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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案第十章 双线性函数与辛空间 1 线性函数定义 1 设 V 是数域 P 上的一个线性空间, f 是V 到 P 的一个映射,假如 f 满足式中1）fff; f 为 V 上的一个线性函数 . 2）fkkf, ,是V 中任意元素, k 是 P 中任意数,就称从定义可推出线性函数的以下简洁性质：1. 设 f 是 V 上的线性函数,就f0 0,fksf. 2. 假如是1,2,s的线性组合：sk 11k 22那么fk 1f1k 2f2ksfs例 1 设a 1,a 2,a n是 P 中任意数,Xx 1,x2,xn是n P 中的向量 .函数fX
2、fx 1,x2,xna 1x 1a 2x2fanxn1 就是 P 上的一个线性函数 .当a 1a 2an0时,得 X0,称为零函数,仍用 0 表示零函数 . 实际上,n P 上的任意一个线性函数都可以表成这种形式. 令i 0,01, ,0,0 ,i1,2,n. 第 i 个名师归纳总结 n P 中任一向量Xx 1,x 2,xn可表成2x nn. 第 1 页,共 19 页Xx 11x 2设 f 是n P 上一个线性函数,就- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案n nfXfi1xiii1xifi令a ifi,i1,n,就fXa 1x 1a 2x
3、2a nx n就是上述形式 . 例 2A是数域 P 上一个 n级矩阵,设a1 n, a11a 12Aa21a22a2nan 1an2ann就 A的迹TrA a 11a 22a nntL 为n.对 V 上任是 P 上全体 n 级矩阵构成的线性空间Pnn上的一个线性函数 . 例 3 设VPx,t是 P 中一个取定的数 .定义Px上的函数LtPxp t,p x P x , 2,即Ltp x 为px在 t 点的值,Ltpx是P x上的线性函数 . 假如 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间 .取定 V 的一组基1,意线性函数f 及 V 中任意向量：x 11x 22x nn都有名师归纳总结 因 此 ,
4、fnn第 2 页,共 19 页ffxiixifi. 2 i1i1由f1,f2,fn的 值 唯 一 确 定 .反 之 , 任 给 P 中 n 个 数a 1,a2,a n,用下式定义 V 上一个函数 f ：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f名师精编i优秀教案i. nnxiaixi1i1这是一个线性函数,并且fiai,i1,2 ,n因此有名师归纳总结 a 1,a定 理1 设 V 是 P 上 一 个 n 维 线 性 空 间 ,1,2,n是 V 的 一 组 基 ,第 3 页,共 19 页2,a n是 P 中任意 n 个数,存在唯独的 V 上线性函数 f 使fi
5、ai,i1,2 ,n. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案 2 对偶空间设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间 . V 上全体线性函数组成的集合记作LV,P.可以用自然的方法在L V,P 上定义加法和数量乘法 . g. f设f ,g是 V 的两个线性函数 .定义函数fg如下：fgfg,V. g也是线性函数：ffgfg ffggfg fg,fgkfkgkkfkgkfg称为 f 与 g 的和 . 仍可以定义数量乘法 .设 f 是V 上线性函数,对于 P 中任意数 k ,定义函数 kf如下：kfkf,V, V,P成为数域 P 上的线性L
6、kf 称为 k 与 f 的数量乘积,易证kf 也是线性函数 . 简洁检验,在这样定义的加法和数量乘法下,空间 . 名师归纳总结 由于取定 V 的一组基1,2,n,作 V 上 n 个线性函数f1,f2,nf,使得第 4 页,共 19 页fij1,ji;i,j1 ,2,n .1 0,ji,if 在基1,2,n上的值已确定,这样的线性函数是存在且唯独的.对 V 中向量nixi,有即ifi1fix i, 2 是的第 i 个坐标的值 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 引理 对 V 中任意向量名师精编优秀教案,有而对n,nf是L3 ifi, i1L V,P中任
7、意向量f ,有4 nffifi. i1V,P的一组基 . 定理 2 LV,P的维数等于 V 的维数,而且f1,f2,1,定义2LP,V称为 V 的对偶空间. 由（ 1）打算L V,P的的基,称为2,n的对偶基 . 以后简洁地把 V 的对偶空间记作 V . a 1,a例 考虑实数域 R 上的 n 维线性空间V1P x n,对任意取定的 n 个不同实数2,a n,依据拉格朗日插值公式,得到n个多项式p ixxa 1xa i1xa ixa n,i1,2,n .a ia 1a ia i1a ia i1a ian它们满意名师归纳总结 p iaj1 ,ji;i,j,12,n .n. 第 5 页,共 19
8、页0,ji,p 1x,p2x ,pnx是线性无关的,由于由c 1p 1x c2p2x cnp nx0用ia 代入,即得nk1ckp kaicippaici0,i1,2,又因 V 是 n 维的,所以p 1x,p2x ,pnx是 V 的一组基 . 设LiV i1,2,n 是在点ia 的取值函数：Lipxp a i,pxV. i1,2,n .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就线性函数iL 满意名师精编优秀教案Lipjx pja i1 ,ij; , ,i,j1,2,2,n .n是 V 的两组基 .0,ij因此,L 1,L2,L n是p 1x,p2x ,pnx
9、的对偶基 . ,下面争论 V 的两组基的对偶基之间的关系. 设 V 是数域 P 上一个 n 维线性空间 .1,2,n及1它们的对偶基分别是f 1,f2,nf及g1,g2,g n.再设1,2,n1,2,nAg1,g2,gnf1,f2,fnB其中Aa 11a 12a 1n, Bb 11b 12b 1na21a22a2nb21b 22b2na n1an2annbn 1b n2bnn由假设gia 1i1a 2ij2a nin,ij1,2,n, ib 1jf1b 2f2b njfn,12,n. 因此 ngjik1bkjfk a 1 i1ja2i2bnjani,nanina 1ib2ja2ib 1j1,i
10、j;i,1,2,0,ij,由矩阵乘法定义,即得BAE即名师归纳总结 定理 3 设1,2,n及1,2,BnA1第 6 页,共 19 页,是线性空间 V 的两组基,它们的对偶基- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 分别为f 1,f2,nf及g1,g 2,名师精编优秀教案,n到1,2,n的过渡矩阵gn.假如由1,2,为 A,那么由f 1,f2,nf到g1,g2,g n的过渡矩阵为 A1. 设 V 是 P 上一个线性空间, V 是其对偶空间, 取定 V 中一个向量 x,定义 V的一个函数 x如下：xffx,fV. 依据线性函数的定义, 简洁检验 x间 V V中的一
11、个元素 . 是 V 上的一个线性函数, 因此是 V 的对偶空定理 4 V 是一个线性空间, V是V 的对偶空间的对偶空间 . V 到V的映射x x是一个同构映射 . 这个定理说明,线性空间V 也可看成 V 的线性函数空间, V 与 V 实际上是互为线性函数空间的 .这就是对偶空间名词的来由 .由此可知,任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间,这个看法在多线性代数中是很重要的. 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案 3 双线性函数定义 3 V 是数域 P 上一个线性空间,f,是V 上一个
12、二元函数,即对 V中任意两个向量,依据 f 都唯独地对应于P 中一个数f,.假如f,有以下性质：其中1）f,k 1,12k22k 1f,1k 2f2,2; f,为V 上2）f k 11k2,k 1f1,k 2f2, ,1,2,1,2是V 中任意向量,k 1,k是 P 中任意数,就称的一个双线性函数 . 这个定义实际上是说对于V 上双线性函数f,将其中一个变元固定时是另一个变元的线性函数. 例 1 欧氏空间 V 的内积是 V 上双线性函数 . 例 2 设f1,f2都是线性空间 V 上的线性函数,就f,f1f2,V是 V 上的一个双线性函数 . 例 3 设P 是数域 P 上 n 维列向量构成的线性
13、空间.X,YPn再设 A 是 P 上n 级方阵 .令就ffX,Y,XAY, 1 X,Y是n P 上的一个双线性函数 . ,yn,并设假如设Xx 1,x2,xn,Yy 1,y2a 11a12a 1 nAa21a22a2nan 1an2ann就名师归纳总结 fX,Yin1jn1a ijx iyj. 2 第 8 页,共 19 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 1）或（ 2）实际上是数域名师精编优秀教案f,的P 上任意 n 维线性空间 V 上的双线性函数一般形式 .可以如下地说明这一事实 .取 V 的一组基1,2,n.设x1, nX1,2,nx21,2,
14、xn,nYy1, 1,2,ny21,2,yn就f,finxii,jn1yjjinjn1fi,jx iyj. 3 11令a ijAfi,j,i,j1,2,n, a 11a12a 1 na21a22a2nan 1an2ann就（ 3）就成为（ 1）或（ 2）. 名师归纳总结 定 义4 设f,是 数 域 P 上 n 维 线 性 空 间 V 上 的 一 个 双 线 性 函 数 . 第 9 页,共 19 页1,2,n是V 的一组基,就矩阵f1,1f1,2f1,nAf2,1f2,2f2,n4 fn,1fn,2fn,n叫做f,在1,2,n下的度量矩阵 . 上面的争论说明, 取定 V 的一组基1,2,n后,每
15、个双线性函数都对应于一个 n 级矩阵,就是这个双线性函数在基1,2,n下的度量矩阵 .度量矩阵被双- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案线性函数及基唯独确定 .而且不同的双线性函数在同一基下的度量矩阵是不同的 . 反之,任给数域 P 上一个 n级矩阵a 11a12a 1 nx iyj1,2,n Yn, 其 中Aa21a22a2nan 1an2ann对V中 任 意 向 量1,2,nX及Xx 1,x 2,xn,Yy 1,y2,yn用f,XAYnna iji1j1,在12,下的度量定义的函数是 V 上一个双线性函数.简洁运算出f矩阵就是 A.
16、因此,在给定的基下, V 上全体双线性函数与 双射 . P 上全体 n 级矩阵之间的一个在不同的基下, 同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的,它们之间的什么关系呢？设 1 , 2 , , n 及 1 , 2 , , n 是线性空间 V 的两组基： 1 , 2 , , n 1 , 2 , , n C, 是V 中两个向量 1 , 2 , , n X 1 , 2 , , n X 1 , 1 , 2 , , n Y 1 , 2 , , n Y 1那么假如双线性函数f,在1,XCX1,Y2CY 1n下的度量矩阵分别为A ,B,2,n及1,就有f,XAYCX1A CY 1X1CACY 1. 又名师归纳总
17、结 - - - - - - -第 10 页,共 19 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案. f,X1BY 1因此B C AC这说明同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的 . 定义 5 设 f , 是线性空间 V 上一个双线性函数,假如f , 0对任意 V ,可推出 0 , f 就叫做非退化的 . 可以应用度量矩阵来判定一个双线性函数是不是退化的 .设双线性函数f , 在 基 1 , 2 , , n 下 的 度 量 矩 阵 为 A,就 对 1 , 2 , , n X , 1 , 2 , , n Y,有f , X AY假如向量 满意f , 0 , V , 那
18、么对任意 Y 都有XAY0因此X A 0而有非零向量 X 使上式成立的充要条件为 A 是退化的,因此易证双线性函数f , 是非退化的充要条件为其度量矩阵 A为非退化矩阵 . 对度量矩阵作合同变换可使度量矩阵化简.但对一般矩阵用合同变换化简是名师归纳总结 比较复杂的 .对于对称矩阵已有较完整的理论. 第 11 页,共 19 页定义 6 f,是线性空间 V 上的一个双线性函数, 假如对 V 上任意两个向量,都有f,f, 就称f,为对称双线性函数 .假如对 V 中任意两个向量,都有- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编优秀教案f,f,就称 f , 为反对
19、称双线性函数 . 设 f , 是线 性空 间 V 上的一 个对称双线性函数,对 V 的任一组基1 , 2 , , n,由于f i , j f j , i 故其度量矩阵是对称的,另一方面,假如双线性函数 f , 在 1 , 2 , , n 下的度 量 矩 阵 是 对 称 的 , 那 么 对 V 中 任 意 两 个 向 量 1 , 2 , , n X 及 1 , 2 , , n Y 都有f , X AY Y A X Y AX f , . 因此 f , 是对称的,这就是说,双线性函数是对称的,当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称的 . 同样的,双线性函数是反对称的的充要条件是它在任一组基下的度量矩
20、阵是反对称矩阵 . 我们知道, 欧氏空间的内积不仅是对称双线性函数,量矩阵是正交矩阵 . 而且它在任一基下的度名师归纳总结 定理 5 设 V 是数域 P 上 n 维线性空间,f,是V 上对称双线性函数,就第 12 页,共 19 页存在 V 的一组基1,2,n,使f,在这组基下的度量矩阵为对角矩阵. 如 果f,在1,2,n下 的 度 量 矩 阵 为 对 角 矩 阵 , 那 么 对nnxii,yii, i1i1f,有表示式f,d 1x 1y 1d2x 2y2dnx nyn. 这个表示式也是f,在1,2,n下的度量矩阵为对角形的充分条件. 推论 1 设 V 是复数上 n 维线性空间,f,是V 上对称
21、双线性函数,就存- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在 V 的一组基1,2,n名师精编优秀教案inxii,inyii,有,对 V 中任意向量11f , x 1 y 1 x 2 y 2 x r y r 0 r n . 推论 2 设 V 是实数 n 上维线性空间,f , 是V 上对称双线性函数,就存n n在 V 的一组基 1 , 2 , , n,对 V 中任意向量 x i i , y i i,有i 1 i 1f , x 1 y 1 x p y p x p 1 y p 1 x r y r 0 p r n . 对称双线性函数与二次齐次函数是 11 对应的 . 定
22、义 7 设 V 是数域 P 上线性空间,f , 是 V 上双线性函数 .当 时,V 上函数 f , 称为与 f , 对应的二次齐次函数 . 给定 V 上一组基 1 , 2 , , n,设 f , 的度量矩阵为 A a ij n n .对 V 中任n意向量 ix i 有i 1n nf , a ij x i x j . 5 i 1 j 1式中 x ix j 的系数为 a ij a ji .因此假如两个双线性函数的度量矩阵分别为A a ij n n 及 B ijb n n只要a ijajib ijbji,i,j1 ,2,n, 那么它们对应的二次齐次函数就相同,因此有许多双线性函数对应于同一个二次齐次
23、函数,但是假如要求 A为对称矩阵,即要求双线性函数为对称的,那么一个二次齐次函数只对应一个对称双线性函数.从 1式看出二次齐次函数的坐标表达名师归纳总结 式就是以前学过的二次型.它与对称矩阵是 11 对应的,而这个对称矩阵就是唯第 13 页,共 19 页一的与这个二次齐次函数对应的对称双线性函数. 定理 6 设f,是 n 维线性空间 V 上的反对称双线性函数, 就存在 V 的一组基1,1,r,r,1,s使- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fi,i名师精编优秀教案,r;1,i1f i , j 0 , i j 0 ; 6 f , k 0 , V , k 1
24、 , , s .从定理 5 可知, V 上的对称双线性函数 f , 假如是非退化的就有 V 的一组基 1 , 2 , , n 满意f i , i 0 , i 1 , 2 , , n ;f i , j 0 , j i .前面的不等式是非退化条件保证的,这样的基叫做 V 的对于 f , 的正交基 . 而从定理 6 可知,V 上的反对称双线性函数 f , 假如是非退化的,就有 V的一组基 1 , 1 , , r, r 使f i , i 1 , i 1 , 2 , , r ;f i , j 0 , i j 0 .由于非退化的条件, 定理 6 中的 1 , , s 不行能显现 .因此具有非退化反对称双线
25、性函数的线性空间肯定是偶数维的 . 对于具有非退化对称、 反对称双线性函数的线性空间V ,也可以将这些双线性函数看成 V 上的一个“ 内积” ,仿照欧氏空间来争论它的度量性质,一般的长度,角度很难的进去,但是仍能争论“ 正交性”函数的线性变换等 . 、“ 正交基” 以及保持这个双线性定义 8 设 V 是数域 P 上的线性空间, 在V 上定义一个非退化线性函数, 就V名师归纳总结 称为一个双线性度量空间.当 f 是非退化对称双线性函数时,V 称为 P 上的正交第 14 页,共 19 页空间；当 V 是 n 维实线性空间,f 是非退化对称双线性函数时,V 称为准欧氏空间；当 f 是非退化反对称双线
26、性函数时, 称V 为辛空间 .有着非退化双线性函数f的双线性度量空间常记为 V,f. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案 4 辛空间由前一节的争论,已经得到下面的两点性质：1. 辛空间 V , f 中肯定能找到一组基 1 , 2 , , n , 1 , 2 , , n 满意f i , i 1 , 1 i n ,f i , j 0 , n i , j n , i j 0 . 这样的基称为 V , f 的辛正交基 .仍可看出辛空间肯定是偶数维的 . 2任一 2 级非退化反对称矩阵 K 可把一个数域 P 上 2 维空间 V 化成一个辛空间,
27、且使 K 为 V 的某基 1 , 2 , , n , 1 , 2 , , n 下度量矩阵 .又此辛空间在某辛正交基 1 , 2 , , n , 1 , 2 , , n 下的度量矩阵为O EJ , 1 E O 2 n 2 n故 K 合同于 J .即任一 2 级非退化反对称矩阵皆合同于 J . 两个辛空间 V 1f 1 及 V 2f 2 ,如有 V 到 V 的作为线性空间的同构 . ,它满足f 1 u , v f 2 Ku , Kv , 就称 . 是 V 1f 1 到 V 2f 2 的辛同构 . V 1f 1 到 V 2 , f 2 的作为线性空间的同构是辛同构当且仅当它把 V 1f 1 的一组辛
28、正交基变成 V 2f 2 的辛正交基 . 两个辛空间是辛同构的当且仅当它们有相同的维数 . 辛空间 V , f 到自身的,辛同构称为 V , f 上的辛变换 .取定 V , f 的一组辛正交基 1 , 2 , , n , 1 , 2 , , n,V 上的一个线性变换 . ,在该基下的矩阵为K ,名师归纳总结 其中A ,B,C,D皆为nnKAB, KJKJ,亦即当且仅当第 15 页,共 19 页CD方阵 .就 .是辛变换当且仅当- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 优秀教案以下条件成立：且易证| K,|ACCA,BDDB,ADCBE0,及辛变换的乘积、辛变换的逆变换皆为辛变换. 设Vf是辛空间,u,vV,满意fu,v0,就称u, 为辛正交的 . W 是V 的子空间,令WuV|fu,w 0,wW. 2 W 明显是 V 的子空间,称为 W 的辛正交补空间 . 名师归纳总结 定理 7 V,f是辛空间, W 是V 的子空间,就第 16 页,共 19 页dimWdimVdimW. 定义 9 V,f为辛空间, W 为 V 的子空间 .如WW,