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1、课时分层训练(四十三)垂直关系A组基础达标一、选择题1设，为两个不同的平面，直线l，则“l”是“”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件A依题意，由l，l可以推出；反过来，由，l不能推出l.因此，“l”是“”成立的充分不必要条件，故选A.2(2017中原名校联盟4月联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是()A且mB且mCmn且nDmn且nC对于选项A，且m，可得m或m与相交或m，故A不成立；对于选项B，且m，可得m或m或m与相交，故B不成立；对于选项C，mn且n，则m，故C正确；对于选项D，由mn且n，可得m
2、或m与相交或m，故D不成立，故选C.3设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面，()A不存在B有且只有一对C有且只有两对D有无数对D过直线a的平面有无数个，当平面与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面，当平面与b相交时，过交点作平面的垂线与b确定的平面.故选D.4(2017全国卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()AA1EDC1BA1EBDCA1EBC1 DA1EACC如图，A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，B，D错；A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1CBC1，A1EBC1，故C正确；(证明：由条件
3、易知，BC1B1C，BC1CE，又CEB1CC，BC1平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，A1EBC1)A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错故选C.5(2017河北唐山一模)如图7410，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有() 【导学号：79140236】图7410AAG平面EFHBAH平面EFHCHF平面AEFDHG平面AEFB根据折叠前、后AHHE，AHHF不变，AH平面EFH，B正确；过A只有一条
4、直线与平面EFH垂直，A不正确；AGEF，EFGH，AGGHG，EF平面HAG，又EF平面AEF，平面HAGAEF，过H作直线垂直于平面AEF，一定在平面HAG内，C不正确；由条件证不出HG平面AEF，D不正确故选B.二、填空题6如图7411，BAC90，PC平面ABC，则在ABC，PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线是_；与AP垂直的直线是_图7411AB，BC，AC；ABPC平面ABC，PC垂直于直线AB，BC，AC.ABAC，ABPC，ACPCC，AB平面PAC，ABAP，故与AP垂直的直线是AB.7如图7412所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC
5、上的一动点，当点M满足_时，平面MBD平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)图7412DMPC(或BMPC)连接AC，BD，则ACBD，PA底面ABCD，PABD.又PAACA，BD平面PAC，BDPC.当DMPC(或BMPC)时，即有PC平面MBD.而PC平面PCD，平面MBD平面PCD.8(2016全国卷)，是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：如果mn，m，n，那么.如果m，n，那么mn.如果，m，那么m.如果mn，那么m与所成的角和n与所成的角相等其中正确的命题有_(填写所有正确命题的编号) 【导学号：79140237】对于，可以平行，也可以相交但不垂直，故错误对于
6、，由线面平行的性质定理知存在直线l，nl，又m，所以ml，所以mn，故正确对于，因为，所以，没有公共点又m，所以m，没有公共点，由线面平行的定义可知m，故正确对于，因为mn，所以m与所成的角和n与所成的角相等因为，所以n与所成的角和n与所成的角相等，所以m与所成的角和n与所成的角相等，故正确三、解答题9(2017北京高考)如图7413，在三棱锥PABC中，PAAB，PABC，ABBC，PAABBC2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点图7413(1)求证：PABD；(2)求证：平面BDE平面PAC；(3)当PA平面BDE时，求三棱锥EBCD的体积解(1)证明：因为PAAB，PABC，所以P
7、A平面ABC.又因为BD平面ABC，所以PABD.(2)证明：因为ABBC，D为AC的中点，所以BDAC.由(1)知，PABD，所以BD平面PAC，所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE，平面PAC平面BDEDE，所以PADE.因为D为AC的中点，所以DEPA1，BDDC.由(1)知，PA平面ABC，所以DE平面ABC，所以三棱锥EBCD的体积VBDDCDE.10(2017江苏高考)如图7414，在三棱锥ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，点E，F(E与A，D不重合)分别在棱AD，BD上，且EFAD.图7414求证：(1)EF平面ABC；(2)ADAC.证明(1)
8、在平面ABD内，因为ABAD，EFAD，所以EFAB.又因为EF平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因为AD平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC，所以ADAC.B组能力提升11(2017贵州贵阳二模)如图7415，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()图7
9、415AO是AEF的垂心BO是AEF的内心CO是AEF的外心DO是AEF的重心A由题意可知PA，PE，PF两两垂直，所以PA平面PEF，从而PAEF，而PO平面AEF，则POEF，因为POPAP，所以EF平面PAO，所以EFAO，同理可知AEFO，AFEO，所以O为AEF的垂心12.如图7416，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，底面是以ABC为直角的等腰直角三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF_时，CF平面B1DF.图7416a或2aB1D平面A1ACC1，CFB1D.为了使CF平面B1DF，只要使CFDF(或CFB1F)设AFx，则
10、CD2DF2FC2，x23ax2a20，xa或x2a.13. (2016四川高考)如图7417，在四棱锥PABCD中，PACD，ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.图7417(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB平面PBD. 【导学号：79140238】解(1)取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点理由如下：连接CM，因为ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM.所以四边形AMCB是平行四边形，所以CMAB.又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明：由已知，PAAB，PACD，因为ADBC，BCAD，所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD，所以PABD.因为ADBC，BCAD，M为AD的中点，连接BM，所以BCMD，且BCMD，所以四边形BCDM是平行四边形，所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.