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1、2.3.1直线与平面垂直的判定学习目标1.理解直线与平面垂直的定义.2.掌握直线与平面垂直的判定定理的内容及其应用.3.应用直线与平面垂直的判定定理解决问题知识点一直线与平面垂直的定义思考 在阳光下观察直立于地面的旗杆及它在地面上的影子，随着时间的变化，影子的位置在移动，在各个时刻旗杆所在的直线与其影子所在的直线夹角是否发生变化，为多少？答案不变，90.梳理定义如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直记法l有关概念直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直知识点二直
2、线和平面垂直的判定定理将一块三角形纸片ABC沿折痕AD折起，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)如图，观察折痕AD与桌面的位置关系思考1折痕AD与桌面一定垂直吗？答案不一定思考2当折痕AD满足什么条件时，AD与桌面垂直？答案当ADBD且ADCD时，折痕AD与桌面垂直梳理文字语言一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直符号语言la，lb，a，b，abPl图形语言知识点三直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线与平面相交，但不和平面垂直，图中直线PA斜足斜线和平面的交点，图中点A射影过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射
3、影，图中斜线PA在平面上的射影为直线AO直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，图中PAO规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0取值范围设直线与平面所成的角为，090类型一直线与平面垂直的定义例1如图，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，求证：BC平面PAC.证明PA平面ABC，PABC.又AB是O的直径，BCAC.而PAACA，BC平面PAC.引申探究若本例中其他条件不变，作AEPC交PC于点E，求证：AE平面PBC.证明由例1知BC平面PAC，又AE平面PAC，BCAE.PCAE，
4、且PCBCC，AE平面PBC.反思与感悟(1)使用直线与平面垂直的判定定理的关键是在平面内找到两条相交直线都与已知直线垂直，即把线面垂直转化为线线垂直来解决(2)证明线面垂直的方法线面垂直的定义线面垂直的判定定理如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面跟踪训练1如图，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直径，C是O上任意一点，过点A作AEPC于点E，作AFPB于F，求证：PB平面AEF.证明由引申探究知AE平面PBC.PB平面PBC，AEPB，又AFPB，且AEAFA，PB平面AEF.类型二直
5、线与平面所成的角例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，(1)求A1B与平面AA1D1D所成的角；(2)求A1B与平面BB1D1D所成的角解(1)AB平面AA1D1D，AA1B就是A1B与平面AA1D1D所成的角，在RtAA1B中，BAA190，ABAA1，AA1B45，A1B与平面AA1D1D所成的角是45.(2)连接A1C1交B1D1于点O，连接BO.A1OB1D1，BB1A1O，A1O平面BB1D1D，A1BO就是A1B与平面BB1D1D所成的角设正方体的棱长为1，则A1B，A1O.又A1OB90，sinA1BO，又A1BO0，90，A1BO30，A1B与平面BB1D1D所成的角是
6、30.反思与感悟求斜线与平面所成角的步骤(1)作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算(2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角(3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算跟踪训练2如图，在三棱锥ASBC中，BSC90，ASBASC60，SASBSC，求直线AS与平面SBC所成的角解因为ASBASC60，SASBSC，所以ASB与SAC都是等边三角形因此，ABAC.如图，取BC的中点D，连接AD，SD，则ADBC.设SAa，则在RtSBC中，BCa，CDS
7、Da.在RtADC中，ADa，则AD2SD2SA2，所以ADSD.又BCSDD，所以AD平面SBC.因此，ASD即为直线AS与平面SBC所成的角在RtASD中，SDADa，所以ASD45.1下面叙述中：若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于两底边所在的直线；若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于两腰所在的直线其中正确的有()A1个 B2个 C3个 D4个答案B解析中若两条直线为平行直线，则这条直线不一定与平面垂直，所以不正确；由定义知正确；中直线与梯形的两腰所
8、在直线垂直，则与梯形所在平面垂直，由定义知也与两底边所在直线垂直，所以正确；中直线与梯形两底边所在直线垂直，则不一定与梯形所在平面垂直，故不一定与两腰所在直线垂直，不正确故选B.2直线l平面，直线m，则l与m不可能()A平行 B相交C异面 D垂直答案A解析若lm，l，m，则l，这与已知l矛盾所以直线l与m不可能平行3如图所示，若斜线段AB是它在平面上的射影BO的2倍，则AB与平面所成的角是()A60 B45C30 D120答案A解析ABO即是斜线AB与平面所成的角，在RtAOB中，AB2BO，所以cosABO，即ABO60.故选A.4如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面AB
9、CD，APAB2，BC2，E，F分别是AD，PC的中点证明：PC平面BEF.证明如图，连接PE，EC，在RtPAE和RtCDE中，PAABCD，AEDE，所以PECE，即PEC是等腰三角形又F是PC的中点，所以EFPC.又BP2BC，F是PC的中点，所以BFPC.又BFEFF，所以PC平面BEF.1线线垂直和线面垂直的相互转化2证明线面垂直的方法(1)线面垂直的定义(2)线面垂直的判定定理(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面课时作业一、选择题1下列说法中正确的个数是()若直线l与
10、平面内的一条直线垂直，则l；若直线l与平面内的两条直线垂直，则l；若直线l与平面内的两条相交直线垂直，则l；若直线l与平面内的任意一条直线垂直，则l.A4 B2 C3 D1答案B解析对于不能断定该直线与平面垂直，该直线与平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面内，所以是错误的；易知是正确的2如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况，能保证该直线与平面垂直的是()三角形的两边；梯形的两边；圆的两条直径；正六边形的两条边A B C D答案A解析由线面垂直的判定定理知，直线垂直于图形所在的平面而图形中的两边不一定相交，故该直线与它们所在的平面不一定垂直3如果一条直线l与平面的一条垂线垂直，那么直线l
11、与平面的位置关系是()Al BlCl Dl或l答案D解析结合正方体模型，直线l与平面的位置关系是平行或在平面内，故选D.4若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于()A平面OAB B平面OACC平面OBC D平面ABC答案C解析OAOB，OAOC且OBOCO，OA平面OBC.5如图所示，如果MC菱形ABCD所在平面，那么MA与BD的位置关系是()A平行B垂直相交C垂直但不相交D相交但不垂直答案C解析连接AC.因为ABCD是菱形，所以BDAC.又MC平面ABCD，则BDMC.因为ACMCC，所以BD平面AMC.又MA平面AMC，所以MABD.显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA
12、与BD的位置关系是垂直但不相交6在正方体ABCDA1B1C1D1中，下面结论错误的是()ABD平面CB1D1BAC1BDCAC1平面CB1DD异面直线AD与CB1所成的角为45答案C解析由正方体的性质得BDB1D1，且BD平面CB1D1，所以BD平面CB1D1，故A正确；因为BD平面ACC1A1，所以AC1BD，故B正确；异面直线AD与CB1所成的角即为AD与DA1所成的角，故为45，所以D正确7把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()A90 B60 C45 D30答案C解析如图，当DO平面ABC时，三棱锥DABC的
13、体积最大DBO为直线BD和平面ABC所成的角，在RtDOB中，ODOB，直线BD和平面ABC所成的角大小为45.8设l，m是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题正确的是()A若lm，m，则lB若l，lm，则mC若l，m，则lmD若l，m，则lm答案B解析根据定理，两条平行线中一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，故选B.二、填空题9在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，当底面A1B1C1满足条件_时，有AB1BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)答案A1C1B190解析如图所示，连接B1C，由BCCC1，可得BC1B1C，因此，要证AB1B
14、C1，则只要证明BC1平面AB1C，即只要证ACBC1即可，由直三棱柱可知，只要证ACBC即可因为A1C1AC，B1C1BC，故只要证A1C1B1C1即可(或者能推出A1C1B1C1的条件，如A1C1B190等)10如图所示，AB是O的直径，PAO所在的平面，C是圆上一点，且ABC30，PAAB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为_答案2解析因为PA平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以PCA即为PC与平面ABC所成的角在PAC中，ACABPA，所以tanPCA2.11如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若B1MN是直角，则C1
15、MN_.答案90解析B1C1平面ABB1A1，B1C1MN.又MNB1M，MN平面C1B1M.又C1M平面C1B1M，MNC1M，C1MN90.三、解答题12如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形已知AD2，PA2，PD2，求证：AD平面PAB.证明在PAD中，由PA2，AD2，PD2，可得PA2AD2PD2，即ADPA.又ADAB，PAABA，所以AD平面PAB.13如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2.(1)求证：ACB1D；(2)求三棱锥CBDB1的体积(1)证明ABCDA1B1C1D1为正方体，BB1平面ABCD.又AC平面ABCD，BB1AC.又底面ABCD为正
16、方形，ACBD.BB1BDB，AC平面BB1D.B1D平面BDB1，ACB1D.(2)解B1B平面ABCD，B1B是三棱锥B1BDC的高SBDCBB1222，三棱锥CBDB1的体积为.四、探究与拓展14如图所示，四棱锥SABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确的是()AACSBBAB平面SCDCSA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角DAB与SC所成的角等于DC与SA所成的角答案D解析对于选项A，由题意得SDAC，ACBD，SDBDD，AC平面SBD，故ACSB，故A正确；对于选项B，ABCD，AB平面SCD，AB平面SCD，故B正确；对于选项C，由对称性知SA
17、与平面SBD所成的角与SC与平面SBD所成的角相等，故C正确15.如图，PA矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点(1)求证：MN平面PAD；(2)若PD与平面ABCD所成的角为45，求证：MN平面PCD.证明(1)取PD的中点E，连接NE，AE，如图又N是PC的中点，NE綊DC.又DC綊AB，AMAB，AM綊CD，NE綊AM，四边形AMNE是平行四边形，MNAE.AE平面PAD，MN平面PAD，MN平面PAD.(2)PA平面ABCD，PDA即为PD与平面ABCD所成的角，PDA45，APAD，AEPD.又MNAE，MNPD.PA平面ABCD，PACD.又CDAD，CD平面PAD.AE平面PAD，CDAE，CDMN.又CDPDD，MN平面PCD.