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1、5.3平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、射影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0，2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b
2、的夹角为，则|a|b|cos 叫作a与b的数量积，记作ab射影|a|cos 叫作向量a在b方向上的射影，|b|cos 叫作向量b在a方向上的射影几何意义ab的数量积等于a的长度|a|与b在a的方向上的射影|b|cos 的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，为a与b(或e)的夹角则(1)eaae|a|cos .(2)abab0.(3)当a与b同向时，ab|a|b|；当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a|2或|a|.(4)cos .(5)|ab|a|b|.4平面向量数量积满足的运算律(1)abba；(2)(a)b(ab)a(b)(为实数)；(3)(ab)ca
3、cbc.5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2，由此得到(1)若a(x，y)，则|a|2x2y2或|a|.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离|AB|.(3)设两个非零向量a，b，a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y20.(4)若a，b都是非零向量，是a与b的夹角，则cos .知识拓展1两个向量a，b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0，则a和b的夹角为锐角；若ab0，则a和b的夹角为钝角()题组二教材改编2已知向量a(2,1)，b(1，k)，a(2ab)0
4、，则k_.答案12解析2ab(4,2)(1，k)(5,2k)，由a(2ab)0，得(2,1)(5,2k)0，102k0，解得k12.3已知|a|5，|b|4，a与b的夹角120，则向量b在向量a方向上的射影为_答案2解析由数量积的定义知，b在a方向上的射影为|b|cos 4cos 1202.题组三易错自纠4设向量a(1,2)，b(m,1)，如果向量a2b与2ab平行，那么a与b的数量积为_答案解析a2b(12m,4)，2ab(2m,3)，由题意得3(12m)4(2m)0，则m，所以ab121.5已知点A(1,1)，B(1,2)，C(2，1)，D(3,4)，则向量在方向上的射影为_答案解析(2,
5、1)，(5,5)，由定义知，在方向上的射影为.6已知ABC的三边长均为1，且c，a，b，则abbcac_.答案解析a，bb，ca，c120，|a|b|c|1，abbcac11cos 120，abbcac.题型一平面向量数量积的运算1设四边形ABCD为平行四边形，|6，|4，若点M，N满足3，2，则等于()A20 B. 15 C9 D6答案C解析，(43)(43)(16292)(1662942)9，故选C.2(2018届“超级全能生”全国联考)在ABC中，AB4，BC6，ABC，D是AC的中点，E在BC上，且AEBD，则等于()A16 B12C8 D4答案A解析以B为原点，BA，BC所在直线分别
6、为x，y轴建立平面直角坐标系(图略)，A(4,0)，B(0,0)，C(0,6)，D(2,3)，设E(0，t)，(2,3)(4，t)83t0，t，即E，(0,6)16.故选A.思维升华平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即ab|a|b|cosa，b(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则abx1x2y1y2.(3)利用数量积的几何意义求解题型二平面向量数量积的应用命题点1求向量的模典例 (1)(2018届广州海珠区综合测试)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|a2b|2，则|b|等于()A4 B2 C. D
7、1答案D解析由|a2b|2，得(a2b)2|a|24ab4|b|24，即|a|24|a|b|cos 604|b|24，则|b|2|b|0，解得|b|0(舍去)或|b|1，故选D.(2)(2017衡水调研)已知在直角梯形ABCD中，ADBC，ADC90，AD2，BC1，P是腰DC上的动点，则|3|的最小值为_答案5解析建立平面直角坐标系如图所示，则A(2,0)，设P(0，y)，C(0，b)，则B(1，b)，则3(2，y)3(1，by)(5,3b4y)所以|3|(0yb)当yb时，|3|min5.命题点2求向量的夹角典例 (1)(2017山西四校联考)已知向量a，b满足(2ab)(ab)6，且|a
8、|2，|b|1，则a与b的夹角为_答案解析(2ab)(ab)6，2a2abb26，又|a|2，|b|1，ab1，cosa，b，又a，b0，a与b的夹角为.(2)(2018届吉林百校联盟联考)已知单位向量e1与e2的夹角为，向量e12e2与2e1e2的夹角为，则等于()AB3C或3 D1答案B解析依题意可得|e12e2|，同理，|2e1e2|，而(e12e2)(2e1e2)4，又向量e12e2与2e1e2的夹角为，可知，由此解得或3，又40，3.思维升华 (1)求解平面向量模的方法写出有关向量的坐标，利用公式|a|即可当利用向量的线性运算和向量的数量积公式进行求解，|a|.(2)求平面向量的夹角
9、的方法定义法：cos ，注意的取值范围为0，坐标法：若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则cos .解三角形法：可以把所求两向量的夹角放到三角形中进行求解跟踪训练 (1)(2017全国)已知向量a，b的夹角为60，|a|2，|b|1，则|a2b|_.答案2解析方法一|a2b|2.方法二(数形结合法)由|a|2b|2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a2b|.又AOB60，所以|a2b|2.(2)(2017山东)已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1e2与e1e2的夹角为60，则实数的值是_答案解析由题意知|e1|e2|1，e1e20，|e1e2|2.同理|e1e
10、2|.所以cos 60，解得.题型三平面向量与三角函数典例 (2017广州海珠区摸底)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos(AB)，sin(AB)，n(cos B，sin B)，且mn.(1)求sin A的值；(2)若a4，b5，求角B的大小及向量在方向上的射影解(1)由mn，得cos(AB)cos Bsin(AB)sin B，所以cos A.因为0Ab，所以AB，则B，由余弦定理得(4)252c225c，解得c1.故向量在方向上的射影为|cos Bccos B1.思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量
11、共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等跟踪训练在平面直角坐标系xOy中，已知向量m，n(sin x，cos x)，x.(1)若mn，求tan x的值；(2)若m与n的夹角为，求x的值解(1)因为m，n(sin x，cos x)，mn.所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1.(2)因为|m|n|1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin，因为0x，所以x，所以x，即x.利用数量积求向量
12、夹角典例已知直线y2x上一点P的横坐标为a，直线外有两个点A(1,1)，B(3,3)求使向量与夹角为钝角的充要条件错解展示现场纠错解错解中，cos 0包含了，即，反向的情况，此时a1，故，夹角为钝角的充要条件是0a|b|答案A解析方法一|ab|ab|，|ab|2|ab|2.a2b22aba2b22ab.ab0.ab.故选A.方法二利用向量加法的平行四边形法则在ABCD中，设a，b，由|ab|ab|知，|，从而四边形ABCD为矩形，即ABAD，故ab.故选A.2(2018届河北武邑中学调研)已知向量a(2,1)，b(1,3)，则向量2ab与a的夹角为()A135 B60C45 D30答案C解析由
13、题意可得2ab2(2,1)(1,3)(3，1)，则|2ab|，|a|，且(2ab)a(3，1)(2,1)615，设所求向量的夹角为，由题意可得cos ，则向量2ab与a的夹角为45.3(2017豫南九校联考)已知向量a(m,2)，b(2，1)，且ab，则等于()A B1 C2 D.答案B解析ab，2m20，m1，则2ab(0,5)，ab(3,1)，a(ab)13215，|2ab|5，1，故选B.4(2018乐山质检)在ABC中，AB3，AC2，BC，则等于()A B C. D.答案D解析在ABC中，cosBAC，|cosBAC32.5(2017沈阳质检)在ABC中，|，AB2，AC1，E，F为
14、BC的三等分点，则等于()A. B. C. D.答案B解析由|，化简得0，又因为AB和AC为三角形的两条边，它们的长不可能为0，所以AB与AC垂直，所以ABC为直角三角形以A为原点，以AC所在直线为x轴，以AB所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0,0)，B(0,2)，C(1,0)不妨令E为BC的靠近C的三等分点，则E，F，所以，所以.6(2017驻马店质检)若O为ABC所在平面内任一点，且满足()(2)0，则ABC的形状为()A正三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰直角三角形答案C解析因为()(2)0，即()0，因为，所以()()0，即|，所以ABC是等腰三角形，故选C.7(2
15、017全国)已知向量a(1,2)，b(m,1)若向量ab与a垂直，则m_.答案7解析a(1,2)，b(m,1)，ab(1m,21)(m1,3)又ab与a垂直，(ab)a0，即(m1)(1)320，解得m7.8(2018银川质检)已知向量a，b的夹角为，|a|，|b|2，则a(a2b)_.答案6解析a(a2b)a22ab2226.9(2018届长春普通高中一模)已知平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，且|a|b|1，|c|3，则|abc|_.答案2解析因为平面内三个不共线向量a，b，c两两夹角相等，所以由题意可知，a，b，c的夹角为120，又|a|b|1，|c|3，所以ab，acbc，|
16、abc|2.10(2017巢湖质检)已知a(，2)，b(3，2)，如果a与b的夹角为锐角，则的取值范围是_答案解析a与b的夹角为锐角，则ab0且a与b不共线，则解得或0，所以的取值范围是.11(2018贵阳质检)已知|a|4，|b|3，(2a3b)(2ab)61.(1)求a与b的夹角；(2)求|ab|；(3)若a，b，求ABC的面积解(1)因为(2a3b)(2ab)61，所以4|a|24ab3|b|261.又|a|4，|b|3，所以644ab2761，所以ab6，所以cos .又0，所以.(2)|ab|2(ab)2|a|22ab|b|2422(6)3213，所以|ab|.(3)因为与的夹角，所
17、以ABC.又|a|4，|b|3，所以SABC|sinABC433.12(2017江苏)已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值解(1)因为a(cos x，sin x)，b(3，)，ab，所以cos x3sin x.若cos x0，则sin x0，与sin2xcos2x1矛盾，故cos x0.于是tan x.又x0，所以x.(2)f(x)ab(cos x，sin x)(3，)3cos xsin x2cos.因为x0，所以x，从而1cos，于是，当x，即x0时，f(x)取得最大值3；当x，即x时
18、，f(x)取得最小值2.13已知ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且0，则向量在向量方向上的射影为()A3 B. C3 D答案B解析ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且0，四边形OBAC为平行四边形ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，|，四边形OBAC是边长为2的菱形，且ABOACO60，因此，ACBACO30，向量在方向上的射影为|cosACB2cos 30，故选B.14(2017广东七校联考)在等腰直角ABC中，ABC90，ABBC2，M，N为AC边上的两个动点(M，N不与A，C重合)，且满足|，则的取值范围为_答案解析不妨设点M靠近点A，点N靠近点C，以等腰直角三角形ABC的直角边所
19、在直线为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示，则B(0,0)，A(0,2)，C(2,0)，线段AC的方程为xy20(0x2)设M(a,2a)，N(a1,1a)(由题意可知0a1)，(a,2a)，(a1,1a)，a(a1)(2a)(1a)2a22a222，0a1，由二次函数的知识可得.15(2018届河北武邑中学调研)设a，b为单位向量，且ab，若向量c满足|c(ab)|ab|，则|c|的最大值是()A2 B2 C. D1答案A解析由题意结合ab，可设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)，则由|c(ab)|ab|，得|(x，y)(1,1)|(1，1)|，由此可得(x1)2(y1)22，即c对应的点的轨迹在以(1,1)为圆心的圆上，如图所示圆过原点，|c|的最大值为圆的直径2，故选A.16(2017河北衡水模拟)已知在ABC所在平面内有两点P，Q，满足0，若|4，|2，SAPQ，则的值为_答案4解析由0知，P是AC的中点，由，可得，即，即2，Q是AB边靠近B的三等分点，SAPQSABCSABC，SABC3SAPQ32.SABC|sin A42sin A2，sin A，cos A，|cos A4.