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1、1 概率论与数理统计第一章概率论的基本概念 . 2 2样本空间、随机事件 . 2 4 等可能概型（古典概型） . 3 5条件概率 . 4 6独立性 . 4第二章随机变量及其分布 . 5 1 随机变量 . 5 2 离散性随机变量及其分布律 . 5 3 随机变量的分布函数 . 6 4 连续性随机变量及其概率密度 . 6 5 随机变量的函数的分布 . 7第三章多维随机变量 . 7 1 二维随机变量 . 7 2 边缘分布 . 8 3 条件分布 . 8 4 相互独立的随机变量 . 9 5 两个随机变量的函数的分布 . 9第四章随机变量的数字特征 . 10 1数学期望 . 10 2 方差. 11精选学习资
2、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页2 3 协方差及相关系数 . 11第五章大数定律与中心极限定理. 12 1 大数定律 . 12 2 中心极限定理 . 13第一章概率论的基本概念2样本空间、随机事件1事件间的关系BA则称事件B 包含事件A，指事件A 发生必然导致事件B 发生Bxxx或ABA称为事件A 与事件 B 的和事件， 指当且仅当A，B 中至少有一个发生时，事件BA发生Bxxx且ABA称为事件A 与事件 B 的积事件，指当A，B同时发生时，事件BA发生Bxxx且ABA称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当A 发生、
3、 B 不发生时，事件BA 发生BA，则称事件A 与 B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且SBABA，则称事件A 与事件 B 互为逆事件，又称事件A 与事件 B 互为对立事件2运算规则交换律ABBAABBA结合律)()()()(CBACBACBACBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页3 分配律)()B(CAACBA）（)()(CABACBA徳摩根律BABAABAB3频率与概率定义在相同的条件下，进行了 n 次试验， 在这 n 次试验中，事件A发生的次数An称为事
4、件 A发生的 频数 ，比值nnA称为事件A发生的 频率概率：设 E是随机试验， S是它的样本空间， 对于 E的每一事件A赋予一个实数， 记为 P （A） ，称为事件的概率1概率)(AP满足下列条件：（1）非负性 ：对于每一个事件A 1)(0AP（2）规范性 ：对于必然事件S 1)S(P（3）可列可加性 ：设nAAA,21是两两互不相容的事件，有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）2概率的一些重要性质：（i）0)(P（ii ）若nAAA,21是两两互不相容的事件，则有nkknkkAPAP11)()(（n可以取）（iii ）设 A，B 是两个事件若BA，则)()()(APBPABP，)A(
5、)B(PP（iv）对于任意事件A，1)(AP（v）)(1)(APAP（逆事件的概率）（vi）对于任意事件A， B 有)()()()(ABPBPAPBAP4 等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A包含k个 基本事件， 即21kiiieeeA，里精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页4 个不同的数，则有中某，是，kkn2 ,1iii, 21中基本事件的总数包含的基本事件数S)(1jAnkePAPkji5条件概率（1）定义：设 A,B 是两个事件，且0)(AP
6、，称)()()|(APABPABP为事件 A 发生的条件下事件B 发生的 条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件1。非负性：对于某一事件B，有0)|(ABP2。规范性：对于必然事件S，1)|(ASP3可 列 可 加 性 ： 设,21BB是 两 两 互 不 相 容 的 事 件 ， 则 有11)()(iiiiABPABP（3）乘法定理设0)(AP，则有)|()()(BAPBPABP称为乘法公式（4）全概率公式：niiiBAPBPAP1)|()()(贝叶斯公式：niiikkkBAPBPBAPBPABP1)|()()|()()|(6独立性定义设 A，B 是两事件，如果满足等式)()()(BPA
7、PABP，则称事件A,B 相互独立定理一设 A，B 是两事件，且0)(AP，若 A，B 相互独立，则BPABP)|(定理二若事件 A 和 B 相互独立，则下列各对事件也相互独立：A 与与，与，BABAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页5 第二章随机变量及其分布1 随机变量定义设随机试验的样本空间为X(e)Xe.S是定义在样本空间S 上的实值单值函数，称X(e)X为随机变量2 离散性随机变量及其分布律1 离散随机变量：有些随机变量，它全部可能取到的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量kk)(px
8、XP满足如下两个条件（1）0kp， （2）1kkP=1 2 三种重要的离散型随机变量（1）分布设随机变量X只能取0与1两个值，它的分布律是)101 , 0kp-1p)k(k- 1kpXP（，）（，则称X 服从以p 为参数的分布或两点分布。（2）伯努利实验、二项分布设 实 验E只 有 两 个 可 能 结 果 ： A与A， 则 称E为 伯 努 利 实 验 . 设1)p0pP(A)（，此时p-1)AP(.将 E 独立重复的进行n 次，则称这一串重复的独立实验为n 重伯努利实验。n2, 1 ,0kqpkn)kX(k-nk，P满足条件（ 1）0kp， （2）1kkP=1 注意到k-nkqpkn是二项式n
9、qp）（的展开式中出现kp的那一项，我们称随机变量X 服从参数为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页6 n，p 的二项分布。（3）泊松分布设 随 机 变 量X所 有 可 能 取 的 值 为0,1,2 ， 而 取 各 个 值 的 概 率 为,2, 1 ,0,k!e)kX(-kkP其中0是常数，则称X 服从参数为的泊松分布记为）（X3 随机变量的分布函数定义设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数x-x,PX)x(F称为 X 的分布函数分 布 函 数)()(xXPxF， 具 有 以 下 性 质 (1) )(xF是 一
10、 个 不 减 函 数（ 2 ）1)(,0)(1)(0FFxF，且（3）是右连续的即)(),()0(xFxFxF4 连续性随机变量及其概率密度连续随机变量：如果对于随机变量X 的分布函数F（x） ，存在非负可积函数)(xf，使对于任意函数x 有,dttf)x(Fx-）（则称 x 为连续性随机变量，其中函数f(x) 称为 X的概率密度函数，简称概率密度1 概率密度)(xf具有以下性质，满足（1）1)(2),0)(-dxxfxf；（3）21)()(21xxdxxfxXxP； （4）若)(xf在点 x 处连续，则有)(Fx，)(xf2,三种重要的连续型随机变量(1)均匀分布若连续性随机变量X 具有概率
11、密度，其他，0aa-b1)(bxxf，则成 X 在区间 (a,b)上服从均匀分布 .记为），（baUX(2)指数分布若连续性随机变量X 的概率密度为，其他，00.e1)(x-xxf其中0为常数，则称 X精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页7 服从参数为的指数分布。（3）正态分布若连续型随机变量X的概率密度为，）xexfx-21)(222(，服从参数为为常数，则称（，其中X)0的正 态分布或高斯分布，记为），（2NX特别，当10，时称随机变量X 服从标准正态分布5 随机变量的函数的分布定理设随机变量X 具有概率密度,-
12、)(xxxf，又设函数)(xg处处可导且恒有0)(,xg，则Y=)(Xg是连续型随机变量，其概率密度为其他，0, )()()(,yyhyhfyfXY第三章多维随机变量1 二维随机变量定义设 E 是一个随机试验，它的样本空间是X(e)Xe.S和Y(e)Y是定义在S上的随机变量，称X(e)X为随机变量，由它们构成的一个向量（X，Y）叫做二维随机变量设 （ X ， Y ） 是 二 维 随 机 变 量 ， 对 于 任 意 实 数x ， y ， 二 元 函 数yYxPXy)(Yx)P(XyxF，记成），（称为二维随机变量（X， Y）的分布函数如果二维随机变量（X，Y）全部可能取到的值是有限对或可列无限多
13、对，则称（X，Y）是离散型的随机变量。我们称，2, 1ji)yY(ijjipxXP为二维离散型随机变量（X，Y）的分布律。对于二维随机变量 （X，Y）的分布函数），（yxF， 如果存在非负可积函数f（x，y） ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页8 使对于任意x，y 有，），（），（y-x-dudvvufyxF则称（ X，Y）是连续性的随机变量，函数 f（x，y）称为随机变量（X，Y）的概率密度，或称为随机变量X 和 Y 的联合概率密度。2 边缘分布二维随机变量 （ X，Y）作为一个整体， 具有分布函数），（yxF
14、.而 X 和 Y 都是随机变量，各自也有分布函数，将他们分别记为）（y),xFXYF，依次称为二维随机变量（X，Y）关于 X 和关于 Y 的边缘分布函数。，2 ,1ixPXp1jiijip，2, 1jyPYp1iiijjp分别称ipjp为（ X，Y）关于 X 和关于 Y 的 边缘分布律。dyyxfxfX）,()(dxyxfyfY）,()(分别称)(xfX，)(yfY为 X，Y 关于 X 和关于 Y 的边缘概率密度。3 条件分布定义设（ X，Y）是二维离散型随机变量，对于固定的j，若, 0jyYP则称, 2, 1,ippyYPyYxXPyYxXPjijjjiji为在jyY条件下随机变量 X 的条
15、件分布律， 同样, 2, 1,jppxXPyYxXPXXyYPiijijiij为在ixX条件下随机变量X 的条件分布律。设二维离散型随机变量（X，Y）的概率密度为),(yxf， （X，Y）关于 Y 的边缘概率密度为)(yfY，若对于固定的y，)(yfY0，则称)(),(yfyxfY为在 Y=y 的条件下X 的条件概率密度，记为)(yxfYX=)(),(yfyxfY精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页9 4 相互独立的随机变量定义设），（yxF及)(FxX，)(FyY分别是二维离散型随机变量（X，Y）的分布函数及边缘分
16、布函数.若对于所有x,y 有yPY,xXPyYxXP，即(y)F(F,FYXxyx，则称随机变量X 和 Y 是相互独立的。对于二维正态随机变量（X，Y） ，X 和 Y 相互独立的充要条件是参数05 两个随机变量的函数的分布1，Z=X+Y 的分布设 (X,Y) 是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(yxf.则 Z=X+Y 仍为连续性随机变量，其概率密度为dyyyzfzfYX）,()(或dxxzxfzfYX）,()(又若 X 和 Y 相互独立，设（X，Y）关于 X，Y 的边缘密度分别为)(),(yfxfYX则dyfyzfzfYXYXy)()(（）和dxxzfxfzfYXYX)()(）这两个公式
17、称为YXff,的卷积公式有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布2，的分布的分布、XYZXYZ设(X,Y) 是二维连续型随机变量，它具有概率密度),(yxf，则XYZXYZ，仍为连续性随机变量其概率密度分别为dxxzxfxzfXY),()(dxxzxfxzfXY),(1)(又若 X 和 Y 相互独立，设（X，Y）关于 X，Y 的边缘密度分别为)(),(yfxfYX则可化为dxxzfxfzfYXXY)()()(dxxzfxfxzfYXY)()(1)(X3的分布及，,minNYXmaxYXM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第
18、9 页，共 13 页10 设 X，Y 是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为)(),(yFxFYX由于YXmax，M不大于 z等价于 X 和 Y 都不大于z故有zYz,PXzPM又由于 X 和 Y 相互独立，得到YXmax，M的分布函数为)()()(maxzFzFzFYX,minNYX的分布函数为)(1)(11)(minzFzFzFYX第四章随机变量的数字特征1数学期望定义设离散型随机变量X 的分布律为kkpxXP，k=1,2，若级数1kkkpx绝对收敛， 则称级数1kkkpx的和为随机变量X 的数学期望， 记为)(XE，即ikkpxXE)(设连续型随机变量X 的概率密度为)(xf，若
19、积分dxxxf)(绝对收敛，则称积分dxxxf)(的值为随机变量X 的数学期望，记为)(XE，即dxxxfXE)()(定理设 Y 是随机变量X 的函数 Y=)(Xg(g 是连续函数 ) （i）如果 X 是离散型随机变量，它的分布律为kpXPxk，k=1,2，若kkkpxg1(）绝对收敛则有)Y(E)(XgEkkkpxg1(）（ii ）如果 X 是连续型随机变量，它的分概率密度为)(xf，若dxxfxg)()(绝对收敛则有)Y(E)(XgEdxxfxg)()(数学期望的几个重要性质1 设 C 是常数，则有CCE)(2 设 X 是随机变量，C 是常数，则有)()(XCECXE3 设 X,Y 是两个
20、随机变量，则有)()()(YEXEYXE；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页11 4 设 X， Y 是相互独立的随机变量，则有)()()(YEXEXYE2 方差定义设 X 是一个随机变量，若)(2XEXE存在，则称)(2XEXE为 X 的方差，记为D（x）即 D（x）=)(2XEXE，在应用上还引入量)(xD，记为)(x，称为标准差或均方差。222)()()()(EXXEXEXEXD方差的几个重要性质1 设 C 是常数，则有,0)(CD2 设 X 是随机变量，C 是常数，则有)(C)(2XDCXD，D(X)(CX
21、D3 设 X,Y 是两个随机变量，则有E(Y)-E(X)(Y-2E(XD(Y)D(X)(YXD特别，若 X,Y 相互独立，则有)()()(YDXDYXD40)(XD的充要条件是X 以概率 1 取常数E(X)，即1)(XEXP切比雪夫不等式：设随机变量X 具有数学期望2)(XE，则对于任意正数，不等式22-XP成立3 协方差及相关系数定义量)()(YEYXEXE称为随机变量X 与 Y 的协方差为),(YXCov，即)()()()()(),(YEXEXYEYEYXEXEYXCov而D(Y)D(X)YX(XY），Cov称为随机变量X 和 Y 的相关系数对于任意两个随机变量X 和 Y，),(2)()(
22、)_(YXCovYDXDYXD协方差具有下述性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页12 1),(),(),(),(YXabCovbYaXCovXYCovYXCov2),(),(),(2121YXCovYXCovYXXCov定理1 1XY2 1XY的充要条件是，存在常数a,b 使1bxaYP当XY0 时，称 X 和 Y 不相关附：几种常用的概率分布表分布参数分布律或概率密度数学期望方差两点分布10p1 ,0,)1 ()1kppkXPkk，p)1 (pp二项式分布1n10pnkppCkXPknkkn, 1 ,0,)1
23、()(，np)1 (pnp泊松分布0,2, 1 ,0,!)(kkekXPk几何分布10p,2, 1,)1 ()(1kppkXPkp121pp均匀分布ba，其他0,1)(bxaabxf，2ba12)(2ab指数分布0其他,00,1)(xexfx2正态分布0222)(21)(xexf2第五章大数定律与中心极限定理1 大数定律弱大数定理（辛欣大数定理）设 X1，X2是相互独立，服从统一分布的随机变量序列，并精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页13 具有数学期望), 2, 1()(kXEk.作前n 个变量的算术平均nkkX
24、n11，则对于任意0，有11lim1nkknXnP定义设nYYY,21是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数，有1limaYPnn，则称序列nYYY,21依概率收敛于a，记为aYpn伯努利大数定理设Af是 n 次独立重复试验中事件A 发生的次数，p 是事件 A 在每次试验 中 发 生 的 概 率 ， 则 对 于 任 意 正 数 0 ， 有1limpnfPnn或0limpnfPnn2 中心极限定理定理一（ 独立同分布的中心极限定理）设随机变量nXXX,21相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差2)(,)(kiXDXE（k=1,2 ，），则随机变量之和标准化变量nikX1，nnXXDXEXYniknkknknkkkn1111)()(，定理二（ 李雅普诺夫定理）设随机变量nXXX,21相互独立，它们具有数学期望和方差2, 1,0)(,)(2kXDXEkkkk记nkknB122定理三 （棣莫弗 -拉普拉斯定理 ）设随机变量10(,),2 ,1(ppnnn服从参数为）的二项分布，则对任意x，有)(21)1 (lim22xdtexpnpnpPxtnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页