《2022年椭圆型方程的有限差分法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年椭圆型方程的有限差分法.docx（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第4章 椭圆型方程的有限差分法 2 一维差分格式1、用积分插值法导出靠近微分方程的差分格式；Lu=-dpdu+rdu+qu=f,axb,dxdxdxua= ,ub= .解：考虑在 a,b 内任一小区间1 x,x2,将上式在此区间上积分得dx（1.1）-x 2dp x dudxx 2rdudxx 2qudxx 2f dxx 1dxdxx 1dxx 1x 1或W x1W x2x 2rdudxx 2qudxx 2f dxx 1dxx1x1其中,W x p x dudx（1.2）特殊地,取x1,2 x为对偶单元x i1/ 2,xi1/
2、 2,就W x i1/ 2W x i1/ 2x i1/ 2rdudxx i1/ 2qudxx i1/ 2f dx；xi1/ 2dxx i1/ 2x i1/ 2,利用中将（ 1.2）改写成duW x ,再沿x i1/ 2,x i1/ 2积分,得u iu i1x i1W x dxp x x ip x 矩形公式,得又W i1/ 2aiuiu i1,ai1x i1dx11x i1/ 21/ 2q x dx（1.3）h ihx ip x x i1/ 21/ 2qudxh ih i1d ui,di2（1.4）x ix i2hh11ui1x i1/ 2rdudxb iuib2x i1/ 2r x dx（1.
3、5）x i1/ 2dx2h ih ix i1/ 2i2x i1/ 2f x dx（1.6）h ih i1x i1/ 2将（ 1.3）（1.5）代入（ 1.1）,即得微分方程的差分格式a i1u i11u ia iu iu i11h ih i1d u ib iu i12u i11h ih i1i；h ih i22假如系数 p,q,r 以及右端 f 光滑,就可用中矩形公式运算得名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料1/ 2欢迎下载,a ip ip x i1/ 2diq iq x i,bir ir x i,ifif x
4、 i.2、导出a 1u 1h 1u00h 1d0u01h 100对p a u a 0 u a 1的靠近22阶；解：a 11x 1dx1p0p a ,f a q0u01h 1f0h 1x 0p x d02x 12qdxq 0q a ,02x1 2fdxf0h 1x 0h 1x 0记Lu a p a u a 0 u a 1,h L u a p0u 1h 1u 00h 1q0u 01h 1f0220h 12p a u a hu a 2 h 12u a 3 O h 1u 0h 12p a u a h 1u 2 O h 10h 1q u01h 1f02222h 12fR u L u x0Lu x 0h
5、1p a u h 1q u 00O h22就靠近阶为O h2； 3 矩形网的差分格式1、 用积分插值法构造靠近方程名师归纳总结 kuxkxykyf,（*）第 2 页,共 4 页的第一边值问题的五点差分格式,这里kk x ykmin0解：考虑 xy 平面上一有界区域G,其边界为分段光滑曲线,且满意第一边值条件：u x y , | , ,x y , G取定沿 x 轴和 y 轴方向上的步长h 1和h 2,并作对偶剖分；记ix1/ 2i1h 12- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料x欢迎下载jy1/ 2j1h ,作两族与坐标轴平行的直线x i1/ 2和
6、y= yi1/ 2, , i j0, 1,.,其交点2属于 G 内部者为对偶剖分的内点,直线与边界的交点为对偶剖分的界点；对于任一正就内点 x i,yj,考虑对偶剖分的网点：A x i1/ 2,yj1/ 2,B x i1/ 2,yj1/ 2,C x i1/ 2,yj1/ 2,D x i1/ 2,yj1/ 2,用.ABCDA 表示以 A,B,C,D 为顶点的矩形, 其内部区域记为G ,于G 上对（ *）积分；. ABCDAxk x y , udxdyyi1/ 2k xi1/ 2, xu x i1/ 2, k x i1/ 2, xu x i1/ 2,ydyxy i1/ 2利用中矩形公式有. ABC
7、DAxk x y , udxdyk xi1/ 2,yjxu x i1/ 2,yjk x i1/ 2,yjxu xi1/ 2,yjh 2x类似地有. ABCDAyk x y , udxdyk x yj1/ 2yu x yj1/ 2k x yj1/ 2yu xi,yj1/ 2h 1y此外有Gf x y dxdy ijf x yjh h 2* ）式,并同时除以h h ,就得到将上面的积分近似式中显现的偏导数用差商代替,代入（* ）式的差分方程：1ki1/ 2,jui1,juijki1/ 2,jui ju i1,j1ki j1/ 2u i j1uijki j1/ 2u i jui j1fij2 h 1
8、2 h 22 2 22、 用差分法求解边值问题 u u0, x k u2y 2 1,1 x y 1, k 1,5,10；解 ： 令 x r cos , y r sin, 就 整 个 xy 平 面 变 成 r 平 面 上 的 半 带 形 域0 r 1,0 2 ,从而 u x y 满意的上述边值问题转化为极坐标形式下 u r , 满意的边值问题就可转化为名师归纳总结 u| rr,u1rru12 u2 k u r , 21, , G0,10, 2 第 3 页,共 4 页rrr2210G 分别取等步长rh1/N h/M 进行网格划分,令第一关于区域- - - - - - -精选学习资料 - - - -
9、 - - - - - r i1精品资料i欢迎下载N1ihr,0,1,2, L,jjh,j0,1, L,M1r 的取值范畴 0,1 作对偶剖分这样就在 半带形 区域上形成了网格节点rj,j,再对变量ir11i1h r,i0,1,2,L,N1；作中心差分得：221,jr i1u r1,ju ijrur i1,jr i1u r1,juij,rur ih rh rr i1u i1, j j r i1r i1uijr i1u i i 1,rr22221rrrri,j1irur i1,jrur i1,j122222 h rrh rrrri2212u1ui j12 uiju i,j j 1r22ri,jr i2h2j代入到原边值问题中,就得到差分方程：名师归纳总结 i1r i1u i1,jr i1r i1u ijr i1u i1,j1u i j12 u iju i j12 k u ij1,第 4 页,共 4 页2222r i2 h rj1,2, L,Mr i2h21,2, L,N1;1u i0u iM, i0,1,2, L,Nu Nj0, j0,1,2, L,M- - - - - - -