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1、湖南省湘潭市湘潭县一中2018 -2019 年高二（下）开学数学试卷（2 月份） -解析版1 / 9 2018-2019 学年湖南省湘潭市湘潭县一中高二（下）开学数学试卷（2月份）一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.在ABC 中， AC=2，? = 2 2， ACB=135 ，过 C 作 CD AB 交 AB于 D，则 CD=（）A. 2 55B. 2C. 3D. 52. ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c已知 a= 5，c=2，cosA=23，则 b=（）A. 2B. 3C. 2D. 33.锐角三角形ABC 的内角 A， B，C 的对边分别为a，b，c，已知
2、2?= 3?，a=1，则 ABC 周长的最大值为（）A. 3 + 1B. 2 + 1C. 3D. 44.在ABC 中， A=60 ，B=45 ， b=2，则 a 等于（）A. 2B. 3C. 3D. 65.已知数列 an和bn首项均为 1，且 an-1 an（n2 ）， an+1 an，数列 bn的前 n 项和为 Sn，且满足2SnSn+1+anbn+1=0，则 S2019=（）A. 2019B. 12019C. 4037D. 140376.我国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每
3、个甲头八个兵”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（）A. 17(87- 8)人B. 17(89- 8)人C. 8 +17(87- 8)人D. 8 +17(89- 84)人7.等比数列 an中， a1=98，q=23，an=13，则 n=（）A. 3B. 4C. 5D. 68.已知等差数列 an 的前 n 项和 Sn，若 a2+a3=8，S5=25，则该数列的公差为（）A. -2B. 2C. -3D. 39.若实数x，y满足?- 2? + 2 03?-?-30，则 x+y（）A. 有最小值无最大值B. 有最大值无最小值C. 有最小值也有最大值D. 无最小值也无最大值10.已知 x，
4、y 满足不等式组? -? + 2 02?+ ?- 2 0? 0，则目标函数z=x+3y 的最大值为（）A. -2B. 1C. 6D. 811.不等式 ax2+bx+c0 的解集为 x|-1x 2，则不等式a（x2+1）+b（x-1）+c2ax 的解集为（）A. ?|0 ? 3B. ?|? 3C. ?|- 2 ? 1D. ?|? 112.设 x，y 满足约束条件 ?+ 2?0?- ? 0?- 4 0，则? = ?+ ? 的最大值是（）A. -4B. 0C. 8D. 12二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.若 Sn是等差数列 an的前 n 项和，且 a2+a9+a19=6，则 S1
5、9=_14.等差数列 an的公差 d0 ，a3是 a2，a5的等比中项， 已知数列a2，a4，a?1，a?2， a?，为等比数列，数列 kn的前 n项和记为Tn，则 2Tn+9=_15.在ABC 中， tanA=-3， ABC 的面积 S ABC=1，P0为线段 BC 上一定点，且满足CP0=13BC，若 P 为线段BC 上任意一点，且恒有? ? ? ? ? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ?0? ? ? ? ? ? ，则线段BC 的长为 _16.已知二次函数f （x） =ax2+bx+c， 且 4c 9a， 若不等式f （x） 0恒成立，则?(1)?(0)-?(-1)的取值范围是_三、解
6、答题（本大题共6 小题，共70.0 分）17. ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为a，b，c，已知 2c?cosC+c=a?cosB+b?cosA（1）求角 C；（2）若点 P 在边 AB 上，且 BP=2，?=13，求 CP+CB 的最大值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页18.如图，在 ABC 中， AB=2，AC=4，线段 BC 的垂直平分线交线段AC于点 D，且 DA-DB=1（1）求 cosA 的值；（2）求 BCD 的面积 S19.已知数列 an满足 a1=32，an+1=2an-2?+3?+1-
7、1?+2（n N*）（1）若 bn=an-1?(?+1)，证明： bn为等比数列；（2）求数列 an 的前 n项和 Sn20.设等比数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a1=2，且 4S1，3S2，2S3成等差数列（1）求数列 an 的通项公式；（2）令 bn=n?an，设数列 bn的前 n 项和为 Tn，求 Tn21.某单位有员工1000 名，平均每人每年创造利润10 万元，为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出 x（x N* ）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10（a-0.8x%）万元（ a0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.4x%（I）若要保证
8、剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？（）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000 名员工创遣的年总利润条件下，若要求调整出的员工创造出的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？22.已知函数 ?(?) = ?(2-?2+?)（）求函数f（ x）的定义域，判断并证明函数f（x）的奇偶性；（）是否存在这样的实数k，使 f（k-x2）+f（2k-x4）0 对一切 ?- 2， 2恒成立，若存在，试求出 k 的取值集合；若不存在，请说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
9、- - - - -第 2 页，共 9 页湖南省湘潭市湘潭县一中2018 -2019 年高二（下）开学数学试卷（2 月份） -解析版3 / 9 答案和解析1.【答案】 A 【解析】解：因为 AC=2， ACB=135 由余弦定理可得AB2=AC2+BC2-2AB?BCcos ACB=4+8+2 2 2=20，即 AB=2， S ABC=AC?BC?sin ACB=AB?CD，即 2 2= 2?CD，即 CD=，故选： A先根据余弦定理求出AB=2，再根据三角形面 积公式即可求出本题考查了余弦定理和三角形的面 积公式，考查了运算能力和 转化能力，属于中档 题2.【答案】 D 【解析】解： a=，
10、c=2， cosA=， 由余弦定理可得：cosA=，整理可得： 3b2-8b-3=0， 解得： b=3或-（舍去）故选： D由余弦定理可得cosA=，利用已知整理可得 3b2-8b-3=0，从而解得 b 的值本题主要考查了余弦定理，一元二次方程的解法在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题3.【答案】 C 【解析】解： ， 由正弦定理得， 0C ， sinC 0 三角形 ABC 是锐角三角形，由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA， 1=（ b+c）2-3bc， bc= b0， c0， （ b+c）24bc bc= b+c2，当且 仅当 b=c=1 时等号成立 ABC
11、周长a+b+c的最大值为1+2=3故选： C由正弦定理，可求sinA，结合已知条件求出A的值，再利用余弦定理，基本不等式可求bc=，解得b+c2 ，即可得解 ABC 的周长的最大 值本题考查了正弦定理和余弦定理，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题4.【答案】 D 【解析】解： ABC 中， A=60 ， B=45 ， b=2，由正弦定理可得，则 a=故选： D由正弦定理可得，代入即可求解本题主要考 查了正弦定理求解三角形，属于基本公式的简单应 用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页5.【答案】 D
12、 【解析】解： an-1an（ n2 ）， an+1an， anan+1an， an=an+1，另外： a1a2a1，可得a2=a1=1， an=1 2SnSn+1+anbn+1=0， 2SnSn+1+bn+1=0， 2SnSn+1+Sn+1-Sn=0，-=2 数列 是等差数列，首项为 1，公差为 2=1+2（ n-1） =2n-1， Sn= S2019=故选： Dan-1an（ n2 ）， an+1an，可得anan+1an， an=an+1，另外： a1a2a1，可得a2=a1=1，可得an=1根据 2SnSn+1+anbn+1=0，可得2SnSn+1+Sn+1-Sn=0，通 过转化，利用
13、等差数列的通 项公式即可得出本题考查了数列 递推关系、不等式的性 质、等差数列的通项公式及其性 质，考查了推理能力与计算能力，属于中档 题6.【答案】 A 【解析】解：根据 题意， 该问题 中有 8名将官，82名先锋， 83名旗头， 84名队长， 85名甲头， 86名士兵，则该问题 中将官、先锋、旗 头、 队长、甲 头、士兵共有 8+82+83+84+85+86=（ 87-1），故选： A根据题意，分析可得该问题中有8名将官，82名先锋，83名旗头，84名队长，85名甲头，86名士兵， 结合等比数列的前n项和公式 计算可得答案本题考查数列的 应用，涉及数列的求和，注意建立数列的模型，属于基 础
14、题7.【答案】 B 【解析】解：根据 题意，等比数列an中，a1=， q=， an=，则有 an=a1 qn-1=（ ） （ ）n-1=，解可得： n=4；故选： B根据题意， 结合等比数列的通 项公式可得 an=a1 qn-1=（ ） （ ）n-1=，解可得n 的值，即可得答案本题考查等比数列的通 项公式，关键是掌握等比数列的通 项公式的形式，属于基 础题8.【答案】 B 【解析】解： 等差数列 an 的前 n项和 Sn， 设公差为 d，若a2+a3=2a1+3d=8， S5=25=5a1+10d，解得 d=2，故选： B由条件利用等差数列的通 项公式和前 n 项和公式，求出该数列的公差本题
15、主要考 查等差数列的通 项公式和前 n 项和公式的 应用，属于基础题9.【答案】 A 【解析】解：如 图即为实数 x， y 满足的可行域，得 A（ ， ）由图易得：当x=， y=时，x+y 有最小 值没有最大值故选： A先由约束条件画出可行域，再求出最 优解，利用目标函数的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页湖南省湘潭市湘潭县一中2018 -2019 年高二（下）开学数学试卷（2 月份） -解析版5 / 9 几何意义，推出结果本题主要考 查线性规划的应用，利用数形结合是解决本 题的关键10.【答案】 C 【解析】解：由
16、x， y满足不等式 组作出可行域如 图，化目标函数 z=x+3y 为 y=-x+，由图可知，当直线 y=-x+过 A（ 0， 2） 时，直线在 y 轴上的截距最大，z有最大 值为 6故选： C由约束条件作出可行域，化目 标函数为直线方程的斜截式，数形 结合得到最 优解，把最优解的坐标代入目 标函数得答案本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解 题思想方法，是中档 题11.【答案】 A 【解析】解：因 为不等式 ax2+bx+c0 的解集为x|-1x2，所以-1 和 2是方程 ax2+bx+c=0 的两根且 a0，所以，由 a（ x2+1） +b（ x-1） +c2ax，得： ax2-（ 2
17、a-b） x+a-b+c0，设ax2-（ 2a-b） x+a-b+c=0的两根 为 x3， x4， 则 ， ， 联立 得： x3=0， x4=3，因为 a0，所以ax2-（ 2a-b） x+a-b+c0 的解集 为x|0 x3，所以不等式 a（ x2+1） +b（ x-1） +c2ax的解集 为x|0 x3故选： A根据题目给出的二次不等式的解集，结合三个二次的关系得到a0，且有，然后把要求解的不等式整理为二次不等式的一般形式， 设出该不等式 对应的二次方程的两根，借助于根与系数的关系求出两个根，再结合三个二次的关系可求得要求解的不等式的解集本题考查了一元二次不等式的解法，考 查了二次方程的根
18、与系数关系， 训练了借助于 “ 三个二次” 的关系求解一元二次不等式的方法，是基础题12.【答案】 C 【解析】解：先根据x， y 满足约束条件画出可行域，然后平移直 线 0=x+y，当直线 z=x+y 过点，解得A（ 4， 4） 时，z最大值为 8故选： C先根据 约束条件画出可行域，再利用几何意 义求最值，只需求出直线 z=x+y 过点 A（ 4， 4） 时， z最大值即可本题主要考 查了简单的线性规划，以及利用几何意 义求最值，属于中档题13.【答案】 38 【解析】解： a2+a9+a19=6， a1+d+a10-d+a19=6， a1+（ a1+a19） +a19=6， a1+a19
19、=4， S19=38，故答案 为： 38 根据等差数列的性 质和求和公式可求出a1+a19=4，再根据求和公式计算即可本题主要考查了等差数列的性质和求和公式，属于基础试题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页14.【答案】 3n+2+2n 【解析】解：由a3是 a2， a5的等比中 项得 a32=a2a5，即（ a1+2d）2=（ a1+d） a1+4d），又 d0 ， a1=0，又数列 a2， a4， ， 为等比数列，可得该数列的公比 为 q=3，所以=a2?3n+1=d?3n+1，又=a1+（ kn-1） d=（ k
20、n-1） d，则 kn=3n+1+1，前 n项和记为 Tn=（ 9+27+3n+1） +n =+n=，可得 2Tn+9=3n+2+2n故答案 为： 3n+2+2n由已知 a3是 a2与 a5的等比中 项，我们可构造一个关于数列基本量（首 项与公差）的方程，解方程可以找到首 项与公差的关系，又由数列 a2， a4， ， 为等比数列，则我们可以得到 该数列的公比，进而给出该数列的通 项公式，进一步给出数列 kn 的通项 kn，由数列的分组求和和等比数列的求和公式， 计算可得所求和本题考查等比数列中 项性质和等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考 查数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，
21、属于中档 题15.【答案】 6【解析】解：如图，设 AC 中点为 M，由极化恒等式可得：， 且恒有， 则 PM P0M 恒成立 MP0 BC作 AD BC 于 D， 则 BD=DP0=P0C=a设 AD=h， tan tanA=-3， ABC 的面积 S ABC=1， tan（ CAD+ BAD ） =，? a=故答案 为；设 AC 中点为 M，由极化恒等式可得：，依 题意可得PM P0M 恒成立，MP0 BC作AD BC 于 D， 设 AD=h， tan? a=本题考查了向量的极化恒等式的 应用，及三角运算，属于难题16.【答案】 （-，-116） （3，+）【解析】解：若不等式f（ x）
22、0恒成立，则，又由 4c9a， 设 x=， y=， 则，则=1+，令 z=， 则 z 表示区域内的点（x， y）与P（ 1， -2）连线的斜率，因为A（ -3， ），所以 kPA=-，设直线 PB： y=k（ x-1） -2， 联立得 x2-4kx+4k+8=0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页湖南省湘潭市湘潭县一中2018 -2019 年高二（下）开学数学试卷（2 月份） -解析版7 / 9 =16k2-16k-32=0? k=-1， k=2，由图可知，z （ - ， -） （ 2， +），故答案 为（ - ，
23、-） （ 3， +）若不等式 f（ x） 0 恒成立，则， 设 x=， y=， 则， 则=1+，令z=， 则 z表示区域内的点（x， y）与 P（ 1， -2） 连线的斜率，结合图象利用PA 和 PB 的斜率可得本题考查了二次函数的性 质与图象，属难题17.【答案】 解：（ 1） 2c?cosC+c=a?cosB+b?cosA，由正弦定理可得，2sinCcosC+sinC=sinAcosB+sinBcosA，即 2sinCcosC+sinC=sin（ A+B）=sinC， sinC0 ， cosC=0， 0C ， C=12? ，（ 2）令 CP=x，CB=y， BCP= ， ? ?=13， C
24、=12? ， cos =13，BCP 中，由余弦定理可得，cos =?2+?2-42?13=(?+?)2-2?-42?，整理可得， (?+ ?)2= 4 +8?34 +83(?+?2)2，解不等式可得，0? + ?2 3，即 CP+CB 的最大值 2 3【解析】（ 1）由已知 结合正弦定理，两角和的正弦公式可求cosC， 进而可求 C （ 2）令CP=x， CB=y， BCP= ，由，及（ 1）所求的C 可求 cos ，然后在 BCP中，由余弦定理及基本不等式即可求解CP+CB的最大值本题主要考查了和角正弦公式及余弦定理，基本不等式在求解三角形中的应用，属于知识的简单综合18.【答案】 （本题
25、满分为12 分）解：（ 1）依题意得BD=DC，因为 AC=DA+DC=4，DA-DC=1，所以 ? =52， DC=DB=32，在ABD 中， cosA=?2+?2-?22?=45（5 分）（2）由（ 1）知 cosA=45，所以 sinA=35，在ABC 中， BC2=AB2+AC2-2AB?AC?cosA=365，又由?=?，即 sinC=?= 55，所以 S=12CD?CB?sinC=123265555=910（12 分）（注意：还可以用ABC的面积减去 ABD的面积进行求解）【解析】（ 1）依题意得 BD=DC，可求， DC=DB=，利用余弦定理可求 cosA 的值；（ 2）由同角三
26、角函数基本关系式可求sinA，根据余弦定理，正弦定理，三角形面积公式即可求解本题主要考 查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题19.【答案】 证明（ 1）数列 an满足 a1=32，an+1=2an-2?+3?+1-1?+2，所以： ?+1= ?+1-1(?+1)(?+2)，=2?-2?+3?+1-1?+2- (1?+1-1?+2)，=2?- 2(1?-1?+1)，=2(?-1?(?+1)，则：?+1?= 2（常数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9
27、页故：数列 bn 为等比数列（ 2）由于数列 bn为等比数列，则： ?-1?(?+1)= (32-12) ?2?-1，整理得： ?= 2?-1+1?(?+1)，则： ?= (1 + 21+ 22+ ? + 2?-1) +（1 -12+12-13+ ? +1?-1?+1），=2?- 1 + 1 -1?+1，=2?-1?+1【解析】（ 1）直接利用等比数列的定 义的应用和递推关系式的整理和 应用求出 结果（ 2）利用（ 1）的 结论， 进一步求出数列的通 项公式，最后利用分 组法和裂 项相消法求出数列的和本题考查的知识要点：等比数列的定义的应用，分组法和裂 项相消法在数列求和中的 应用，主要考查学
28、生的运算能力和转化能力，属于基础题型20.【答案】 解：（ 1）依题意得6S2=4S1+2S3，即 6（a1+a2）=4a1+2（a1+a2+a3），化简得 2a2=a3，即 q=?3?2=2，所以 an=2n（ 2）由（ 1）知 an=2n，则 ?= ?2?，所以 ?= 1 2 + 2 22+ 3 23+ ? + (?- 1) 2?-1+ ?2? 2?= 1 22+ 2 23+ 3 24+ ? +(?- 1) 2?+ ?2?+1 -得 -?= 2 + 22+ 23+ ? + 2?-?2?+1，所以 -?=2(1-2?)1-2- ?2?+1，整理得 ?= (?- 1) 2?+1+ 2【解析】（
29、 1）由已知得公比， 进一步可得通 项公式；（ 2）由（1）得bn，然后用裂项求和得 Tn本题考查了等比数列的通 项公式及其前 n项和公式、“ 裂项求和” ，考查了推理能力与 计算能力21.【答案】 解：（ ）由题意得： 10（1000-x）（ 1+0.4x%） 10 1000，即 x2-750 x0 ，又 x0，所以 0 x 750 即最多调整750 名员工从事第三产业，（）从事第三产业的员工创造的年总利润为10（a-?125）x万元，从事原来产业的员工的年总利润为10（1000-x）（ 1+1250 x）万元，则 10（a-?125）x10 （1000-x）（ 1+1250 x），即 ax
30、-?2125 1000+4 x-x-1250 x2，所以 ax?2250+1000+3x，即 a?250+1000?+3，在 x （0，750恒成立，因为?250+1000?2 4=4，当且仅当?250=1000?，即 x=500 时等号成立所以 a7 ，又 a0，所以 0a7 ，故 a 的取值范围为（0， 7【解析】（）根据题意可列出10（1000-x）（1+0.4x%）101000，进而解不等式求得x的范围，确定问题的答案（）根据 题意分别表示出从事第三 产业的员工创造的年 总利润和从事原来 产业的员工的年 总利润， 进而根据 题意建立不等式，根据均 值不等式求得 a的取值范围本题主要考
31、查了基本不等式在求最 值问题 中的应用考查了学生 综合运用所学知 识，解决实际问题的能力22.【答案】 解：（ ）由2-?2+?0 得 -2x2，所以 f（x）的定义域为（-2，2）； f（-x）=lg2+?2-?=-lg2-?2+?=-f（x）， f（x）是奇函数（）假设存在满足题意的实数k，则令 t=2-?2+?=4-(2+?)2+?=42+?-1，x （-2，2），则 t 在（ -2，2）上单调递减，又y=lgt 在（ 0，+）上单调递增，于是函数f（x）在（ -2，2）上单调递减， 已知不等式f（k-x2）+f（2k-x4）0 ? f（k-x2） -f（ 2k-x4）? f（k-x2）
32、 f（x4-2k）? -2k-x2 x4-2k2，由题意知 -2k-x2 x4-2k2 对一切 x - 2， 2恒成立，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页湖南省湘潭市湘潭县一中2018 -2019 年高二（下）开学数学试卷（2 月份） -解析版9 / 9 得不等式组?2-2?12?4- 1?13(?4+ ?2)对一切 x - 2， 2恒成立，?0?1?0，即 k? 故不存在满足题意的实数k【解析】（）真数大于 0解不等式可得定 义域；奇偶性定义判断奇偶性；（）假 设存在实数 k 后，利用奇偶性和 单调性去掉函数符号后 变成具体不等数 组，然后转化为最值即可得本题考查了函数的定义域、奇偶性、单调性、函数的恒成立属难题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页