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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 圆锥曲线与方程 - 椭圆学问点一椭圆及其标准方程1椭圆的定义：平面内与两定点F1,F2 距离的和等于常数2 aF 1F 2的点的轨迹叫做椭圆,即点集 M=P| |PF 1|+|PF 2|=2a ,2a|F 1F2|=2c ；这里两个定点 F1,F2叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c；（2 aF 1F 2时为线段F 1F 2,2 aF 1F 2无轨迹）；2标准方程：c2a2b2焦点在 x 轴上：x2y21（ab0）； 焦点 F（ c,0）a2b2焦点在 y 轴上：y2x21（ab0）； 焦点 F（0, c ）a2b2留意：在两种标准方程
2、中,总有ab0,并且椭圆的焦点总在长轴上；两种标准方程可用一般形式表示：2 xy21或者 mx2+ny2=1 mn二椭圆的简洁几何性质： 1. 范畴（1）椭圆x2y21（ab0） 横坐标-axa , 纵坐标-bxba2b2（2）椭圆y2x21（ab0） 横坐标-bxb, 纵坐标-axaa2b2 2.对称性椭圆关于 x 轴 y 轴都是对称的,这里,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对 称中心,椭圆的对称中心叫做椭圆的中心 3. 顶点（1）椭圆的顶点： A1（-a ,0）,A2（a,0）,B1（0,-b ）,B2（0,b）（2）线段 A1A2,B1B2 分别叫做椭圆的长轴长等于 椭圆的长半轴长和短
3、半轴长； 4 离心率12a,短轴长等于 2b,a 和 b 分别叫做名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）我们把椭圆的焦距与长轴长的比2c,即c称为椭圆的离心率,2aa e记作 e（0e1）,2 ec21b2a2ae0是圆；越接近于 0 （e 越小）,椭圆就越接近于圆 ;e 越接近于 1 （e 越大）,椭圆越扁；留意：离心率的大小只与椭圆本身的外形有关,与其所处的位置无关；小结一：基本元素（1）基本量： a、b、c、e、（共四个量）,特点三角形（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点）（3）基本线：对称轴（共两条线）
4、5椭圆的的内外部（1）点P x 0,y 0在椭圆2 xy21 ab0的内部2 x 02 y 011.2a2b22 ab（2）点P x 0,y 0在椭圆2 xy21 ab0的外部.2 x 02 y 02a2b22 ab6. 几何性质（1）点 P在椭圆上,最大角F PF 2maxF B F 2,（2）最大距离,最小距离 7. 直线与椭圆的位置关系（1）位置关系的判定：联立方程组求根的判别式；（2）弦长公式：（3）中点弦问题：韦达定理法、点差法2名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例题讲解：一. 椭圆定义：方程x22y2x2
5、2y210化简的结果是18,就顶点C的轨迹方程是2如ABC的两个顶点A4,0 ,B4,0,ABC的周长为3. 已知椭圆x 2y2=1 上的一点 P到椭圆一个焦点的距离为3, 就 P 到另一焦点距离为169二利用标准方程确定参数1. 如方程5x2k+ky23=1（1）表示圆,就实数k 的取值是 .（2）表示焦点在 x 轴上的椭圆,就实数（3）表示焦点在 y 型上的椭圆,就实数k 的取值范畴是 . k 的取值范畴是 .（4）表示椭圆,就实数 k 的取值范畴是 .2. 椭圆 4 x 225 y 2100 的长轴长等于,短轴长等于 , 顶点坐标是点的坐标是 , 焦距是,离心率等于 ,2 23椭圆 x
6、y 1 的焦距为 2,就 m = ；4 m4椭圆 5 x 2ky 2 5 的一个焦点是 0 , 2 ,那么 k；三待定系数法求椭圆标准方程1如椭圆经过点 4,0,0, 3,就该椭圆的标准方程为、F 2；2焦点在坐标轴上,且2 a13,c212的椭圆的标准方程为为焦点且过点 P的椭圆的3焦点在x轴上,a: b2:1,c6椭圆的标准方程为4. 已知三点 P（5,2）、F 1（ 6,0）、F2（6,0）,求以F 1标准方程；变式：求与椭圆4x29y236共焦点,且过点3, 2的椭圆方程；四焦点三角形3名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - -
7、- - - 1椭圆2 xy21 的焦点为F 1、F 2,AB是椭圆过焦点1F的弦,就ABF 2的周长是；9252设F 1,F2为椭圆16x225y2400的焦点,P为椭圆上的任一点,就PF1F2的周长是多少？PF 1F 2的面积的最大值是多少？F PF 12的面积3设点P是椭圆x2y 21上的一点,F F 1 2是焦点,如F PF 12是直角,就2516为；F 1PF260,变式：已知椭圆9x216y2144,焦点为F 1、F2,P是椭圆上一点如求PF 1F2的面积五离心率的有关问题1. 椭圆x22 y1的离心率为1 ,就 m 20 120,就此椭圆的离心率e为4m2. 从椭圆短轴的一个端点看
8、长轴两端点的视角为3椭圆的一焦点与短轴两顶点组成一个等边三角形,就椭圆的离心率为4. 设椭圆的两个焦点分别为F1、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,如F1PF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率；5. 在ABC中,A30 0|,AB|2 ,SABC3如以 A,B为焦点的椭圆经过点C ,就该椭圆的离心率 e六、最值问题：1、已知椭圆x2y21,A1,0 ,P 为椭圆上任意一点,求 |PA| 的最大值最小值4；2. 椭圆x22 y1两焦点为 F1、F2,点 P 在椭圆上,就 |PF1| |PF 2| 的最大值为 _,44名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资
9、料 - - - - - - - - - 七、弦长、中点弦问题 1 、已知椭圆 4 x 2y 2 1 及直 y x m 线（1）当 m 为何值时,直线与椭圆有公共点？（2）如直线被椭圆截得的弦长为 2 10,求直线的方程522 已知椭圆 xy 2 1,2 1 求过点（ 1,0 ）且被椭圆截得的弦长为 2 2 的弦所在直线的方程（2）求过点 P 1,1 且被 P 平分的弦所在直线的方程；2 2同步测试 1 已知 F1-8 ,0 ,F28 ,0 ,动点 P 满意|PF1|+|PF 2|=16 ,就点 P 的轨迹为 A 圆 B 椭圆 C 线段 D 直线2 2 2 、椭圆 x y1 左右焦点为 F1、F
10、2,CD为过 F1 的弦,就 CDF1的周长为 _16 92 2 3 已知方程 x y 1 表示椭圆,就 k 的取值范畴是 1 k 1 k A -1k0 C k0 D k1 或 k-14、求满意以下条件的椭圆的标准方程 1 长轴长为 10,短轴长为 6 2 长轴是短轴的 2 倍,且过点 2 ,1 3 经过点 5 ,1 ,3 ,2 5名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5. 椭圆x22 y1 ab0的左右焦点分别是F1、F2,过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于P 点；a22 b如F 1PF2=60 ,就椭圆的离心率为
11、_6 已知椭圆的方程为x2y21,P点是椭圆上的点且F PF260, 求PF F 2的面积437. 如椭圆的短轴为 AB,它的一个焦点为F1,就满意 ABF1 为等边三角形的椭圆的离心率为2 28. 椭圆 x y 1 上的点 P到它的左焦点的距离是 12,那么点 P 到它的右焦点的距离是100 362 29已知椭圆 x2 y 1 a 5 的两个焦点为 F 1、F 2,且 F 1F 2 8,弦 AB过点 F 1,就a 25ABF 2 的周长2 2 2 210、椭圆 xy =1 与椭圆 xy = 0 有3 2 2 3 A 相等的焦距 B 相同的离心率 C 相同的准线 D 以上都不对2 2 2 21
12、1、椭圆 x y 1 与 x y1（0kb0的左、右焦点 F1、F2 作两条相互垂直的直线 l1、l2,它们的交点在椭圆的内部,就椭圆的离心率的取值范畴是 2 2 2A0,1 B. 0,2 C. 2,1 D. 0,2x2 y22椭圆 100641 的焦点为 F1、F2,椭圆上的点 P 满意 F1PF260,就 F1PF2的面积是 64 3 91 3 16 3 64A. 3 B. 3 C. 3 D. 33已知椭圆 E 的短轴长为 6,焦点 F 到长轴的一个端点的距离等于 9,就椭圆 E 的离心率等于 x2 y24 已知点 F,A 分别是椭圆 a2b21ab0的左焦点、右顶点, B0,b满足 AB
13、0,就椭圆的离心率等于 31 51 31 51A. 2 B. 2 C. 2 D. 2x2 y25已知椭圆 421 的左右焦点分别为 F1、F2,过 F2 且倾角为 45的直线 l 交椭圆于8A、B 两点,以下结论中：结论的个数为 ABF1的周长为 8；原点到 l 的距离为 1； |AB| ；正确A3B2C1D06已知圆 x22y236 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点, N2,0,线段 AN 的垂直平 分线交 MA 于点 P,就动点 P 的轨迹是 A圆B椭圆C双曲线D抛物线7名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - x2
14、y27过椭圆 C：a2b21ab0的一个顶点作圆 x2y2b2的两条切线,切点分别为A,B,如 AOB90 O 为坐标原点 ,就椭圆 C 的离心率为 _8 如椭圆x2y2e 的取值范a2b21ab0与曲线 x2y2a2b2无公共点,就椭圆的离心率围是_9已知 ABC 顶点 A4,0和 C4,0,顶点 B 在椭圆x2y22591 上,就sinAsinCsinB_.x2 y210已知椭圆 C：a2b21ab0的长轴长为 4.标；.1如以原点为圆心、椭圆短半轴为半径的圆与直线 yx2 相切,求椭圆 C 的焦点坐111椭圆 E 经过点 A2,3,对称轴为坐标轴,焦点F1,F2在 x 轴上,离心率 e . 21求椭圆 E 的方程；8名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页