《2022年怀化学院省级精品课程-高等代数教案第六章线性空间.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年怀化学院省级精品课程-高等代数教案第六章线性空间.docx（43页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案第六章 线性空间 1 集合 映射一、集合集合是数学中最基本的概念之一,所谓集合就是指作为整体看的一堆东西 .组成集合的东西称为这个集合的元素 .用a M表示 a 是集合 M 的元素,读为： a 属于 M .用a M表示 a 不是集合 M 的元素,读为： a 不属于 M . 所谓给出一个集合就是规定这个集合是由哪些元素组成的 .因此给出一个集合的方式不外两种,一种是列举法：列举出它全部的元素,一种是描述法：给出这个集合的元素所具有的特点性质 . 设 M 是具有某些性质的全部元素所成的集合,就可写成M a | a 具有的性质 .
2、不包含任何元素的集合称为 空集 ,记作 . 假如两个集合 M 与 N 含有完全相同的元素, 即 a M 当且仅当 a N,那么它们就称为相等,记为 M N . 假如集合 M 的元素全是集合 N 的元素,即由 a M 可以推出 a N,那么 M就称为 N 的子集合,记为 M N 或 N M . 两个集合 M 和 N 假如同时满意 M N 和 N M .,就 M 和 N 相等 . 设 M 和 N 是两个集合,既属于 M 又属于 N 的全体元素所成的集合称为 M与 N 的交,记为 M N . 属于集合 M 或者属于集合 N 的全体元素所成的集合称为 M 与 N 的并,记为M N . 二、映射设 M
3、和 M 是两个集合,所谓集合M 到集合 M 的一个映射就是指一个法名师归纳总结 就,它使 M 中每一个元素 a 都有 M 中一个确定的元素 a 与之对应 .假如映射使第 1 页,共 28 页元素aM与元素aM对应,那么就记为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案 a a , a 就称为 a 在映射 下的 像,而 a 称为 a 在映射 下的一个 原像 . M 到 M 自身的映射,有时也称为 M 到自身的变换 . 关于 M 到 M 的映射 应留意：1） M 与 M 可以相同,也可以不同；2）对于 M 中每个元素 a ,需要有 M 中一个唯独确
4、定的元素 a 与它对应；3）一般, M 中元素不肯定都是 M 中元素的像；4） M 中不相同元素的像可能相同；5）两个集合之间可以建立多个映射. a a集合 M 到集合 M 的两个映射及,如对 M 的每个元素 a 都有就称它们相等,记作. 例 1 M 是全体整数的集合,这是 M 到 M 的一个映射 . n 2n ,nM, 例 2 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合,定义1A |A,|AM. 这是 M 到 P 的一个映射 . 例 3 M 是数域 P 上全体 n 级矩阵的集合,定义2aaE,aP. E 是 n 级单位矩阵,这是P 到 M 的一个映射 . x 例 4 对于fxP x,定义fxf
5、这是P x到自身的一个映射 . 例 5 设 M , M 是两个非空的集合,a 是 M 中一个固定的元素,定义a a0,aM. 这是 M 到 M 的一个映射 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案例 6 设 M 是一个集合,定义即. a a,aM. 把 M 的每个元素都映到它自身,称为集合M 的恒等映射或单位映射,记为1 M例 7 任意一个定义在全体实数上的函数名师归纳总结 yfx第 3 页,共 28 页都是实数集合到自身的映射,因此函数可以认为是映射的一个特别情形. 对于映射可以定义乘法,设及分别
6、是集合 M 到 M , M 到 M的映射,乘积定义为aa ,aM, 即相继施行和的结果,是 M 到 M的一个映射 . 对于集合集合 M 到 M 的任何一个映射明显都有1 M1 M. 映射的乘法适合结合律.设,分别是集合 M 到 M , M 到 M, M到M的映射,映射乘法的结合律就是. 设是集合 M 到 M 的一个映射,用M代表 M 在映射下像的全体,称为M 在映射下的像集合 .明显M M. 假如M M,映射称为 映上的或满射 . 假如在映射下, M 中不同元素的像也肯定不同,即由a 1a2肯定有a 1 a 2,那么映射就称为11的或单射 . 一个映射假如既是单射又是满射就称11对应或双射 .
7、 对于 M 到 M 的双射可以自然地定义它的逆映射,记为1 .由于为满- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案射,所以 M 中每个元素都有原像,又由于 像,定义是单射,所以每个元素只有一个原名师归纳总结 1aa, 当a a. 就是 M第 4 页,共 28 页明显,1是 M 到 M 的一个双射,并且. 11 M,11 M不难证明,假如, 分别是 M 到 M ,M 到 M的双射,那么乘积到 M的一个双射 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案 2 线性空间的定义与简洁性质一、线性空间的
8、定义 . 例 1 在解析几何里 , 争论过三维空间中的向量. 向量的基本属性是可以按平行四边形规律相加,也可以与实数作数量算法 可以通过向量的这两种运算来描述的 . . 不少几何和力学对象的性质是1 0 按平行四边形法就所定义的向量的加法是 V3 的一个运算 ; 2 0 解析几何中规定的实数与向量的乘法是R V3到 V3的一个运算 . 3 0 由知道 , 空间上向量的上述两种运算满意八条运算规律 . 例 2. 数域 P 上一切矩阵所成的集合对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法满 足上述规律 . 定义 1 令 V 是一个非空集合, P 是一个数域 . 在集合 V 的元素之间定义了一 种代数运算, 叫做
9、加法；这就是说给出了一个法就, . 对于 V 中任意两个向量 与, 在 V 中都有唯独的一个元素 与它们对应 , 称为 与 的和 , 记为 .在数域 P 与集合 V 的元素之间仍定义了一种运算,叫做数量乘法；这就是说,对于数域 P 中任一个数k与 V 中任一个元素k, 在 V 中都有唯独的一个元素与它们对应 , 称为 k 与的数量乘积 , 记为. 假如加法与数量乘法满意下述规就,那么 V 称为数域 P 上的线性空间 . 加法满意下面四条规章： : 1 ；0,；V , 都有0（具有这个性质的元素023 在V中有一个元素称为 V 的零元素）；4V,V,st0称为的负元素 . 数量乘法满意下面两条规
10、章：5 1l; kl; 6 k数量乘法与加法满意下面两条规章：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7 klkl; 名师精编优秀教案8 k ）k k ;在以上规章中,k, 等表示数域 P 中任意数；, , 等表示集合 V 中任意元素 . 例 3 数域 P 上一元多项式环 P x , 按通常的多项式加法和数与多项式的乘法,构成一个数域 P 上的线性空间 . 假如只考虑其中次数小于 n 的多项式,再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性空间,用 P x n 表示 . 例 4 元素属于数域 P 的 m n 矩阵,按矩阵的加
11、法和数与矩阵的数量乘法,m n构成数域 P 上的一个线性空间,用 P 表示. 例 5 全体实函数,按函数加法和数与函数的数量乘法,构成一个实数域上的线性空间 . 例 6 数域 P 根据本身的加法与乘法,即构成一个自身上的线性空间 . 例 7 以下集合对于所指定的运算是否作成实数域R 上的线性空间 : 1 平面上全体向量所作成的集合 V , 对于通常向量的加法和如下定义的纯量乘法 : a0,aR,V.2 R 上 n 次多项式的全体所作成的集合 的乘法 .W 对于多项式的加法和数与多项式其中例 8 设V 是正实数集 , R 为实数域 . 规定R 上的线性空间 . 即与的积, a =a 即的 a次幂
12、 , ,V ,aR. 就V 对于加法和数乘作成二线性空间的简洁性质线性空间的元素也称为向量. 当然这里的向量比几何中所谓向量的涵义要广名师归纳总结 泛得多 . 线性空间有时也称为向量空间. 以下用黑体的小写希腊字母,代第 6 页,共 28 页表线性空间 V 中的元素,用小写拉丁字母a,b,c,代表数域 P 中的数 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案1. 零元素是唯独的 . 证明： 设 0 与 0 均是零元素,就由零元素的性质,有0000 ；2. 负元素是唯独的 . 名师归纳总结 证明：V ,设,都是的负向量,就0,第 7 页,共
13、28 页0于是命题得证；由于负向量唯独,我们用代表的负向量；我们定义二元运算减法“-” 如下：定义为 ；3.00 ;k00;1 .4. 假如k0, 那么k0或者0 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案 3 维数 基与坐标一、向量的线性相关与线性无关定义 2 设 V 是数域 P 上的一个线性空间,1 ,. 2 , , r r 1 是V 一组向量, k 1 , k 2 , , rk 是数域 P 中的数,那么向量k 1 1 k 2 . 2 rk r称为向 量组 1 ,. 2 , , r 的一个 线 性组合 ,有时 也说 向 量 可以 用向量
14、组1 ,. 2 , , r 线性表出 . 定义 3 设1 ,. 2 , , r ; 11 , 2 , . s 2 是V中两个向量组,假如（ 1）中每个向量都可以用向量组（2）线性表出,那么称向量（ 1）可以用向量组（ 2）线性表出 . 假如（ 1）与（2）可以相互线性表出,那么向量组（ 1）与（ 2）称为等价的 . 定义 4 线性空间V中向量 1 ,. 2 , , r r 1 称为线性相关 ,假如在数域 P中有 r 个不全为零的数 k 1 , k 2 , , rk,使k 1 1 k 2 . 2 rk r 0 . 3 如 果 向 量 1 ,. 2 , , r 不 线 性 相 关 , 就 称 为
15、线 性 无 关 . 换 句 话 说 , 向 量 组1 ,. 2 , , r 称为 线性无关 ,假如等式（ 3）只有在 k 1 k 2 rk 0 时才成立 . 几个常用的结论：名师归纳总结 1. 单个向量线性相关的充要条件是0 . 两个以上的向量s1,.2,r第 8 页,共 28 页线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量的线性组合. 线性表出,2. 假如向量组1,.2,r线性无关,而且可以被1,2,.那么rs. . 由此推出,两个等价的线性无关的向量组,必含有相同个数的向量- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3. 假如向量组1,.2,r名师精编优秀教
16、案1,.2,r,线性相关,那么线性无关,但可以由被1,.2,r线性表出,而且表示法是唯独的. 在一个线性空间中到底最多能有几个线性无关的向量,个重要属性 . 明显是线性空间的一定义 5 假如在线性空间V中有 n 个线性无关的向量, 但是没有更多数目的线性无关的向量,那么 V 就称为 n 维的；假如在 V 中可以找到任意多个线性无关的向量,那么 V 就称为无限维的 . 定义 6 在 n 维线性空间 V 中,n 个线性无关的向量 1 , 2 , , n 称为 V 的一组基 . 设 是 V 中任一向量,于是 1 , 2 , , n , 线性相关,因此 可以 被 基1 , 2 , , n 线性表出：a
17、 1 1 a 2 2 a n n . 其中系数 a 1 , a 2 , , a n 是被向量 和基 1 , 2 , , n 唯独确定的,这组数就称为 在基 1 , 2 , , n 下的坐标,记为 a 1 , a 2 , , a n . 由以上定义看来,在给出空间 V 的一组基之前,必需先确定 V 的维数 . 定理 1 假如在线性空间 V 中有 n个线性无关的向量 1 ,. 2 , , n,且 V 中任一向量都可以用它们线性表出,那么 V 是 n 维的,而 1 ,. 2 , , n 就是 V 的一组基. 例 1在线性空间P x n中,1x ,x2,xn1是 n 个线性无关的向量,而且每一个次数小
18、于n 的数域 P 上的多项式都可以被它名师归纳总结 们线性表出,所以P x n是 n维的,而,1x ,x2,xn1就是它的一组基 . 第 9 页,共 28 页例 2 在 n 维的空间n P 中,明显- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案1 1 0, , , 0 ,2 0 ,1, , 0 ,n 0 0, , 1, 是一组基 .对于每一个向量 a 1 , a 2 , , a n ,都有a 1 1 a 2 2 a n n . 所以 a 1 , a 2 , , a n 就是向量 在这组基下的坐标 . 例 3 假如把复数域 C 看作是自身上的线性空
19、间,那么它是一维的,数 1 就是一组基 , 把复数域 C 看作是实数域上的线性空间,那么它就是二维的,数 1 与i 就是一组基 .这个例子告知我们,维数是和所考虑的数域有关的 . 例 4 求证：向量组 e1 x, e2 x的秩等于 2（其中 1 2）证明： 方法一：设 k 1, k 2 P,满意 k e 1 1 xk e 2 2 x0,就 k e 1 1 xk e 2 2 x,假如k k 不全为零,不妨设 k 1 0,就有 e 1 2 x k 2,而由于 1 2,等号左边为k 1严格单调函数,冲突于等号右边为常数 .于是k 1 k 2 0 . 所以 e 1 x, e 2 x 线性无关,向量组的
20、秩等于 2. 方法二：如在 , a b 上 k e 1 1 xk e 2 2 x0,两端求导数,得名师归纳总结 以xck 11e1xk 22e2x0,210,第 10 页,共 28 页 , a b 代入,而k e1ck2k e2c0,k 11 e1 c2e2c0.e1ce2c e12c1e2c2e2c于是k 1k 20. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案 4 基变换与坐标变换在 n 维线性空间中,任意n 个线性无关的向量都可以取作空间的基. 对于不同的基,同一个向量的坐标一般是不同的 化的 . . 随着基的转变,向量的坐标是怎样变设
21、 1 , 2 , , n 与 1 , 2 , , n 是 n维线性空间 V 中两组基,它们的关系是1 a 11 1 a 21 2 a n 1 n ,2 a 12 1 a 22 2 a n 2 n , 1 n a 1 n 1 a 2 n 2 a nn n .设向量 在这两组基下的坐标分别是 x 1 , x 2 , , x n 与 x 1 , x 2 , , x n ,即x 1 1 x 2 2 x n n x 1 1 x 2 2 x n n . 2 现在的问题就是找出 x 1 , x 2 , , x n 与 x 1 , x 2 , , x n 的关系 . 第一指出, 1 中各式的系数1,a 1j,
22、a2j,anj,j2,1 ,n实际上就是其次组基 向量jj1, 2,n在第一组基下的 坐标 . 向量2,n的线性无关性就保证了 1 中系数矩阵的行列式不为零. 换句话说,这个矩阵是可逆的 . 为了写起来便利,引入一种形式的写法 . 把向量x 1 1 x 2 2 x n n .写成x 1也就是把基写成一个1,2,nx2, 3 矩阵,而把向量看作1xnn矩阵,把向量的坐标写成一个n1是这两个矩阵的乘积 . 所以说这种写法是” 形式的” ,在于这里是以向量作为矩阵的元素,一般说来没有意义 会出毛病的 . . 不过在这个特别的情形下,这种商定的用法是不名师归纳总结 - - - - - - -第 11
23、页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案相仿地, 1 可以写成1,2,n1,2,na11a 12a 1n. 4 a21a22a2nan 1an2ann矩阵a 11a 12a1 nn. Aa21a22a2nan1an2ann称为由基1,2,n到1,2,n的过渡矩阵 ,它是可逆的 . 在利用形式写法来作运算之前,第一指出这种写法所具有的一些运算规律设1,2,n和1,2,n是 V 中两个向量组,Aa ij,Bb ij是两个n矩阵,那么1,2,nA B1,2,nAB ;2nAnB ;A.1,2,nA1,2,nB1,2,1,2,nA1,2,nA11,2,n现在
24、回到本节所要解决的问题上来. 由2 有x 1. 1,2,nx2xn用4 代入,得1,2,na 11a12a 1nx 1. a21a22a2nx2an1an2annxn与3 比较,由基向量的线性无关性,得名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 1a 11a名师精编a优秀教案121 nx 1x2a21a22a2nx2, 5 xnan 1an2annxn或者x 1a 11a12a1 n1x 1. 6 x2a21a22a2nx2xnan 1an2annxn5 与6 给出了在基变换 4 下,向量的坐标变换公式 . 例 1 在
25、 3 例 2 中有1,2,n1,2,n1000110A10111110111就是过渡矩阵 . 不难得出A11000. 100001000001因此x 11000x11000x2x01002xn0001xn也就是x 1x 1,x ix ix i1 i2,. 与 3 所得出的结果是一样的 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 取名师精编优秀教案2它们作成V 的一个基 . 令1,2V 的两个彼此正交的单位向量1,分别是由1,2旋转角所得的向量,就1,2也是V 的一个基,有2与x 1, x 2.11cos2sin
26、. 21sin2sin所以1,2到1,2的过渡矩阵是cossinsincos设V 的一个向量关于基1,2和1,2的坐标分别为x 1x于是由 5得x 1cossinx 1,x2sincosx2即名师归纳总结 x 1x 1cosx2sin,. 第 14 页,共 28 页x2x 1sinx2cos.这正是平面解析几何里,旋转坐标轴的坐标变换公式- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案 5 线性子空间一、线性子空间的概念定义 7 数域 P 上的线性空间 V 的一个非空子集合 W 称为 V 的一个线性子空间（或简称子空间）,假如 W 对于V的两种运算
27、也构成数域 P 上的线性空间 . 定理 2 假如线性空间 V 的一个非空集合 W 对于 V 两种运算是封闭的, 也就是满意上面的条件 1,2,那么 W 就是一个子空间 . 既然线性子空间本身也是一个线性空间,上面引入的概念,如维数、基、坐标等,当然也可以应用到线性子空间上. 由于要线性子空间中不行能比在整个子空间中有更多数目线性无关的向量 . 所以,任何一个线性子空间的维数不能超过整个空间的维数 .例 1 在线性空间中,由单个的零向量所组成的子集合是一个线性子空间,它叫做 零子空间 . 例 2 线性空间V本身也是 V 的一个子空间 . 在线性空间中,零子空间和线性空间本身这两个子空间有时叫做
28、V 的平凡子空间 ,而其它的线性子空间叫做非平凡子空间 . 例 3 在全体实函数组成的空间中,全部的实系数多项式组成一个子空间 . 例 4 P x n 是线性空间 P x 的子空间 . n例 5 在线性空间 P 中,齐次线性方程组a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n 0 ,a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n 0 ,a s 1 x 1 a s 2 x 2 a sn x n 0的全部解向量组成一个子空间,这个子空间叫做齐次线性方程组的解空间 . 解空间的基就是方程组的基础解系,它的维数等于 n r,其中 r 为系数矩阵的秩 . 二、生成子空间设1,2,r是线性
29、空间 V 中一组向量,这组向量全部可能的线性组合k 11k22rkr所成的集合是非空的,而且对两种运算封闭,因而是 V 的一个子空间, 这个子空名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 28 页精选学习资料 - - - - - - - - - 间叫做由1,2,r名师精编优秀教案生成的子空间,记为L 1 , 2 , , r . 由子空间的定义可知,假如 V 的一个子空间包含向量 1 , 2 , , r,那么就肯定包含它们全部的线性组合,也就是说,肯定包含 L 1 , 2 , , r 作为子空间 . 在有限维线性空间中,任何一个子空间都可以这样得到 . 事实上,设 W 是V的一个子
30、空间, W 当然也是有限维的 . 设 1 , 2 , , r 是 W 的一组基,就有W L 1 , 2 , , r . 定理 3 1 两个向量组生成相同子空间的充要条件是这两个向量组等价 .2 ）L 1 , 2 , , r 的维数等于向量组 1 , 2 , , r 的秩. 定理 4 设 W 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间,1 , 2 , , m 是W 的一组基,那么这组向量必可扩充为整个空间的基. 也就是说,在 V 中必定可名师归纳总结 以找到nm个向量m1,m2,n使得1,2,n是 V 的一组基 . 第 16 页,共 28 页结 论数 域 P 上 线 性 空 间 V
31、 的 一 个 非 空 子 集 W 是 V 的 一 个 子 空 间a ,bF,W,都有abW. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案 6 子空间的交与和定理 5 假如V ,V 是线性空间 V 的两个子空间,那么它们的交V 1V2也是V 的子空间 . 只需要证明 V 1 V 关于加法与数乘封闭即可 . 事实上, V 1 V ,就 , V , V ；由于 V V 均是 V 的子空间 , 就 V 1 , V , 于 是 2 V 1 V ,2 V 1 V 关 于 加 法 封 闭 ,2V 1 V , k K ,kv V kv V ,于是 kv V
32、1 V ,V 1 V 关于数乘封闭 . 由集合的交的定义有,子空间的交适合以下运算规律： V 1V 1V 2V 2V 1 交换律 ,V 2V 3V 1 V 2V 3（结合律） . 由结合律,可以定义多个子空间的交：V 1V2Vsis1Vi, 它也是子空间 . 定义 8 设 V , V 是线性空间 V 的子空间,所谓 V 与 V 的和,是指由全部能表示成 1 2 , 而 1 V 1 , 2 V 2 的向量组成的子集合,记作 V 1 V 2 . 定理 6 假如 V , V 是线性空间 V 的子空间,那么它们的和 V 1 V 2 也是 V 的子空间 . 名师归纳总结 就k只需要证明V 1V 关于加法
33、与数乘封闭即可 . 第 17 页,共 28 页事实上,V 1V ,就由 2V 1V 的定义,21,1V 1,2,2V ,使得 212,12,而11V 1,22V ,就12121122V 1V ,V 1V 关于加法封闭,V 1V kK ,1V 1,2V ,使得12,由于k1V k2V ,k 12k1k2V 1V ,V 1V 关于数乘封闭 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案由定义有,子空间的和适合以下运算规律： V 1V 1V 2V2V 1 交换律 ,V 2V 3V 1 V 2V 3（结合律） . 由结合律,可以定义多个子空间的和V 1
34、V 2V sisVi. 1它是由全部表示成12s,iVi i1,2,s 的向量组成的子空间 . 关于子空间的交与和有以下结论：由W1. 设V 1,V 2,W都是子空间,那么由WV 1与WV 2可推出WV 1V 2；而V 1与WV 2可推出WV 1V 2. 且与2. 对于子空间V 与V ,以下三个论断是等价的：1）V 1V 2;2 V 1V 2V 1; 3V 1V 2V 2. 例 1 在三维几何中用V 表示一条通过原点的直线,V 表示一张通过原点而V 垂直的平面,那么,V 与V 的交是 0 ,而V 与V 的和是整个空间 . 例 2 在线性空间n P 中,用V 与V 分别表示齐次方程组a 11x1a12x2a 1nxn0,a21x1a22x2a 2nxn0,as 1x1as2x2asnx n0与名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 28 页精选学习资料