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1、4.1任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲考情考向分析1.了解任意角的概念和弧度制的概念2.能进行弧度与角度的互化3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.以理解任意角三角函数的概念、能进行弧度与角度的互化和扇形弧长、面积的计算为主，常与向量、三角恒等变换相结合，考查三角函数定义的应用及三角函数的化简与求值，考查分类讨论思想和数形结合思想的应用意识题型以选择题为主，低档难度.1角的概念(1)任意角：定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是S|k360，k
2、Z(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限2弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1 rad.(3)扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：Slr|r2.3任意角的三角函数任意角的终边与单位圆交于点P(x，y)时，则sin y，cos x，tan (x0)三个三角函数的性质如下表：三角函数定义
3、域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin Rcos Rtan |k，kZ4.三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点P，过P作PMx轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线知识拓展1三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦2任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin ，cos ，tan (x0)题组一思考辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是
4、第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点P的位置无关()(3)不相等的角终边一定不相同()(4)若为第一象限角，则sin cos 1.()题组二教材改编2P10A组T7角225_弧度，这个角在第_象限答案二3P15T2角的终边经过点Q，则sin _，cos _.答案4P10A组T6一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为_弧度答案题组三易错自纠5(2018秦皇岛模拟)下列与的终边相同的角的表达式中正确的是 ()A2k45(kZ) Bk360(kZ)Ck360315(kZ) Dk(kZ)答案C解析与的终边相同的角可以写成2k(kZ)，但是角度制与弧度制不能混用
5、，所以只有答案C正确6集合中的角所表示的范围(阴影部分)是()答案C解析当k2n(nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样；当k2n1 (nZ)时，2n2n，此时表示的范围与表示的范围一样，故选C.7(2018攀枝花质检)已知角的终边经过点(4,3)，则cos _.答案解析cos .8(2018济宁模拟)函数y的定义域为_答案(kZ)解析2cos x10，cos x.由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，x(kZ)题型一角及其表示1设集合M，N，那么()AMN BMNCNM DMN答案B解析由于M中，x18045k9045(2k1)45，2k1是奇数；而N中，x1
6、8045k4545(k1)45，k1是整数，因此必有MN，故选B.2若角是第二象限角，则是()A第一象限角 B第二象限角C第一或第三象限角 D第二或第四象限角答案C解析是第二象限角，2k2k，kZ，kk，kZ.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角是第一或第三象限角3(2017福州模拟)与2 015终边相同的最小正角是_答案145解析与2 015角终边相同的角的集合为|2 015k360，kZ，当k6时，2 0152 160145.思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的
7、角(2)确定k，(kN*)的终边位置的方法先写出k或的范围，然后根据k的可能取值确定k或的终边所在位置题型二弧度制典例 (1)(2017珠海模拟)已知扇形的周长是4 cm，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是()A2 B1 C. D3答案A解析设扇形的半径为R，则弧长l42R，扇形面积SlRR(2R)R22R(R1)21，当R1时，S最大，此时l2，扇形圆心角为2弧度(2)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是_答案解析设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，正方形边长为r，圆心角的弧度数是.思维升华 应用弧度制解决问题的方法(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要
8、注意角的单位必须是弧度(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形跟踪训练 (1)(2017太原模拟)已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是_答案解析设圆的半径为R，则Rsin 11，R，这个圆心角所对弧长为R2.(2)已知圆O与直线l相切于点A，点P，Q同时从A点出发，P沿着直线l向右，Q沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q运动到点A时，点P也停止运动，连接OQ，OP(如图)，则阴影部分面积S1，S2的大小关系是_答案S1S2解析设运动速度为m，运动时间为t，圆O的半径为r，则APtm，根
9、据切线的性质知OAAP，S1tmrS扇形AOB，S2tmrS扇形AOB，S1S2恒成立题型三三角函数的概念及应用命题点1三角函数定义的应用典例 (1)已知点P在角的终边上，且|OP|4，则点P的坐标为()A(2，2) BC(2，2) D答案A解析点P的坐标为，即(2，2)，故选A.(2)设是第三象限角，且cos ，则是()A第一象限角 B第二象限角C第三象限角 D第四象限角答案B解析由是第三象限角知，为第二或第四象限角，cos ，cos 0.则实数a的取值范围是()A(2,3 B(2,3)C2,3) D2,3答案A解析cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.(2)(
10、2017石家庄模拟)若，从单位圆中的三角函数线观察sin ，cos ，tan 的大小是()Asin tan cos Bcos sin tan Csin cos tan Dtan sin cos 答案C解析如图，作出角的正弦线MP，余弦线OM，正切线AT，观察可知sin cos 0，解得m3.4(2018成都模拟)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为 ()A BC D答案A解析由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足xcos ，ysin.5已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A2 B4 C6 D8答案C解析设扇形的半径为R，则4R2
11、2，R1，弧长l4，扇形的周长为l2R6.6已知是第二象限的角，其终边上一点为P(x，)，且cos x，则tan 等于()A. B. C D答案D解析x且在第二象限，x，tan .7(2017怀化模拟)sin 2cos 3tan 4的值()A小于0 B大于0C等于0 D不存在答案A解析sin 20，cos 30，sin 2cos 3tan 40.8给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是()A1 B2
12、 C3 D4答案A解析举反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sin sin ，但与的终边不相同，故错；当cos 1，时，其既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错综上可知只有正确9(2017鄂州模拟)已知tan 0，cos ，y.10已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于_答案解析设扇形半径为r，弧长为l，则解得11函数y 的定义域为_答案，kZ解析利用三角函数线(如图)，由sin x，可知2kx2k，kZ.12满足cos 的角的集合为_答案解析作直线x交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则O
13、C与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.13已知sin sin ，那么下列命题成立的是()A若，是第一象限的角，则cos cos B若，是第二象限的角，则tan tan C若，是第三象限的角，则cos cos D若，是第四象限的角，则tan tan 答案D解析如图，当在第四象限时，作出，的正弦线M1P1，M2P2和正切线AT1，AT2，观察知当sin sin 时，tan tan .14已知点P(sin cos ，tan )在第四象限，则在0,2内的取值范围是_答案解析由得1tan 0或tan 1.又02，或2.15(2017烟台模拟)若角的终边与直线y3x重
14、合，且sin 0，又P(m，n)是角终边上一点，且|OP|，则mn_.答案2解析由已知tan 3，n3m，又m2n210，m21.又sin 0，m1，n3.故mn2.16.如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于B点，始边不动，终边在运动(1)若点B的横坐标为，求tan 的值；(2)若AOB为等边三角形，写出与角终边相同的角的集合(3)若，请写出弓形AB的面积S与的函数关系式解(1)根据题意可得B，tan .(2)若AOB为等边三角形，则B或B，当B时，tanAOB，AOB；当B时，tanAOB，AOB.与角终边相同的角的集合是.(3)若，则S扇形r2，而SAOB11sin sin ，故弓形AB的面积Ssin ，.