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1、精品名师归纳总结名师总结 优秀学问点专题：对数函数学问点总结1.对数函数的定义：一般的,函数ylogax 叫做对数函数.定义域是2. 对数函数的性质为图a1 1 12 34 56 70a0 且 a 1互称相对应的反函数 ,它们的图象关于直线 y=x 对称y=fx 存在反函数 ,一般将反函数记作 y=f-1x 如:fx=2 x,就 f-1x=log 2x,二者的定义域与值域对调 ,且图象关于直线y=x 对称函数与其反函数的定义域与值域对调,且它们的图象关于直线y=x 对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结名师总结 优秀学问点专题应用练习一、求以下函数的定义域（ 1）ylog0.24
2、x ;。33x（2）ylogax1a0,a1.。（ 3）ylog2x1x 22x（4）ylog 4 2x35 y=lgx116 y=log1.y=log5x-17x-2 的定义域是 _ 2.y= lg 8 x 2 的定义域是 _3.求函数 y log 2 x 1 的定义域 _ 4.函数 y= log 2 x 1 的定义域是35.函数 ylog 2324x的定义域是,值域是. 6.函数ylog5x2x3的定义域 _ 7.求函数ylog xx2a0,a1的定义域和值域。8.求以下函数的定义域、值域：（ 1）ylog x3。 （2）ylog 3x2。 （3）ylog x24x7（a0且a1）9.函数
3、 f（x）=1 ln （xx 23 x2x 23 x4）定义域10.设 fx=lg2x,就 fxf2的定义域为2x2x）的定义域为。11.函数 fx=|x2|1的定义域为log2x112.函数 fx=1 g2 x2x 的定义域为92 x13.函数 f （x） =1 ln （xx23x2x23 x414ylog log log2x的定义域是1. 设 f xlg ax 22xa, 1 假如 f x的定义域是 , ,求 a 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结名师总结 优秀学问点2 假如 f x的值域是 , ,求 a 的取值范畴15.已知函数fx log1x22ax3 2（
4、1）如函数的定义域为R,求实数 a 的取值范畴41 21+log 2p-1.（ 2）如函数的值域为R,求实数 a 的取值范畴（ 3）如函数的定义域为1, ,3,求实数 a 的值。（ 4）如函数的值域为,1,求实数 a 的值 . 16.如函数yf2x的定义域为1,0 ,就函数yflog2x 的定义域为17.已知函数 f2x）的定义域是-1, 1,求 flog 2x的定义域 . 18 如函数 y=lg4-a 2 x的定义域为R,就实数 a 的取值范畴为19 已知 x 满意不等式log2x27log2x60,函数fxlog24xlog42x的值域是20 求函数ylog1x 2log1x11x4的值域
5、。2221 已知函数 fx=log 2x1+log 2x-1+log 2p-x.（1）求 fx 的定义域。（2）求 fx 的值域 . x1x10,x1解： fx 有意义时,有x10 ,px0,由、得x1,由得 xp,由于函数的定义域为非空数集,故p1,fx 的定义域是 1,p.（2）fx=log 2x+1p-x =log 2-（ x-p21）2+p412 1 xp,当 1p21 p,即 p 3 时,0-x-p212p41 2p41 2, log2xp21 2p41 22log 2p+1-2.当p211,即 1p3 时,0-x-p21 2p4122p1 ,log2xp212p综合可知：当 p3
6、时, fx 的值域是（ -,2log2p+1-2;当 1p3 时,函数 fx 的值域是 -,1+log 2p-1. 二、利用对数函数的性质,比较大小例 1、比较以下各组数中两个数的大小：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）log 3.4 ,log 3.8 。名师总结优秀学问点（ 2）log0.51.8 ,log0.52.1 。（ 3）log 5 ,log 7 。（4）log 3,log 5 ,3 21.0.9 1.1,log1.10.9 ,log0.70.8 的大小关系是 _ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.已知 a 2ba1,就 m=log ab,n=
7、log ba,p= log b3.已知 logm5logn5,试确定 m 和 n 的大小关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b 的大小关系是 _ a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.已知 0 a1,b1,ab1,就 loga1,logab ,logb1的大小关系是x的大小。bb5.已知 log1 blog 21 alog 21 c,比较 2 2b,2a,2 c 的大小关系 . 6.设alog 3,blog23,clog32,就7.已知x1, d,试比较alogdx2,blogd2 x clog dlog d8.已知x1, d1 试比较alogdx2,blogd
8、x2 的大小。9.设 0 x 0,且 a 1,试比较 | loga（1-x） |与| loga（1+x） |的大小。10.已知函数f x lgx ,就f1,f1,f2的大小关系是 _ 43三、解指、对数方程：（ 1）3 3x527（2）2 2x12（3）log 3 log 2xa1（4） lgx1lgx11.已知 3a=5b=A,且11=2,就 A 的值是ab0,且a1,求log8y x的值2.已知 log7log3log 2x=0,那么x1等于23.已知 log7log3log2x=0,那么 x1等于24.如 xe-1,1,a=lnx,b=2lnx,c=ln3x,就5.如f10xx,那么f3
9、等于6. 已知f x5lgx ,就f27. 已知log x24log y21log 5log 2xy1四、解不等式：1.log 3 log 2x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结名师总结 优秀学问点2.lg x 1 13.设 a b 满意 0 a b 1,给出以下四个不等式：a b a b a a b b a a , b b , a b , b a ,其中正确的不等式有4.已知： 1 f x log a x 在 3, 上恒有 | f x | 1,求实数 a 的取值范畴。25.已知函数 f x 3, g x a 1 x ,当 2 x 2 时,f x g x 恒成立,求实数 a 的
10、取值范畴。6.求 m 的取值范畴,使关于 x 的方程 lg x 22 m lg x m 1 0 有两个大于 1的根4（ 2022 全国）如 x e-1,1,a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,就7.已知 0 a1,b1,ab1,就 loga 1, log a b , log b 1 的大小关系是b b8.已知函数 fx=log axa0,a 1,假如对于任意 x 3,+）都有 |fx| 1 成立,试求 a 的取值范畴9.已知函数 f（ x）=log 2x 2-ax-a在区间（ -, 1-3 上是单调递减函数 .求实数 a 的取值范畴 .10.如函数 y log x 2ax a 在区间 ,
11、1 3 上是增函数,a 的取值范畴211.已知函数 f x log 2 x ax 3 a 在区间 ,1 2 上是增函数,就实数 a 的取值范畴是log 2 x x 0,12.如函数 fx= log x , x 0 ,如 faf-a, 就实数 a 的取值范畴是213.设 函数f x 2x11,x1,如1,f x 01,就0x 的取值范畴是（5x7）lgx,x14.设 a0 且 a 1,如函数 f xalgx 22x3 有最大值,试解不等式logax20 五、定点问题1.如函数 y=log ax+b a0,且 a 1的图象过两点（ -1,0）和（ 0,1）,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
12、师归纳总结2.如函数 y=log ax+b a 0,且 a 1的图象过两点（可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结-1,0）和（ 0, 1）,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.函数fxlogax1 1 a0 且a1 恒过定点. 六、求对数的底数范畴问题1.（1） 如loga41a0且a1,求 a 的取值范畴5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结名师总结 优秀学问点2. （2）如 log 2 a 3 1 4 2,求 a 的取值范畴3.如 log a 21 a 0 且 a 1,就 a 的取值范畴 _ 34.函数 f x log x 1 的定义域和值域都是
13、0,1 ,就 a 的值为 . 5.如函数 f x log a x 在 2,3 上单调递减,就 a 的取值范畴是6.函数 y=log0.5ax+a-1 在 x2 上单调减,求实数 a 的范畴x7.已知 y= log a 2-a 在 0,1上是 x 的减函数,求 a 的取值范畴 . 8.已知函数 y=log ax 2-2ax-3在-,-2上是增函数,求 a 的取值范畴 . 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9.已知函数 fx=log axa0,a 1,假如对于任意 试求 a 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 3,+）都有 |fx| 1 成立,可编辑资料
14、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10.如函数ylog 1x 在 0,1 上是增函数,a 的取值范畴是11.使log a11 成立的 a 的取值范畴是212.如定义在 1,0内的函数 f x log2ax1满意 f x0,就 a 的取值范畴是七、最值问题1.函数 ylog ax 在2, 10 上的最大值与最小值的差为1,就常数 a. 1 ,就 a= 2a,就 a= 2.求函数ylog12xlog1x5x2,4的最小值,最大值.。443.设 a1,函数 fx=log ax 在区间 a,2a上的最大值与最小值之差为 4.函数 f（x）=a x+loga（x+1）在 0,1上的最大值和最小值之和
15、为5.已知0x2,就函数y4x32x4的最大值是,最小值是.6.已知f x 1log2x ,1x4,求函数g x f2 f x2的最大值与最小值7.已知 x 满意2log0.5x27log0.5x30,求函数f x log2xlog2x的最值。248.设x0,y0,且x2y1, 求函数ulog 8 2 xy4y21 的值域.9.函数 f xa xlog ax+1在0, 1上的最大值与最小值之和为a,就 a10.求函数ylog1 13xlog23x1的最小值32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11.函数在区间名师总结优秀学问点=_上的最大值比最小值大2,就实数八、单调性1.争论函
16、数ylg1xlg1x 的奇偶性与单调性,单调增区间是2.函数ylg2xx2的定义域是,值域是3.函数f x lnx24x3的递减区间是4.函数 y=log 1/3x2-3x的增区间是 _ 5.证明函数fx log2x21 在0,上是增函数6.函数fxlog2x21 在0,上是减函数仍是增函数？7.求函数ylog1x22x3 的单调区间,并用单调定义赐予证明22.8.求 y= log 0 3. x -2x的单调递减区间29.求函数 y= log 2 x -4x的单调递增区间10.函数 y=log 1x 2-3x+2 的递增区间是211.函数ylg2xx2的值域是,单调增区间是a 的取值范畴12.
17、如函数ylog x2axa 在区间 ,13 上是减函数,求实数1.证明函数 y=log12 x +1在（ 0,+）上是减函数。22.已知函数 f（ x）=log 2x2-ax-a在区间（ -,1-3 上是单调递减函数.,求实数 a 的取值范畴 .3.已知函数f lg4kx 2 ,（其中 k 实数）,2 上有意义,试求实数k 的取值范畴（）求函数fx 的定义域。（）如fx在小结： 复合函数的单调性fx,gx 的单调相同,yfgx 为增函数,否就为减函数九、奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.函数fx名师总结优秀学问点a b c 之间的大小关系ln1x2x 的奇偶性是。2.如
18、函数 fx 是奇函数,且x0时,fxlgx1,就当x0时, fx3.偶函数 fx 在 0,2 内单调递减,af1 ,bflog0.51,cflg 0.5,就44.已知fx是定义在 R 上的偶函数,且在0,上为增函数,f10,就不等式flog1x 0的解集为35.已知函数8f lg1x,如f a 1,就fa. 1x2=_6.已知奇函数满意,当时,函数,就7.已知f x lgxx211 判定fx 奇偶性2判定f x 的单调性8.知函数 fx=log axba0,且 a 1,b0（1）求 fx 定义域。（2）争论 fx 奇偶性。（3）争论 fx ）xb单调性9.a,bR,且 a 2,定义在区间（ -
19、b,b）内的函数 fx=lg1ax是奇函数12x1）求 b 取值范畴 2）争论函数 fx 单调性 .10.设 a,bR,且 a 2,定义在区间（ -b,b）内的函数 fx=lg1ax是奇函数 .f g x . 12x（1） 求 b2）争论函数 fx 的单调性 .且a1,设h x 11.已知函数f x log 1x ,g x log 1x 其中a0（1）求函数 h x 的定义域,判定 h x 的奇偶性,并说明理由。（2）如 f 3 2,求使 h x 0 成立的 x 的集合 . 十、对称问题与解析式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结名师总结 优秀学问点1. 已 知 函 数 f x 的
20、 定 义 域 是 0, 且 对 任 意 的 x x 2 0 满 足 f x 1 f x 1 f x 2, 当 x 1 时 有x 2f x 0,请你写出一个满意上述条件的函数 f x。22.已知函数 f x 满意 f x 23 log a x2 a 0, a 16 x（ 1）求 f x 的解析式。（2）判定 f x 的奇偶性。（3）争论 f x 的单调性。（4）解不等式 f x log a 2 x3. 已 知 定 义 域 为 ,0 0, 的 函 数 y f x 满 足 条 件 ： 对 于 定 义 域 内 任 意 x x 2 都 有f x x f 1 x f 2 x .1求证：f 1 f x ,且
21、 f x 是偶函数。 2请写出一个满意上述条件的函数 . x5.已知函数 fx=log ax+1a1,如函数 y=gx图象上任意一点 P关于原点对称点 Q 的轨迹恰好是函数fx 的图象 . （1）写出函数 gx的解析式。（2）当 x 0,1）时总有 fx+gx m 成立,求 m 的取值范畴 .解（1）设 P（x,y）为 gx 图象上任意一点,就 Q（-x,-y）是点 P 关于原点的对称点,Q（-x,-y）在 fx 的图象上,-y=log a（-x+1 ）,即 y=gx=-log a1-x.（2）fx+gx m,即 logax1 m. x1设 F（x）=log a1x,x 0,1）,由题意知,只
22、要F（x） minm 即可 .1x F（x）在 0,1）上是增函数,F（x） min=F（0）=0.故 m0 即为所求1）证明设点 A 、B 的横坐标分别为x1、x2,由题设知 x 11,x 21,就点 A、B 的纵坐标分别为log 8x 1、log 8x2.log2x23log8x2,由此可知由于 A 、B 在过点 O 的直线上,所以log8x 1log8x 2点 C、D 的坐标分别为 x 1,log 2x1、x 2,log 2x 2,x 1x 2由于 log 2x1=log 8x=3log 8x1,log2x2=3log 8x2,log 8 2OC 的斜率为k 1=log2x 13 log
23、8x 1,OD 的斜率为k2x1x 1x 2x 2k 1=k 2,即 O、 C、D 在同始终线上 .（2）解由于 BC 平行于 x 轴,知 log 2x 1=log 8x2,即得 log 2x 1= 3 1 log2x2,x2=x31,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结名师总结 优秀学问点3 3代入 x2log8x1=x1log 8x 2,得 x 1log8x1=3x1log8x1,由于 x11,知 log8x1 0,故 x 1=3x 1, x 11,解得 x1= 3 ,于是点 A 的坐标为（3 ,log 8 3 . 6.已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交
24、于 A、B 两点,分别过 A、B 作 y 轴的平行线与函数 y=log2的图象交于 C、D 两点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）证明 :点 C、D 和原点 O可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2）当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标 . 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7.设函数且争论的单调性,并求的值域的解析式,定义域。 求十一、对数函数图象1函数 y log x 2 的图象是由函数 y log 3 x 的图象 得到。2. 函数 y log x 2 3 的图象是由函数 y log 3 x 的图象 得到。3. 函数 y log x
25、b c （a 0, a 1）的图象是由函数 y log a x 的图象当 b 0, c 0 时向 _ 单位得到 ; 当 b 0, c 0 时向 _ 单位得到 ; 当 b 0, c 0 时向 _ 单位得到 ; 当 b 0, c 0 时向 _ 单位得到。尝试总结： 平移变换 y f x y f x a b 的法就 _ 1.将函数 y=2x的图象向左平移1 个单位得到C1,将 C1 向上平移 1 个单位得到C2,而 C3 与 C2 关于直线 y=x 对称,就 C3 对应的函数解析式是2.函数的图像与对数函数 y log 3 x 的图像的关系,并画出它们的示意图,由图像写出它的单调区间：1 y log
26、 | x 。 2 y | log 3 x 。3 y log x 。4 y log 3 x1.已知 x1是方程 xlg x3 的根, x2是方程 x 10 x3 的根求函数 f xlog 2 | x 2x 12 | 的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.如图,曲线是对数函数的图象,已知名师总结优秀学问点,的取值就相应于曲线axa1的值依次为 3.方程logax的解的个数为4.已知关于x的方程lg2x2algx2a0的两根均大于1,就实数a的取值范畴是5.方程log |x|2 x 的实根个数是个.就 x1x26.已知 fx 1log x3,gx2log x2,比较 fx与
27、gx的大小7.设 a0 且 a 1,求证：方程axax-x=2a 的根不在区间 -1,1 内（）8.如,且,就满意的关系式是9.如是偶函数,就的图象是 （D）对称轴对称（ B）关于轴对称（ C）关于原点对称（D）关于直线（A）关于10 方程实数解所在的区间是 （A）（B）（C）11.已知 x、y 为实数,满意（log 4y）2=log1x,试求x y的最大值及相应的x、y 的值2十二、附加内容（补充）本节主要介绍以下几个问题一、反函数的定义 二、反函数的求法三、反函数存在的条件从yfx 中解出x求原函数值域（反函数定义域）x与y互换,加注定义域等价条件：x,y 一一对应在定义域内单调肯定存在反
28、函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结名师总结 优秀学问点原函数与反函数定义域 与值域对调四、反函数的性质xxff1yy ,f1 fx x原函数与反函数的图象关于直线yx 对称y2x用 表示 y原函数在定义域内单调,反函数与之具有相同的单调性log2yx、 互换 yylog2xxR y0,yR x0,y=ax 及 y=log ax 互为反函数,反函数的定义一般的 ,假如 y 是 x 的一个函数 y=fx, 另一方面 ,x 也是 y 的函数 x=gy, 将此函数称作函数 y=fx 的反函数。一般仍用 x 表示自变量 ,y 表示函数值 ,这样 y=fx 的反函数记作 y=f-1x,y
29、=f-1x 与 y=fx 互为反函数y=a x 与 y=log ax 互为反函数留意： f-1x 与fx-1 不同,前者表示反函数,后者表示 fx 的倒数求函数 y=3x+6 的反函数解：由已知： x=y/3-2, 这样 y=3x+6 的反函数为y=x/3-2 ,为反函数的定义域Y=ax 与 y=log ax x|x0 互为反函数 由 y=ax 中解出 x,求出原函数的值域二 ,反函数的求法步骤1、从 y=fx 中解出 x; 2、求出原函数的值域即为反函数的定义域。3,x、y 互换并加注定义域即为所求反函数存在的条件y 是 x 的函数,要求每个 x 对应惟一一个 y; x 是 y 的函数,要求
30、每个 y 对应惟一一个 x; 所以：反函数存在的等价条件是该函数的 x 与 y 一一对应y=a x 在定义域内单调,它存在反函数。一般的,定义域内单调肯定有 x,y 一一对应,故：一个函数在定义域内单调,就它肯定存在反函数摸索：存在反函数,是否肯定在定义域内单调？（不肯定,如 y=1/x）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结名师总结 优秀学问点反函数的简洁性质1、原函数与反函数的定义域与值域对调2、ff-1y=y,f-1fx=x （由于 x 与 y 一一对应）3、原函数与反函数的图象关于直线 y=x 对称。从而,原函数在定义域内单调,反函数也单调,而且与原函数具有相同的单调性1.求
31、出函数 y=log 21x-1x1 的反函数1x解： 2 y=1x,x=2y1yR 反函数为： y=2x1X R :a 1 2y12x11x2.求函数 y=1+ x3.如函数 fx= bxx2225 x -5 的反函数 答： f-1x= x 2 x 26 x1的反函数为 f 1 x 2 x x1 5求常数 a,b,c 的值 答： a=5,b=2,c=1ac4.已知 y=x2-2ax+3 在1 ,上存在反函数求实数 a 的范畴 ;求 a 取得最值时相应的反函数解 a=1 时,y=x2-2x+3 2,x= 1y2故反函数为f-1x=1+x2（x2）5.已知函数 y=-x的反函数是f-1x 求 f-1-1 6.如函数 fx 的图象过点（ 1,2）,就 f-1x的图象肯定经过点_ f2 f1 7.如点 1,2既在函数 y= a+b,又在其反函数的图象上,求实数a,b 的值x8.已知f x log ax1 a0,且a1,（1）求其定义域。 （2）解方程可编辑资料