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1、2.3.2平面与平面垂直的判定学习目标1.理解二面角及其平面角的概念，能确认图形中的已知角是否为二面角的平面角.2.掌握二面角的平面角的一般作法，会求简单的二面角的平面角.3.掌握两个平面互相垂直的概念，能用定义和定理判定面面垂直知识点一二面角思考1观察教室内门与墙面，当门绕着门轴旋转时，门所在的平面与墙面所形成的角的大小和形状数学上，用哪个概念来描述门所在的平面与墙面所在的平面所形成的角？答案二面角思考2平时，我们常说“把门开大一点”，在这里指的是哪个角大一点？答案二面角的平面角梳理二面角的概念(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形(2)相关概念：这条直线叫做二面角的棱，两个半平
2、面叫做二面角的面(3)画法：(4)记法：二面角l或AB或PlQ或PABQ.(5)二面角的平面角：若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则二面角l的平面角是AOB.知识点二平面与平面垂直思考建筑工人常在一根细线上拴一个重物，做成“铅锤”，用这种方法来检查墙与地面是否垂直当挂铅锤的线从上面某一点垂下时，如果墙壁贴近铅锤线，则说明墙和地面什么关系？此时铅锤线与地面什么关系？答案都是垂直梳理两面垂直的定义及判定(1)平面与平面垂直定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直画法：记作：.(2)判定定理文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符号
3、语言l，l类型一证明面面垂直例1如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，PA平面ABCD，M是PD的中点(1)求证：OM平面PAB；(2)求证：平面PBD平面PAC.证明(1)在PBD中，O，M分别是BD，PD的中点，所以OMPB，因为OM平面PAB，PB平面PAB，所以OM平面PAB.(2)因为PA平面ABCD，BD平面ABCD，所以PABD.因为底面ABCD是菱形，所以ACBD.又因为AC平面PAC，PA平面PAC，ACPAA，所以BD平面PAC.又因为BD平面PBD，所以平面PBD平面PAC.引申探究如图，本例中若底面ABCD改为正方形，另增加条件：P
4、AAD，其他条件不变试证明：(1)AM平面PCD；(2)平面ACM平面PCD.证明(1)PAAD，M是PD的中点，AMPD.PA平面ABCD，PADC，又由于ADDC，PAADA，DC平面PAD，DCAM.又PDDCD，AM平面PCD.(2)由(1)知AM平面PCD，AM平面ACM，平面ACM平面PCD.反思与感悟应用判定定理证明平面与平面垂直的基本步骤跟踪训练1如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直底面，ACB90，ACAA1，D是棱AA1的中点证明：平面BDC1平面BDC.证明由题设知BCCC1，BCAC，CC1ACC，所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1，所以DC1BC
5、.由题设知A1DC1ADC45，所以CDC190，即DC1DC.又DCBCC，所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1，所以平面BDC1平面BDC.类型二求二面角的大小例2如图，已知三棱锥ABCD的各棱长均为2，求二面角ACDB的余弦值解如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AMCD，BMCD.由二面角的定义可知AMB为二面角ACDB的平面角设点H是BCD的中心，则AH平面BCD，且点H在BM上在RtAMH中，AM2，HM2，则cosAMB，即二面角的余弦值为.反思与感悟(1)求二面角大小的步骤简称为“一作二证三求”(定义法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线
6、如图(1)所示，AOB为二面角a的平面角(垂线法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，连接该点与垂足，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角如图(2)所示，AFE为二面角ABCD的平面角(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角如图(3)所示，AOB为二面角l的平面角(1)(2)(3)跟踪训练2如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上的一点，且PAAC，求二面角PBCA的大小解由已知PA平面ABC，BC平面ABC，PABC.AB是O的直径，且点C在圆周上，ACBC.又PAACA，B
7、C平面PAC.而PC平面PAC，PCBC.又BC是二面角PBCA的棱，PCA是二面角PBCA的平面角由PAAC知PAC是等腰直角三角形，PCA45，即二面角PBCA的大小是45.1直线l平面，l平面，则与的位置关系是()A平行 B可能重合C相交且垂直 D相交不垂直答案C解析由面面垂直的判定定理，得与垂直，故选C.2从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是()A互为余角 B相等C其和为周角 D互为补角答案D解析画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.3长方体ABCDA1B1C1D1的六个
8、面中，与平面ABCD垂直的平面有()A1个 B3个 C4个 D5个答案C解析与平面ABCD垂直的面有：平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面CDD1C1，平面DAA1D1，共4个，故选C.4三棱锥PABC的两侧面PAB、PBC都是边长为2a的正三角形，ACa，则二面角APBC的大小为()A90 B30 C45 D60答案D解析如图，取PB的中点为M，连接AM，CM，则AMPB，CMPB，AMC为二面角APBC的平面角，易得AMCMa，则AMC为正三角形，AMC60.5如图所示，在四棱锥SABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC平面ABCD，E为SA的中点求证：平面EBD平面ABCD.
9、证明连接AC与BD交于O点，连接OE.O为AC的中点，E为SA的中点，EOSC.SC平面ABCD，EO平面ABCD.又EO平面EBD，平面EBD平面ABCD.1求二面角的步骤简称为“一作二证三求”2证明面面垂直常用的方法(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面课时作业一、选择题1下列不能确定两个平面垂直的是()A两个平面相交，所成二面角是直二面角B一个平面垂直于另一个平面内的一条直线C一个平面经过另一个平面的一条垂线D平面内
10、的直线a垂直于平面内的直线b答案D解析如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面A1B1CD内的直线A1B1垂直于平面ABCD内的一条直线BC，但平面A1B1CD与平面ABCD显然不垂直2关于直线a，b以及平面M，N，下列命题中正确的是()A若aM，bM，则abB若bM，ab，则aMC若bM，ab，则aMD若aM，aN，则MN答案D解析A中，当直线a，b都在一个平面上相交，且这个平面与M平行，可推断出A不一定成立；B中，可能存在aM的情况，故B的结论不一定成立；C中，可能存在aM的情况，故C项错误；D中，若aM，aN，由面面垂直的判定定理可知MN，故D项中说法正确3如图所示，在四面体D
11、ABC中，若ABBC，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是()A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面ABC平面ADC，且平面ADC平面BDE答案C解析因为ABBC，且E是AC的中点，所以BEAC.同理，DEAC.又BEDEE，所以AC平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC平面BDE.因为AC平面ACD，所以平面ACD平面BDE.4如图所示，在ABC中，ADBC，ABD的面积是ACD的面积的2倍沿AD将ABC翻折，使翻折后BC平面ACD，此时二面角BADC的大小为()A30 B45C60 D90答案C解析由已知得BD2C
12、D.翻折后，在RtBCD中，BDC60，而ADBD，CDAD，故BDC是二面角BADC的平面角，其大小为60.5如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面ABC，点 C是圆上的任意一点，图中互相垂直平面的对数为()A4 B3 C2 D1答案B解析PA圆O所在平面ABC，平面PAB平面ABC，同理可得：平面PAC平面ABC，AB是圆O的直径，BCAC，又PA圆O所在平面ABC，BC平面ABC，PABC.又PAACA，PA，AC平面PAC.BC平面PAC.又BC平面PBC，平面PBC平面PAC.综上相互垂直的平面共有3对6过两点与一个已知平面垂直的平面()A有且只有一个 B有无数个C有且只有一
13、个或无数个 D可能不存在答案C解析设两点为A，B，平面为，若直线AB，则过A、B与垂直的平面有无数个；若直线AB与不垂直，即直线AB与平行、相交或在平面内，均存在唯一平面垂直于已知平面7在正四面体PABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是()ABC平面PDF BDF平面PAEC平面PDF平面ABC D平面PAE平面ABC答案C解析如图所示，BCDF，BC平面PDF，A正确由BCPE，BCAE，得BC平面PAE，DF平面PAE，B正确平面ABC平面PAE(BC平面PAE)，D正确8如图所示，已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形，PA平面ABC，PA2AB，则
14、下列结论正确的是()APBADB平面PAB平面PBCC直线BC平面PAED直线PD与平面ABC所成的角为45答案D解析PA平面ABC，ADP是直线PD与平面ABC所成的角六边形ABCDEF是正六边形，AD2AB，即tanADP1，直线PD与平面ABC所成的角为45.故选D.二、填空题9已知，是两个不同的平面，l是平面与之外的直线，给出下列三个论断：l，l，.以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：_.(用序号表示)答案解析由l可在平面内作ll，又l，l，l，故.10下列结论中，所有正确结论的序号是_两个相交平面形成的图形叫做二面角；异面直线a，b分别和一个二
15、面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系答案解析由二面角及二面角的平面角的定义知不正确，正确；中所成的角虽不是二面角的平面角，但由平面几何的知识易知正确11如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，BC2，AA11，E，F分别在AD和BC上，且EFAB，若二面角C1EFC等于45，则BF_.答案1解析由题意知EFBC.CC1平面ABCD，CC1EF，又BCCC1C，EF平面CC1F，EFC1F.故C1FC为二面角C1EFC的平面角，即C1FC45，
16、AA11，CF1，又BC2，BF1.12如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)答案DMPC(或BMPC等)解析由定理可知，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD，而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.三、解答题13如图所示，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E为BB1的中点，求证：截面A1CE侧面ACC1A1.证明如图所示，取A1C的中点F，AC的中点G，连接FG，EF，BG，则FGAA1，且GFAA1.因为BEEB1，A1B1CB，A1B1ECBE9
17、0，所以A1B1ECBE，所以A1ECE.因为F为A1C的中点，所以EFA1C.又FGAA1BE，GFAA1BE，且BEBG，所以四边形BEFG是矩形，所以EFFG.因为A1CFGF，所以EF侧面ACC1A1.又因为EF平面A1CE，所以截面A1CE侧面ACC1A1.14如图，四棱锥PABCD的底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，AC，BD交于点E，F是PB的中点求证：(1)EF平面PCD；(2)平面PBD平面PAC.证明(1)四边形ABCD是正方形，E是BD的中点又F是PB的中点，EFPD.又EF平面PCD，PD平面PCD，EF平面PCD.(2)四边形ABCD是正方形，BDAC.PA平面
18、ABC，PABD.又PAACA，BD平面PAC.又BD平面PBD，平面PBD平面PAC.四、探究与拓展15如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动(1)证明：D1EA1D；(2)求AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为45？(1)证明连接D1A，D1B.在长方形A1ADD1中，ADAA11，四边形A1ADD1为正方形，A1DAD1.又由题意知ABA1D，且ABAD1A，A1D平面ABD1.D1E平面ABD1，A1DD1E.(2)解过D作DFEC于点F，连接D1F.D1D平面DB，EC平面DB，D1DEC.又DFD1DD，EC平面D1DF.D1F平面D1DF，ECD1F，DFD1为二面角D1ECD的平面角，DFD145，又D1DF90，D1D1，DF1.在RtDFC中，DC2，DCF30，ECB60.在RtEBC中，BC1，EB，AE2.