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1、1 概率论与数理统计第一章随机事件及其概率1.1 随机事件一、给出事件描述，要求用运算关系符表示事件：二、给出事件运算关系符，要求判断其正确性：1.2 概率古典概型公式：P（A）=所含样本点数所含样本点数A实用中经常采用“ 排列组合 ” 的方法计算补例 1：将 n 个球随机地放到n 个盒中去， 问每个盒子恰有1 个球的概率是多少？解：设 A：“ 每个盒子恰有1 个球” 。求： P(A)= ？所含样本点数：nnnnn.所含样本点数：!1.)2()1(nnnnnnnAP!)(补例 2：将 3 封信随机地放入4 个信箱中，问信箱中信的封数的最大数分别为1、2、3 的概率各是多少？解：设 Ai：“ 信
2、箱中信的最大封数为i ”。(i =1,2,3) 求： P(Ai)=？所含样本点数：6444443A1所含样本点数：24234836424)(1APA2所含样本点数：363423C1696436)(2APA3所含样本点数：4433C161644)(3AP注：由概率定义得出的几个性质：1、0P（A）1 2、P()=1，P() =0 1.3 概率的加法法则定理：设 A、B 是互不相容 事件（ AB= ） ，则：P（AB）=P（A）+P（B）推论 1：设 A1、 A2、 An互不相容，则名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名
3、师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 27 页 - - - - - - - - - 2 P(A1+A2+.+ An)= P(A1) + P(A2) + + P(An) 推论 2：设 A1、 A2、 An构成完备事件组，则P(A1+A2+.+ An)=1 推论 3： P（A）=1P（A）推论 4：若 BA，则 P(BA)= P(B) P(A) 推论 5（广义加法公式） ：对任意两个事件A 与 B，有 P(AB)=P(A)+P(B) P(A B)补充 对偶律：nnAAAAAA.2121nnAAAAAA.21211.4 条件概率与乘法法则条件概率公式：P(A/B)=)()(BPAB
4、P（P(B)0）P(B/A)= )()(APABP（P(A)0）P（AB ）=P（A/B）P（B）= P（B / A）P（A）有时须与 P（A+B ）=P（A）+P（B）P（AB ）中的 P（AB ）联系解题。全概率与逆概率公式：全概率公式：niiiABPAPBP1)/()()(逆概率公式：)()()/(BPBAPBAPii),.,2, 1(ni（注意全概率公式和逆概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用逆概率公式。 ）1.5 独立试验概型事件的独立性：)()()(BPAPABPBA相互独立与贝努
5、里公式（n重贝努里试验概率计算公式） ：课本 P24另两个解题中常用的结论1、定理：有四对事件：A 与 B、A 与B、A与 B、A与B，如果其中有一对相互独立，则其余三对也相互独立。2、公式：).(1).(2121nnAAAPAAAP第二章随机变量及其分布名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 27 页 - - - - - - - - - 3 一、关于离散型随机变量的分布问题1、求分布列：确定各种事件，记为写成一行；计算各种事件概率，记为p k写成第二行。得到的表
6、即为所求的分布列。注意：应符合性质1、0kp（非负性）2、1kkp（可加性和规范性）补例 1：将一颗骰子连掷2 次，以表示两次所得结果之和，试写出的概率分布。解：所含样本点数： 66=36所求分布列为：补例 2：一袋中有5只乒乓球，编号1，2，3，4，5，在其中同时取3 只，以表示取出3只球中最大号码，试写出的概率分布。解：所含样本点数：35C=10所求分布列为：2、求分布函数F(x) ：分布函数xxkkpxPxF)(二、关于连续型随机变量的分布问题：x R，如果随机变量的分布函数F（x）可写成 F（x）=xdxx)(，则 为连续型。)(x称概率密度函数。解题中应该知道的几个关系式：0)(x1
7、)(dxxbadxxaFbFbaPbaP)()()(第三章随机变量数字特征pk 6/103/101/10 p k 543 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 27 页 - - - - - - - - - 4 一、求离散型随机变量的数学期望E=？数学期望（均值）kkkpxE二、设为随机变量， f(x)是普通实函数，则=f( )也是随机变量，求E=?x1 x2xkpk p1p2 pk = f( )y1y2 yk 以上计算只要求这种离散型的。补例 1：设的概率分布为
8、：1 0 1 2 25pk 51101101103103求：1，2的概率分布；E。解：因为1 0 1 2 25pk 51101101103103= 2 1 0 1 23=1 0 1 4 425所以，所求分布列为：= 2 1 0 1 23pk 51101101103103和：=1 0 1 4 425pk 51101101103103当= 1 时， E=E（ 1）=251+(1)101+0101+1103+23103=1/4当=时， E=E=151+0101+1101+4103+425103=27/8名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - -
9、- - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 27 页 - - - - - - - - - 5 三、求或的方差D=？D=？实用公式D=2E2E其中，2E=2)(E=2)(kkkpx2E=kkkpx2补例 2：20 2 pk 0.4 0.30.3 求： E 和 D 解：E=20.4+00.3+20.3=0.2 E2=（2）20.4+020.3+220.3=2.8 D=E22E=2.8（ 0.2）2=2.76 第四章几种重要的分布常用分布的均值与方差（同志们解题必备速查表）名称概率分布或密度期望方差参数范围二项分布n pn p q0P0泊松分布不要求0 2),.,2,
10、1 ,0(nkqpCkPknkkn.).(,21)(222)(为常数，xexx名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 27 页 - - - - - - - - - 6 指数分布不要求0 解题中经常需要运用的E 和 D 的性质（ 同志们解题必备速查表）E 的性质D 的性质第五章参数估计8.1 估计量的优劣标准（以下可作填空或选择）若总体参数的估计量为?，如果对任给的0，有1?limPn，则称?是的一致估计；如果满足)?(E，则称?是的无偏估计；如果1?和2?均是的无
11、偏估计，若)?()?(21DD，则称1?是比2?有效的估计量。8.3 区间估计 ：几个术语1、设总体分布含有一位置参数，若由样本算得的一个统计量).(?11n，x，x及).(?12n，x，x，对于给定的（01）满足：121ccE)(0)(cDEEE)(DDD)(独立，则、若EEE)(独立，则、若EccE)(DccD2)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 27 页 - - - - - - - - - 7 1).(?).(?1211nn，x，x，x，xP则称随机
12、区间（1?，2?）是的 100（1）的置信区间，1?和2?称为的 100（1）的置信下、上限，百分数100（1）称为置信度。一、求总体期望（均值）E 的置信区间1、总体方差2已知的类型据，得)(0U12，反查表（课本P260 表）得临界值U；x=niixn11求 d=nU置信区间（x-d ，x+d）补简例：设总体)09.0,( NX随机取 4 个样本其观测值为12.6 ， 13.4 ，12.8 ， 13.2 ，求总体均值的95% 的置信区间。解： 1 =0.95 ， =0.05 （ U）=12=0.975 ，反查表得： U=1.96 4113)2.138.124.136.12(4141iiXX
13、 =0.3 ，n=4 d=nU=43. 096.1=0.29 所以，总体均值的=0.05 的置信区间为：（Xd，Xd）=（130.29 ，130.29 ）即（ 12.71 ，13.29 ）2、总体方差2未知的类型（这种类型十分重要！务必掌握！ ）据和自由度n1（n 为样本容量），查表（课本P262 表）得)1(nt；确定x=niixn11和niixxns122)(11求 d=nsnt)1(置信区间（x-d ，x+d）注：无特别声明，一般可保留小数点后两位，下同。二、求总体方差2的置信区间据和自由度n1（n 为样本数），查表得临界值：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
14、- - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 27 页 - - - - - - - - - 8 ) 1(22n和)1(221n确定X=niixn11和niixXns122)(11上限)1()1(2212nsn下限)1() 1(222nsn置信区间（下限，上限）典型例题：补例 1：课本 P166 之 16已知某种木材横纹抗压力的实验值服从正态分布，对10 个试件作横纹抗压力试验得数据如下（单位：kg/cm2）: 482 493 457 471 510 446 435 418 394 469 试对该木材横纹抗压力的方差进行区间估计（0
15、.04 ） 。解： =0.04 ，又 n=10，自由度 n1=9查表得，) 1(22n=)9(202.0=19.7 ) 1(221n=)9(298.0=2.53 X=101101iix=)469.493482(101=457.510122)(91iixXs=912)4825.457(+2)4935.457(+2)4695.457( =1240.28 上限)1()1(2212nsn=)9(9298.02s=53.228.12409=4412.06 下限)1() 1(222nsn=)9(9202.02s=7 .1928.12409=566.63所以，所求该批木材横纹抗压力的方差的置信区间为（566
16、.63 ，4412.06 ）第六章假设检验必须熟练掌握一个正态总体假设检验的执行标准一般思路：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 27 页 - - - - - - - - - 9 1、提出待检假设H02、选择统计量3、据检验水平，确定临界值4、计算统计量的值 5、作出判断检验类型：未知方差2，检验总体期望(均值 )根据题设条件，提出H0:= 0(0已知 ) ；选择统计量) 1(/ntnsXT；据和自由度n1（n 为样本容量），查表（课本P262 表）得)1(n
17、t；由样本值算出X？和s？从而得到nsXT/0；作出判断0000) 1() 1(H，ntTH，ntT则拒绝若则接受若典型例题：对一批新的某种液体的存贮罐进行耐裂试验，抽查5 个，得到爆破压力的数据（公斤/寸2）为： 545，545，530，550，545。根据经验爆破压认为是服从正态分布的，而过去该种液体存贮罐的平均爆破压力为549 公斤 /寸2，问这种新罐的爆破压与过去有无显著差异？（=0.05）解： H0:= 549 选择统计量) 1(/ntnsXT=0.05 ，n1=4，查表得：)4(05.0t=2.776 又X=)545.545(51=543 s2=)545543(.)545545(4
18、122=57.nsXT/0=5/5.57549543=1.772.776接受假设，即认为该批新罐得平均保爆破压与过去的无显著差异。检验类型：未知期望(均值 )，检验总体方差2根据题设条件，提出 H0:= 0(0已知 ) ；选择统计量222)1()1(snn；据和自由度n1（n 为样本容量），查表（课本P264表）得临界值：)1(212n和) 1(22n；名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 27 页 - - - - - - - - - 10 由样本值算出X？和s
19、？从而得到2220)1()1(snn；若)1(212n) 1(20n) 1(22n则接受假设，否则拒绝!补例：某厂生产铜丝的折断力在正常情况下服从正态分布，折断力方差2=64，今从一批产品中抽10 根作折断力试验，试验结果（单位：公斤）：578，572，570，568，572，570，572，596，584，570。是否可相信这批铜丝折断力的方差也是64？（ =0.05）解：H0:=64 选择统计量222)1() 1(snn=0.05 ，n1=9，查表得：)1(212n=)9(975.02=2.7) 1(22n=)9(025.02=19 又X=)570.578(101=575.2s2=)570
20、2.575(.)5782.575(9122=75.73 65.106473.759) 1(20n)9(975.02=2.765.10)1(20n0 ，则称)()(APABP为事件 A发生条件下，事件 B发生的条件概率，记为)/(ABP)()(APABP。条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如 P(/B)=1P(B/A)=1-P(B/A)（13）乘法公式乘法公式：)/()()(ABPAPABP更一般地，对事件A1，A2，An，若 P(A1A2An-1)0，则有21(AAP)nA)|()|()(213121AAAPAAPAP21|(AAAPn)1nA。（14）独立性两个事件的独
21、立性设事件A、B满足)()()(BPAPABP，则称事件A、B是相互独立的。若事件A、B相互独立，且0)(AP，则有)()()()()()()|(BPAPBPAPAPABPABP若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。必然事件和不可能事件? 与任何事件都相互独立。? 与任何事件都互斥。多个事件的独立性名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 27 页 - - - - - - - - - 13 设 ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，
22、P(AB)=P(A)P(B) ；P(BC)=P(B)P(C) ；P(CA)=P(C)P(A) 并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 那么 A 、B、C相互独立。对于 n 个事件类似。（15）全概公式设事件nBBB,21满足1nBBB,21两两互不相容，), 2, 1(0)(niBPi，2niiBA1，则有)|()()|()()|()()(2211nnBAPBPBAPBPBAPBPAP。全概率公式解决的是多个原因造成的结果问题，全概率公式的题型：将试验可看成分为两步做，如果要求第二步某事件的概率，就用全概率公式；（16）贝叶斯公式设事件1B，2B，nB及A满足11B，2B，nB两两
23、互不相容，)(BiP0，i1，2，n，2niiBA1，0)(AP，则njjjiiiBAPBPBAPBPABP1)/()()/()()/(，i=1 ，2， n。此公式即为贝叶斯公式。)(iBP， （1i，2，n） ，通常叫先验概率。)/(ABPi， （1i，2，n） ，通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。将试验可看成分为两步做，如果求在第二步某事件发生条件下第一步某事件的概率，就用贝叶斯公式。（17）伯努利概型我们作了n次试验，且满足每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；n次试验是重复进行的，即A发生的概率每次均一样；每次试验是独立的，即每次试
24、验A发生与否与其他次试验A发生与否是互不影响的。这种试验称为伯努利概型，或称为n重伯努利试验。用p表示每次试验A发生的概率，则A发生的概率为qp1，用)(kPn表示n重伯努利试验中A出现)0(nkk次的概率，knkknnqpkPC)(，nk,2 , 1 , 0。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 27 页 - - - - - - - - - 14 第二章随机变量及其分布（1） 离散型随机变量的分布律设离散型随机变量X的可能取值为Xk(k=1,2,) 且取各个
25、值的概率，即事件(X=Xk) 的概率为P(X=xk)=pk，k=1,2, ，则称上式为离散型随机变量X的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：,|)(2121kkkpppxxxxXPX。显然分布律应满足下列条件：（1）0kp，,2, 1k，（2）11kkp。（2） 连续型随机变量的分布密度设)(xF是随机变量X的分布函数，若存在非负函数)(xf，对任意实数x，有xdxxfxF)()(，则称X为连续型随机变量。)(xf称为X的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。密度函数具有下面4 个性质： 1、0)(xf。2、1)(dxxf。3、211221P()()()( )xxxXxF xF xf
26、x dx4、P(x=a)=0,a 为常数，连续型随机变量取个别值的概率为0（3） 离散与连续型随机变量的关系dxxfdxxXxPxXP)()()(积分元dxxf)(在连续型随机变量理论中所起的作用与kkpxXP)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 27 页 - - - - - - - - - 15 （4） 分布函数设X为随机变量，x是任意实数，则函数)()(xXPxF称为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。)
27、()()(aFbFbXaP可以得到X落入区间,(ba的概率。 分布函数)(xF表示随机变量落入区间（， x 内的概率。分布函数具有如下性质：1, 1)(0 xFx；2)(xF是单调不减的函数，即21xx时，有)(1xF)(2xF；30)(lim)(xFFx，1)(lim)(xFFx；4)()0(xFxF，即)(xF是右连续的；5)0()()(xFxFxXP。对于离散型随机变量，xxkkpxF)(；对于连续型随机变量，xdxxfxF)()(。（5） 八大分布0-1 分布P(X=1)=p, P(X=0)=q 二项分布在n重贝努里试验中，设事件A发生的概率为p。事件A发生的次数是随机变量，设为X，则
28、X可能取值为n,2, 1 ,0。knkknnqpCkPkXP)()(，其中nkppq,2, 1 , 0, 10,1，则称随机变量X服从参数为n，p的二项分布。记为),(pnBX。当1n时，kkqpkXP1)(，1 .0k，这就是（ 0-1 ）分布，所以（ 0-1 ）分布是二项分布的特例。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 27 页 - - - - - - - - - 16 泊松分布设随机变量X的分布律为ekkXPk!)(，0，2, 1 ,0k，则称随机变量X
29、服从参数为的泊松分布，记为)(X或者P() 。泊松分布为二项分布的极限分布（np=， n）。几何分布,3 ,2 ,1,)(1kpqkXPk，其中 p0，q=1-p 。随机变量 X服从参数为p 的几何分布，记为G(p) 。均匀分布设随机变量X的值只落在 a ，b 内，其密度函数)(xf在a ，b 上为常数ab1，即,0,1)(abxf其他，则称随机变量X在a ，b 上服从均匀分布，记为XU(a，b)。分布函数为xdxxfxF)()(当 ax1x2b 时， X落在区间（21, xx）内的概率为abxxxXxP1221)(。0，xb。axb名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - -
30、 - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 27 页 - - - - - - - - - 17 指数分布其中0，则称随机变量X服从参数为的指数分布。X的分布函数为记住积分公式：!0ndxexxn正态分布设随机变量X的密度函数为222)(21)(xexf，x，其中、0为常数，则称随机变量X服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss）分布，记为),(2NX。)(xf具有如下性质：1 )(xf的图形是关于x对称的；2 当x时，21)(f为最大值；若),(2NX，则X的分布函数为参数0、1时的正态分布称为标准正态分布，记为) 1 ,0
31、( NX，其密度函数记为2221)(xex，x，分布函数为xtdtex2221)(。)(x是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。(-x) 1-(x) 且 (0) 21。如果X),(2N，则X)1 ,0(N。1221)(xxxXxP。)(xf,xe0 x, 0, 0 x, )(xF,1xe0 x, ,0 x0。dtexFxt222)(21)(名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 27 页 - - - - - - - - - 18 （6） 分位数下分位表：
32、)(XP；上分位表：)(XP。（7） 函数的分布函数离散型已知X的分布列为,)(2121nnipppxxxxXPX，)(XgY的分布列（)(iixgy互不相等）如下：,),(,),(),()(2121nnipppxgxgxgyYPY，若有某些)(ixg相等，则应将对应的ip相加作为)(ixg的概率。连续型先利用 X的概率密度fX(x) 写出 Y的分布函数FY(y) P(g(X) y) ，再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y) 。（2）定理法：当 Y=g(X) 严格单调并且可导时: 其中 h (y)是 g(x) 的反函数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - -
33、 - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 27 页 - - - - - - - - - 19 （1）联合分布离散型如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（ x,y ） ，则称为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值为),2, 1,)(,(jiyxji，且事件 =),(jiyx的概率为pij, 称), 2, 1,(),(),(jipyxYXPijji为=（X，Y）的分布律或称为X和 Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Y Xy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1ij
34、p这里pij具有下面两个性质：（1）pij0（i,j=1,2,） ；（2）.1ijijp连续型对于二维随机向量),(YX，如果存在非负函数),)(,(yxyxf，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即 D=(X,Y)|axb,cyx1时，有 F（x2,y ） F(x1,y);当 y2y1时，有 F(x,y2) F(x,y1); （3）F（x,y ）分别对 x 和 y 是右连续的，即);0,(),(),0(),(yxFyxFyxFyxF（4）.1),(,0),(),(),(FxFyFF（5）对于，2121yyxxP(x1xx2,y10, D(Y)0 ，则称)()(YDXDXY为 X与
35、 Y的相关系数，记作XY（有时可简记为） 。| 1，当|=1 时，称 X与 Y完全相关：1)(baYXP完全相关，时负相关，当，时正相关，当)0(1)0(1aa而当0时，称 X与 Y不相关。以下五个命题是等价的：0XY；cov(X,Y)=0; E(XY)=E(X)E(Y); D(X+Y)=D(X)+D(Y); D(X-Y)=D(X)+D(Y).（6）协方差的性质(i)cov (X, Y)=cov (Y, X); (ii)cov(aX,bY)=ab cov(X,Y); (iii)cov(X1+X2, Y)=cov(X1,Y)+cov(X2,Y); (iv)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E
36、(Y).（7）独立和不相关（i ）若随机变量X与 Y相互独立，则0XY；反之不真。（ii ）若（ X，Y） N（,222121） ，则 X与 Y相互独立的充要条件是X和 Y不相关。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26 页，共 27 页 - - - - - - - - - 27 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 27 页 - - - - - - - - -