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1、重点保分 两级优选练A级一、选择题1(2017皖北协作区联考)已知抛物线C：x22py(p0)，若直线y2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为()Ax28y Bx24y Cx22y Dx2y答案C解析由得或即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，则4，得p1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x22y.故选C.2(2014全国卷)设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则|AB|()A. B6 C12 D7答案C解析抛物线C：y23x的焦点为F，所以AB所在的直线方程为y，将y代入y23x，消去y整理得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与
2、系数的关系得x1x2，由抛物线的定义可得|AB|x1x2p12.故选C.3(2018广东广州模拟)如果P1，P2，Pn是抛物线C：y24x上的点，它们的横坐标依次为x1，x2，xn，F是抛物线C的焦点，若x1x2xn10，则|P1F|P2F|PnF|()An10 Bn20 C2n10 D2n20答案A解析由抛物线的方程y24x可知其焦点为(1,0)，准线为x1，由抛物线的定义可知|P1F|x11，|P2F|x21，|PnF|xn1，所以|P1F|P2F|PnF|x11x21xn1(x1x2xn)nn10.故选A.4(2017江西赣州二模)抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，A是抛物线上一点
3、，若A到F的距离是A到y轴距离的两倍，且三角形OAF的面积为1，O为坐标原点，则p的值为()A1 B2 C3 D4答案B解析不妨设A(x0，y0)在第一象限，由题意可知即A，又点A的抛物线y22px上，2p，即p416，又p0，p2，故选B.5过抛物线y28x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于点C，若|AF|6，(0)，则的值为()A. B. C. D3答案D解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(2，y3)，则x126，解得x14，y14，点A(4,4)，则直线AB的方程为y2(x2)，令x2，得C(2，8)，联立方程组解得B(1，2)，所以|BF|123，|BC|9
4、，所以3.故选D.6(2017抚顺一模)已知点P是抛物线y24x上的动点，设点P到此抛物线的准线的距离为d1，到直线xy40的距离为d2，则d1d2的最小值为()A2 B. C. D.答案D解析点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线xy40的垂线，此时d1d2最小，F(1,0)，则d1d2.故选D.7(2018北京东城区期末)已知抛物线C1：yx2(p0)的焦点与双曲线C2：y21的右焦点的连线交C1于第一象限的点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p()A. B. C. D.答案D解析由题意可知，抛物线开口向上且焦点坐标为，双曲线焦点坐标为(2,0)，所以两个焦
5、点连线的直线方程为y(x2)设M(x0，y0)，则有yx0x0p.因为y0x，所以y0.又M点在直线y(x2)上，即有p，故选D.8(2018河北邯郸调研) 已知M(x0，y0)是曲线C：y0上的一点，F是曲线C的焦点，过M作x轴的垂线，垂足为N，若0，则x0的取值范围是()A(1,0)(0,1) B(1,0)C(0,1) D(1,1)答案A解析由题意知曲线C为抛物线，其方程为x22y，所以F，根据题意可知，N(x0,0)，x00，(0，y0)，所以y00，即0y0，因为点M在抛物线上，所以有0，又x00，解得1x00或0x01，故选A.9(2017山西五校联考)已知抛物线C：y22px(p0
6、)上一点(5，m)到焦点的距离为6，P，Q分别为抛物线C与圆M：(x6)2y21上的动点，当|PQ|取得最小值时，向量在x轴正方向上的投影为()A2 B21 C1 D.1答案A解析因为65，所以p2，所以抛物线C的方程为y24x.设P(x，y)，则|PM|，可知当x4时，|PQ|取得最小值，最小值为121，此时不妨取P点的坐标为(4，4)，则直线PM的斜率为2，即tanPMO2，所以cosPMO，故当|PQ|取得最小值时，向量在x轴正方向上的投影为(21)cosPMO2.故选A.10(2018湖北七市联考)过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线与双曲线x21的一条渐近线平行，并交抛物线于A，
7、B两点，若|AF|BF|，且|AF|2，则抛物线的方程为()Ay22x By23xCy24x Dy2x答案A解析由双曲线方程x21知其渐近线方程为yx，过抛物线焦点F且与渐近线平行的直线AB的斜率为，不妨取kAB，则其倾斜角为60，即AFx60.过A作ANx轴，垂足为N.由|AF|2，得|FN|1.过A作AM准线l，垂足为M，则|AM|p1.由抛物线的定义知，|AM|AF|，p12，p1，抛物线的方程为y22x，故选A.二、填空题11(2017河南新乡二模)已知点A(1，y1)，B(9，y2)是抛物线y22px(p0)上的两点，y2y10，点F是抛物线的焦点，若|BF|5|AF|，则yy2的值
8、为_答案10解析由抛物线的定义可知，95，解得p2，抛物线方程为y24x，又A，B两点在抛物线上，y12，y26，yy222610.12(2017湖南岳阳二模)直线3x4y40与抛物线x24y和圆x2(y1)21从左至右的交点依次为A，B，C，D，则的值为_答案16解析如图所示，抛物线x24y的焦点为F(0,1)，直线3x4y40过点(0,1)，由得4y217y40，设A(x1，y1)，D(x2，y2)，则y1y2，y1y21，解得y1，y24，则16.13(2017河南安阳二模)已知抛物线C1：yax2(a0)的焦点F也是椭圆C2：1(b0)的一个焦点，点M，P分别为曲线C1，C2上的点，则
9、|MP|MF|的最小值为_答案2解析将P代入1，可得1，b，c1，抛物线的焦点F为(0,1)，抛物线C1的方程为x24y，准线为直线y1，设点M在准线上的射影为D，根据抛物线的定义可知|MF|MD|，要求|MP|MF|的最小值，即求|MP|MD|的最小值，易知当D，M，P三点共线时，|MP|MD|最小，最小值为1(1)2.14(2017河北衡水中学调研)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，过F的直线l与抛物线交于A，B两点，且|AF|4|FB|，O为坐标原点，若AOB的面积为，则p_.答案1解析易知抛物线y22px的焦点F的坐标为，准线为x，不妨设点A在x轴上方，如图，过A，B作准线的垂线
10、AA，BB，垂足分别为A，B，过点B作BHAA，交AA于H，则|BB|AH|，设|FB|t，则|AF|AA|4t，|AH|AA|AH|3t，又|AB|5t，在RtABH中，cosHAB，tanHAB，则可得直线AB的方程为y.由得8x217px2p20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x2pppp，易知点O到直线AB的距离为d|OF|sinAABp.SAOBpp，p21，又p0，p1.B级三、解答题15(2017泰安模拟)已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且
11、与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且|OP|PB|，求FAB的面积解(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，(8)22p8，2p8，抛物线方程为y28x.(2)直线l2与l1垂直，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由得y28y8m0，6432m0，m2.y1y28，y1y28m，x1x2m2.由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，m8或m0(舍)，直线l2：xy8，M(8,0)故SFABSFMBSFMA|FM|y1y2|324.16(2016浙江高考)如图，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的
12、点A到y轴的距离等于|AF|1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M.求M的横坐标的取值范围解(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x1的距离，由抛物线的定义得1，即p2.(2)由(1)得，抛物线方程为y24x，F(1,0)，可设A(t2，2t)，t0，t1.因为AF不垂直于y轴，可设直线AF：xsy1(s0)，由消去x，得y24sy40，故y1y24，所以，B.又直线AB的斜率为，故直线FN的斜率为.从而得直线FN：y(x1)，直线BN：y.所以N.设M(m,0)，由A，M，N三点共线，
13、得，于是m(t0，t1)所以m0或m2.经检验，m0或m2满足题意综上，点M的横坐标的取值范围是(，0)(2，)17(2017北京高考)已知抛物线C：y22px过点P(1,1)过点作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点(1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；(2)求证：A为线段BM的中点解(1)由抛物线C：y22px过点P(1,1)，得p.所以抛物线C的方程为y2x.抛物线C的焦点坐标为，准线方程为x.(2)证明：由题意，设直线l的方程为ykx(k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)由得4k2x
14、2(4k4)x10，则x1x2，x1x2.因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1)直线ON的方程为yx，点B的坐标为.因为y12x10，所以y12x1，故A为线段BM的中点18(2018湖南检测)已知曲线C上的动点M到y轴的距离比到点F(1,0)的距离小1.(1)求曲线C的方程；(2)过F作弦PQ，RS，设PQ，RS的中点分别为A，B，若0，求|最小时，弦PQ，RS所在直线的方程；(3)是否存在一定点T，使得？若存在，求出P的坐标，若不存在，试说明理由解(1)由条件，点M到点F(1,0)的距离等于到直线x1的距离，所以曲线C是以F为焦点，直线x1为准线的抛物线，其方程为y24x.(2)设lPQ：yk(x1)，代入y24x得：k2x22(k22)xk20.由韦达定理xA1，yAk(xA1).A，0，PQRS.只要将A点坐标中的k换成，得B(12k2，2k)，| 4(当且仅当k1 时取“”)，所以，|最小时，弦PQ，RS所在直线的方程为y(x1)，即xy10或xy10.(3)，即A，T，B三点共线，是否存在一定点T，使得，即探求直线AB是否过定点由(2)知，直线AB的方程为y2k(x2k21)，整理得(1k2)yk(x3)，直线AB过定点(3,0)，故存在一定点T(3,0)，使得.