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1、第五节指数与指数函数考纲传真(教师用书独具)1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10，的指数函数的图像.3.体会指数函数是一类重要的函数模型(对应学生用书第19页)基础知识填充1根式的性质(1)()na.(2)当n为奇数时，a.(3)当n为偶数时，|a|(4)负数的偶次方根无意义(5)零的任何次方根都等于零2有理指数幂(1)分数指数幂正分数指数幂：a(a0，m，nN，且n1)；负分数指数幂：a(a0，m，nN，且n1)；0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂
2、没有意义(2)有理数指数幂的运算性质amanamn(a0，m，nQ)；(am)namn(a0，m，nQ)；(ab)mambm(a0，b0，mQ)3指数函数的图像与性质a10a1图像定义域R值域(0，)性质过定点(0,1)当x0时，y1；当x0时，0y1当x0时，0y1；当x0时，y1在R上是增函数在R上是减函数知识拓展指数函数的图像与底数大小的比较判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令x1得到底数的值再进行比较如图251是指数函数(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab.图251基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论
3、的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)()na.()(2)(1)(1).()(3)函数y2x1是指数函数()(4)函数ya (a1)的值域是(0，)()(5)若aman(a0且a1)，则mn.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2(教材改编)化简(2)6(1)0的结果为()A9B7C10D9B原式(26)1817.3函数yaxa(a0，且a1)的图像可能是()A B C DC法一：令yaxa0，得x1，即函数图像必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a1时，yaxa是由yax向下平移a个单位，且过(1,0)，A，B都不合适；当0a1时，yaxa是由yax向下平移a个单位，因为
4、0a1，故排除选项D.4当a0且a1时，函数f(x)ax23的图像必过定点_(2，2)令x20，则x2，此时f(x)132，故函数f(x)ax23的图像必过定点(2，2)5指数函数y(2a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是_(1,2)由题意知02a1，解得1a2.(对应学生用书第20页)指数幂的运算化简下列各式：(1)22(0.01)0.5；(2).解(1)原式111.(2)原式ab.规律方法(1)指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：必须同底数幂相乘，指数才能相加；运算的先后顺序.(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.(3)运算
5、结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.跟踪训练化简下列各式：(1)0.00210(2)10；(2)ab2(3ab1)(4ab3).解(1)原式150010(2)11010201.(2)原式ab3(4ab3)ab3(ab)ab.指数函数的图像及应用(1)函数f(x)axb的图像如图252所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()图252Aa1，b0Ba1，b0C0a1，b0D0a1，b0(2)若曲线y|2x1|与直线yb有两个公共点，求b的取值范围(1)D由f(x)axb的图像可以观察出，函数f(x)axb在定义域上单调递减，所以0a1，函数f(x)axb的图像是在ya
6、x的基础上向左平移得到的，所以b0.(2)解曲线y|2x1|与直线yb的图像如图所示，由图像可得，如果曲线y|2x1|与直线yb有两个公共点，则b的取值范围是(0,1)若将本例(2)中的条件改为“函数y|2x1|在(，k上单调递减”，则k的取值范围是什么？解因为函数y|2x1|的单调递减区间为(，0，所以k0，即k的取值范围为(，0规律方法指数函数图像的画法(判断)及应用方法,(1)画(判断)指数函数yax(a0，a1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.(2)与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像.(3)一些指数方程、不等式
7、问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解.跟踪训练(1)(2017郑州模拟)定义运算ab则函数f(x)12x的图像是()(2)方程2x2x的解的个数是_. 【导学号：79140043】(1)A(2)1(1)因为当x0时，2x1；当x0时，2x1.则f(x)12x故选A.(2)方程的解可看作函数y2x和y2x的图像交点的横坐标，分别作出这两个函数图像(如图)由图像得只有一个交点，因此该方程只有一个解指数函数的性质及应用角度1比较指数式的大小下列各式比较大小正确的是()A1.72.51.73B0.610.62C0.80.11.250.2D1.70.30.93.1BA中，因为函数y1.7
8、x在R上是增函数，2.53，所以1.72.51.73；B中，因为y0.6x在R上是减函数，12，所以0.610.62；C中，因为0.811.25，所以问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小因为y1.25x在R上是增函数，0.10.2，所以1.250.11.250.2，即0.80.11.250.2；D中，因为1.70.31,00.93.11，所以1.70.30.93.1.角度2解简单的指数方程或不等式设函数f(x)若f(a)1，则实数a的取值范围是()A(，3)B(1，)C(3,1)D(，3)(1，)C当a0时，不等式f(a)1可化为71，即8，即，因为01，所以a3，所以3a0；当
9、a0时，不等式f(a)1可化为1，所以0a1.故a的取值范围是(3,1)故选C.角度3探究指数型函数的性质函数y的单调减区间为_. 【导学号：79140044】(，1设ux22x1，y为减函数，函数y的减区间即为函数ux22x1的增区间又ux22x1的增区间为(，1，所求减区间为(，1规律方法与指数函数性质有关的问题类型与解题策略(1)比较指数式的大小：能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小.(2)解简单的指数方程或不等式：可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解.(3)探究指数型函数的性质：与研究一般函数
10、的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致.跟踪训练(1)(2017北京高考)已知函数f(x)3x，则f(x)()A是偶函数，且在R上是增函数B是奇函数，且在R上是增函数C是偶函数，且在R上是减函数D是奇函数，且在R上是减函数(2)不等式2x2x4的解集为_(3)函数y1在区间3,2上的值域是_(1)B(2)x|1x2(3)(1)函数f(x)的定义域为R，f(x)3x3xf(x)，函数f(x)是奇函数函数y在R上是减函数，函数y在R上是增函数又y3x在R上是增函数，函数f(x)3x在R上是增函数故选B.(2)2x2x4，2x2x22，x2x2，即x2x20，1x2.(3)x3,2，令t，则t，故yt2t1.当t时，ymin；当t8时，ymax57.故所求函数的值域为.