0.02 n
3、 1；（D） 0.02 n . 5、随机变量 X 1 , X 2 , L , X n 独立且都听从 N 2,4 分布,就 X _ 1 nX i 听从n i 1（A）N 0,1；（B）N 2,4 n ；（C）N 2 , 4 n ；（D）N 2, 4 . n二、填空题（本大题共 5 小题,每道题 3 分,共 15 分）；6、已知 A、 为两个随机大事,如 P A 0.6, P AB 0.1, 就 P A AB =1. 7、已知随机变量 X 听从区间 0, 2 上的匀称分布,就 E 2 X =（）. 2 ,0 x 18、已知连续型随机变量 X 的概率密度函数为 f x ,就概率 P | X | 1
4、2 = 0, 其它（）.1 29、随机变量 X : b 3, , Y : b 3, ,且 X Y 独立,就 D X Y =（）. 3 310 、 已 知 随 机 变 量 X i , i 1,2,3 相 互 独 立 , 且 都 服 从 N 0,9 分布, 如 随 机 变 量2 2 2 2Y a X 1 X 2 X 3 : 3,就常数 a =（）.三、解答题（本大题共6 小题,每道题 10 分,共 60 分）；11、已知一批产品中有 95%是合格品,检验产品质量时,一个合格品被判为次品的概 率为 0.04 ,一个次品被判为合格品的概率为 0.02 , 从这批产品中任取一个产品,求其被判为合格品的概
5、率；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 12、已知离散型随机变量 X 的分布律为X-1 0 1 1 1aP 2a 4 4（1）求常数 a ；（2）求 X 的分布函数 F x . 13、设连续型随机变量 X 的分布函数为：名师归纳总结 F x B1ex,xx00f x . 第 3 页,共 25 页2（1） 求常数Aex,A B ；（2）求 X 的概率密度函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 14、二维连续型随机变量X Y 的概率密度函数为f x y , a , 0x1,|y|x
6、,0,其它（1）求常数 a ；（2）求概率P X2Y . X:N8,2,0 ,且由以往观测的15、某种清漆的干燥时间（单位：小时）数据可知,此种清漆的干燥时间在8 至 10 小时之间的概率为0.2881 ,已知0.80.7881 ,6 小时的概率；（1）求的值；（2）求此种清漆的干燥时间不超过16、总体 X 的概率密度函数为f x x ex 22 ,x0,其中0 是未知参数,名师归纳总结 X 1,X2, L,Xn0,其它的最大似然估量量. 第 4 页,共 25 页是来自 X 的一个简洁样本,求- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 四、解答题（本大题共 1
7、个小题, 5 分）；17、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为f x ex,x0,如随机变量0,其它1,X1Y0,1X2, 求 EY .1,X2五、证明题（本大题共1 个小题, 5 分）；名师归纳总结 18、随机变量X Y 都听从 0-1 分布,即 X 的分布律为101 p 1, Y 的分布律为第 5 页,共 25 页p 1101, 其中0p 1,p 21. 证明： X、Y不相关是 X、Y独立的充要条件；p 2p 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 20222022 学年 第 1 学期概率论与数理统计 A卷一、单项挑选题（本大题共5 小题,每道题 3
8、 分,共 15 分）；1、抛两颗匀称骰子,如已知两骰子显现的点数和为 5,就其中有一颗骰子显现的点数是 3 的概率为（A）1/9 ；（B）1/2 ；（C）1/18 ；（D）1/4. 2、大事 A、B 独立,且 P B 0,就以下命题不正确选项_ _ _ _ _ _（A） A B、 独立；（B） A B、 独立； （C）P A B P A ； （D）P A B P B .3、设随机变量 X 的分布函数为 F x ,就 P X a 等于（A）F a ；（B）F a _；（C）0；（D）F a F a _ . 4、随机变量 X、Y 相互独立,且 X : N 1,1,Y : N 3,2,就 D 3 X
9、 Y 2 等于（A）3；（B）7；（C）11；（D）14. 5、设总体 X : N 0,1,X 1,X 2,X 3,X 4 是来自 X 的一个简洁样本,如 a X 12 X 22 : t 2,X 3 X 4就常数 a 是名师归纳总结 （A）1；（B）2 ；（C）1/2 ；（D）12 . 第 6 页,共 25 页二、填空题（本大题共5 小题,每道题 3 分,共 15 分）；6、已知离散型随机变量X 的分布律为X1012,就概率P 2X1=P0.20.30.10.4（）7、如二维随机变量 X Y 听从区域 x y , : 0x1,0y2上的匀称分布,就 X Y 的联合密度函数f x y =（）8、
10、 X、Y为两个随机变量,且 3XY1,就XY（）9、一系统由100 个独立工作的部件构成,各个部件损坏的概率都为0.1,已知必需有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 87 个以上的部件完好,才能使整个系统正常工作；由中心极限定理,整个系统 不能正常工作的概率近似为（）.（已知 1 0.8413 ）. 10、已知某木材横纹抗压力 X : N , 2（单位：公斤 / 平方厘米）,现随机抽取 X 的_一个容量为 9 的样本,测得样本均值 x 457.5,样本标准差 s 30.3,就 的置信度 为 0.95 的 置 信 区 间 为 （）（ 已 知 t 0.025
11、8 2.31,t 0.0259 2.26,t 0.058 1.86）. 三、解答题（本大题共 6 小题,每道题 10 分,共 60 分）；11、某工厂有三种机床：钻床、磨床和刨床,它们的台数之比为 5：3：2,它们在肯定的期限内需要修理的概率分别为 0.1 ,0.2 ,0.3. 期限到后,随机抽检一台机床,发现其需要修理,求这台机床为钻床的概率；ax 2,0x112、已知连续型随机变量X 的概率密度函数为f x 0,20,x,x1x2,（1）求常数 a ；（2）求概率P1 2X3 2. 其它0名师归纳总结 13、已知连续型随机变量X 的分布函数为F x A x,0x1/ 9,f x . 第 7
12、 页,共 25 页（1）求常数A B ；（2）求概率P 0XB ,x1/ 91 16；（3）求 X 的概率密度函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 14、已知二维连续型随机变量X Y 的联合概率密度函数为2f , x y 6 xy , 0 y 1, y x 1,0, 其它（1）求概率 P X Y ；（2）求出边缘密度函数 f X , f Y y ,并判定 X Y 是否相互独立；15、已知二维离散型随机变量 X Y 的联合分布律为（1）分别求出 Y、-1 0 1 2 Cov X Y . X-1 0.1 0.05 0.05 0.1 0 0.1 0.15 0
13、 0.05 1 0.05 0.05 0.15 0.15 X Y 关于 XY的边缘分布律；（ 2）求名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 16、已知总体 X 的概率密度函数f x ex5 ,x5, 其中0是未知参数,0 ,x5X1,X2,L,Xn是来自总体 X 的一个简洁样本 ,求的最大似然估量量. 对数似然函数nlnL nlnx i5.5i1令 d ln 0 n n x i 5 0.8d i 1的最大似然估量量 n n .10 X i 5i 1四、解答题（本大题共 1 个小题, 5 分） . 17、过点 0, b 随机
14、作一条直线, Y 表示坐标原点到所作直线的距离,求 EY .五、证明题（本大题共 1 个小题, 5 分）；名师归纳总结 18、 X 为连续型随机变量,随机变量YeX,0 , 如 EY 存在,证明：对任何实数a ,都有P XaeaE eX.第 9 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 20222022 学年 第 1 学期概率论与数理统计 A卷一、单项挑选题（本大题共5 小题,每道题 3 分,共 15 分）. 1. 设A B 为两个随机大事,其中0P B1,如P A B=P A B , 就必有20有（A）大事AB；（B）大事A B互不相容 ；（
15、C）大事BA；（D）大事A B相互独立 . 0,x02. 设随机变量 X 的分布函数为F x 1 2,0x1,就P X1等于2 3,1x31,x3（A）2/3 ；（B）1/2 ；（C）1/6 ；（D）0. 3. 设 X 听从区间 0,5 上的匀称分布,就关于t 的一元二次方程4 t24XtX实根的概率为名师归纳总结 （A）0.6 ；（B）0.4 ；（C）0；（D）1. 第 10 页,共 25 页4. 随机变量 X 和 Y 独立同分布,方差存在且不为 A U 和V肯定不独立； B 0. 记U X Y , VU 和V肯定独立；XY , 就C U和V肯定不相关； D 以上选项都不对 . 5. 总体
16、X 的分布为N0,1,X1,L,X5为取自 X 的简洁样本,就以下选项 不正确 的是A X22X1X2 4； B 2X2X2X2XX2F2,3；123L324525C X1L5X5 N0,1； D X2X22X3222. 1二、填空题（本大题共5 小题,每道题 3 分,共 15 分） . 6设A B 为随机大事,P A0.5,P AB0.2,就P AB =（）. 0,x17. 设连续型随机变量X 的分布函数为F x karcsinx2,1x1,就常数 k =1,x1（）. 8已知X Y 相互独立 ,DX4,DY1, 就D2XY =（）. - - - - - - -精选学习资料 - - - -
17、- - - - - 9随机从一批香烟中抽取16 包测其尼古丁含量的毫克数,从抽取的样本算得样本均值 x 25.5,样本标准差 s 2.4 . 设香烟中尼古丁含量的分布是正态的,就总体均值的置信度为 95%的置信区间为（）（已知 t 0.02516 2.1199,t 0.02515 2.1315,t 0.0515 1.7531）10某保险公司接受了某辖区内 600 辆电动自行车的保险, 每辆每年的保费为 50 元如车丢失,就得赔偿车主 1000 元假设车的丢失率为 1 25. 由中心极限定理,保险公司这年亏损的概率为（）（已知 1.25 0.8944, 2.5 0.9938 ）三、运算题（本大题
18、共 6 小题,每道题 10 分,共 60 分）. 11某商店购进甲厂生产的产品 20 箱, 乙厂生产的同种产品 15 箱, 其中甲厂每箱装有一等品 74 个,二等品 6 个；乙厂每箱装有一等品95 个,二等品 5 个. 从这 35 箱中任取一箱 , 从中任取一个, 1 求取到二等品的概率； 2 如取到二等品,问这个二等 品来自甲厂的概率12设随机变量 X 的概率密度函数为f x b ax,0x1, 且P X1 21 8,求：（1）0,其它常数a b （2）设Y2 X e,求 Y 的概率密度函数Yf y . ,0x1,0yx,13. 二维随机变量 X Y 的联合密度函数为：f x y , 4 x
19、20,其它名师归纳总结 求：（1）P YX2；（2） X Y 关于 X 的边缘密度函数fX x ；第 11 页,共 25 页（3）条件概率P Y1 8|X1 4. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 14. 设随机变量 Y 在区间 0,3 上听从匀称分布,随机变量0, Y kX k , k 1,2 . 1, Y k求：（1） X 1 , X 2 的联合分布律；（2） X 1 , X 2 的相关系数 X X. 15. 据以往体会,某种才能测试的得分听从正态分布 N 62, 25,随机抽取 9 个同学参与这一测试,他们的得分记为X1,L,X9,设X1i9X
20、. （1）求P|X62 | 2；（2）91如得分超过 70 分就能得奖,求至少一个人得奖的概率 数 表示 . 结果用标准正态分布的分布函名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 16设总体 X 的概率密度函数为fx=1ex,x0,n 的简洁样本 .（1）求0 ,其它其中0 是未知参数 . 设X1,L,Xn为该总体的一个容量为的最大似然估量量$ ；（2）判定 $ 是否为的无偏估量量 . 四、解答题（本大题共1 个小题, 5 分） .17设随机变量 X 在区间 -,上听从匀称分布,求Emin|X|,1. 五、应用题（本大题共
21、1 个小题, 5 分） . 名师归纳总结 18. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作. 如一第 13 页,共 25 页周 5 个工作日里无故障,可获利润10 万元；发生一次故障仍可获利润5 万元；发生二次故障所获利润0 万元；发生三次或三次以上故障就要亏损2 万元 . 求这部机器在一周内产生的期望利润（结果保留到小数点后面两位）.- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 20222022 学年 第 1 学期一、单项挑选题概率论与数理统计 46 学时 A 卷评分标准1（C ） 2（ B ）3（ C ）4（ A ）5（ D ）二
22、、填空题（本大题共 5 小题,每道题 3 分,共 15 分）；6、1. 7 、2. 8、1 4 . 9、4 . 10、1 9 .3三、解答题（本大题共6 小题,每道题 10 分,共 60 分）；11、解：A 1: 取到合格品；A 2: 取到次品；B 被判为合格品；P B P B A P A 1 P B A P A 2 .51 0.04 95% 0.02 5%.90.913. .1012、解: （1）由分布律的性质可得 2 a 1 a 1 1.44 4a 1 .56（2）由（ 1）知 X 的分布律为X-1 0 1 P1153412.6由分布函数的定义可得F x P Xx0,x1.101, 31x
23、07 , 120x11,x113、解：（ 1）由分布函数性质：名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - F0 F0 BA1 2.2F 1 B 1.4因此可得 A 1/ 2, B 1.5（2）代入 A B 的值,可得1 e x,x 0F x 2 .61 1 e x, x 02故f x dF x 1x e,x0.102dx1ex,x0214、解：（1）由题意1 xf x y dxdy 1 0 adx x dy 1.3R R1可以得到 a 02 xdx 1 a 1.5（2）把 a 1 代入密度函数2P X Y f x y dx
24、dy .7x 2 y1 x 1 20 dx x 2 dy 0 x x dx .91 . .10615、解：（1）由题意8 8 X 8 10 8P 8 X 10 0.2881 P 0.2881.2即200.288120.7881.42.5.5（2）所求概率名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - P X6PX8682.821 0.2119.1016、解：似然函数为 L n x i e 2 ix 2.2i 1n n对数似然函数 ln L ln x i n ln 1x i 2.4i 1 2 i 1令 d ln 0 n 12 n
25、x i 20.8d 2 i 1n x i 2的最大似然估量量 i 1 .102 n四、解答题（本大题共 1 个小题, 5 分）；17、解： 由数学期望的定义EY 1 P X 1 0 P 1 X 2 1 P X 2P X 1 P X 2.31 x x 2 10 e dx 2 e dx e e 1.5五、证明题（本大题共 1 个小题, 5 分）；18、证明：必要性：如 X、Y 独立,明显 X、Y 不相关；.1充分性：如 X、Y 不相关,就有 E XY EXEX , 又 E XY P XY 1 P X 1, Y 1,EXEY P X 1 P Y 1从而 P X 1, Y 1 P X 1 P Y 1
26、p p 2 .3由此可得 X Y 的联合分布律为Y 0 1 X名师归纳总结 0 1p11p 21p 1p2第 16 页,共 25 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 1p 2p 1p p2.4因此,由离散型随机变量独立的定义可得X、Y独立 ； .520222022 学年 第 1 学期概率论与数理统计 A卷评分标准一、单项挑选题（本大题共5 小题,每道题 3 分,共 15 分）；1（ B ） 2（D ）3（ D ）4（ C ）5 （ A ）二、填空题（本大题共 5 小题,每道题 3 分,共 15 分）；6、0.5. 7、1/ 2, 0 x 1,0 y
27、 2. 8、-1. 9、0.1587. 0, 其它10、 434.169,480.831三、解答题（本大题共 6 小题,每道题 10 分,共 60 分）；11、解：设 B 此机床需要修理；A 1: 取到钻床；A 2: 取到磨床；A 3: 取到刨床 , 所求概率P A B P A B 3 P B A P A 1 .6P B P B A P A i 10.1 510 .90.1 5 0.2 3 0.3 210 10 105 17. .1012、解：（ 1）由密度函数的性质即1f x dx1.22 ax dx22x dx1a11.40132故a3 2.5（2）由题意名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 25 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3P 1 2X3 22 1f x dx .723112 32 x dx 21 2 2 x dx .913 16. .1013、.解：（ 1）由分布函数的性质F 1 9 F 1 9 A 3 B .1F 1 B 1.2因此可得 A 3, B 1.3（2）由分布函数的性质P0X1 16F1 16F03 4.6（3）由密度函数的定义f x dF x 3x1 2,0x1.10290,其它dx14、解：（ 1）由题意