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1、课时分层训练(五十三)抛物线A组基础达标一、选择题1已知点A(2,3)在抛物线C：y22px(p0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()AB1CDC由已知，得准线方程为x2，所以F的坐标为(2,0)又A(2,3)，所以直线AF的斜率为k.2(2016全国卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A.B1 C.D2Dy24x，F(1,0)又曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y(k0)得k2.故选D.3(2017广东茂名二模)若动圆的圆心在抛物线yx2上，且与直线y30相切，则此圆恒过定点()A(0,2)
2、B(0，3)C(0,3)D(0,6)C直线y30是抛物线x212y的准线，由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y3的距离与到焦点(0,3)的距离相等，所以此圆恒过定点(0,3)4(2018云南二检)已知点M是抛物线C：y22px(p0)上一点，F为C的焦点，MF的中点坐标是(2,2)，则p的值为() 【导学号：79140291】A1B2C3D4D设M(x，y)，则由题意，得2，2，则x4，y4.又点M在抛物线C上，所以422p，解得p4，故选D.5(2018长沙模拟(二)已知点P(x0，y0)是抛物线y24x上的一个动点，Q是圆C：(x2)2(y4)21上的一个动点，则x0|PQ|的最小值为()
3、A21B2C3D4C设抛物线y24x的焦点F(1,0)，过点P(x0，y0)作准线l：x1的垂线，垂足为N，则x0|PQ|PN|PQ|1|PF|PQ|1|CF|22523，当且仅当C，P，F三点共线且点Q在线段CF上时取等号，则x0|PQ|的最小值是3，故选C.二、填空题6(2018成都二诊)设抛物线C：y22x的焦点为F.若抛物线C上点P的横坐标为2，则|PF|_.由题意知p1，点P的横坐标xP2，则由抛物线的定义，得|PF|xP2.7(2018西宁检测(一)已知点P(2,1)，若抛物线y24x的一条弦AB恰好是以P为中点，则弦AB所在直线方程是_2xy30设A(x1，y1)，B(x2，y2
4、)，则y1y22，且y4x1，y4x2，两式相减得2(y1y2)4(x1x2)，且x1x2，则直线AB的斜率kAB2，又弦AB过点P，则所求直线方程为y12(x2)，即2xy30.8抛物线y22px(p0)的焦点为F，其准线与双曲线y2x21相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.2y22px的准线为x.由于ABF为等边三角形因此不妨设A，B.又点A，B在双曲线y2x21，从而1，所以p2.三、解答题9.如图862所示，已知抛物线C：y24x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点图862(1)若线段AB的中点在直线y2上，求直线l的方程；(2)若线段|AB|20，求直线
5、l的方程解(1)由已知得抛物线的焦点为F(1,0)因为线段AB的中点在直线y2上，所以直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，则由得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以2y0k4.又y02，所以k1，故直线l的方程是yx1.(2)设直线l的方程为xmy1，与抛物线方程联立得消元得y24my40，所以y1y24m，y1y24，16(m21)0.|AB|y1y2|4(m21)所以4(m21)20，解得m2，所以直线l的方程是x2y1，即x2y10.10已知抛物线y22px(p0)，过点C(2,0)的直线l交抛物线于A，B两点，坐
6、标原点为O，12.(1)求抛物线的方程；(2)当以|AB|为直径的圆与y轴相切时，求直线l的方程. 【导学号：79140292】解(1)设l：xmy2，代入y22px中，得y22pmy4p0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y24p，则x1x24，因为x1x2y1y244p12，可得p2，则抛物线的方程为y24x.(2)由(1)知y24x，p2，可知y1y24m，y1y28.设AB的中点为M，则|AB|2xMx1x2m(y1y2)44m24.又|AB|y1y2|.由得(1m2)(16m232)(4m24)2，解得m23，m，所以直线l的方程为xy20或xy20.B组
7、能力提升11(2018石家庄一模)已知抛物线y22px(p0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若，则实数为()A. B.C3D2D把点A代入抛物线方程，得22p，解得p2，所以抛物线的方程为y24x，则B(1,0)设M，则，.由，得解得2或1(舍去)，故选D.12(2017衡水中学月考)已知直线l：ykxt与圆：x2(y1)21相切，且与抛物线C：x24y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是_(，3)(0，)因为直线l与圆相切，所以1k2t22t.再把直线l的方程代入抛物线方程并整理得x24kx4t0，于是16k216t16(t22t)16t0，解得t0或
8、t3.13抛物线y24x的焦点为F，过点F的直线交抛物线于A，B两点(1)若2 ，求直线AB的斜率；(2)设点M在线段AB上运动，原点O关于点M的对称点为C，求四边形OACB面积的最小值. 【导学号：79140293】解(1)依题意知F(1,0)，设直线AB的方程为xmy1.将直线AB的方程与抛物线的方程联立，消去x得y24my40.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1y24m，y1y24.因为2 ，所以y12y2.联立上述三式，消去y1，y2得m.所以直线AB的斜率是2.(2)由点C与原点O关于点M对称，得M是线段OC的中点，从而点O与点C到直线AB的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2SAOB.因为2SAOB2|OF|y1y2| 4，所以当m0时，四边形OACB的面积最小，最小值是4.