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1、精品名师归纳总结第 10 讲 不等式不等式这部分学问，渗透在中学数学各个分支中，有着非常广泛的应用因此不等式应用问题表达了肯定的综合性、敏捷多样性，对数学各部分学问融会贯穿，起到了很好的促进作 用在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、挑选适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明不等式的应用范畴非常广泛，它始终贯串在整个中学数学之中诸如集合问题，方程 组的解的争论，函数单调性的争论，函数定义域的确定，三角、数列、复数、立体几何、解读几何中的最大值、最小值问题，无一不与不等式有着亲密的联系，很多问题，最终都可归结为不等式的求解或证明。一、学问整合1. 解不等式的核心问题是不等式的
2、同解变形，不等式的性质就是不等式变形的理论依据， 方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法亲密相关，要善于把它们有机的联系起来，相互转化在解不等式中，换元法和图解法是常用的技巧之一通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简洁的或基本不等式，通过构造函数、数形结合，就可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系，对含有参数的不等式，运用图解法可以使得分类标准明晰2. 整式不等式 主要是一次、二次不等式的解法是解不等式的基础，利用不等式的性质及 函数的单调性，将分式不等式、肯定值不等式等化归为整式不等式 组 是解不等式的基本思想，分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法方程的根、函数的性质和图象都与不等
3、式的解亲密相关，要善于把它们有机的联系起来，相互转化和相互变用3. 在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简洁的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系， 对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰4. 证明不等式的方法敏捷多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法要依据题设、题断的结构特点、内在联系，挑选适当的证明方法，要熟识各种证法中的推理思维，并把握相应的步骤，技巧和语言特点比较法的一般步骤是：作差商变形判定符号值5. 证明不等式的方法多样，内容丰富、技巧性较强在证明不等式前，要依据题设和
4、待证不等式的结构特点、内在联系，挑选适当的证明方法通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明。反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，为沟通联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的6. 不等式应用问题表达了肯定的综合性这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结式、解不等式。另一类是建立函数式求最大值或最小值利用平均值不等式求函数的最值时，要特殊留意“正数、定值和相等”三个条件缺一不行，有时需要适当拼
5、凑，使之符合这三个条件利用不等式解应用题的基本步骤：1.审题， 2.建立不等式模型，3.解数学问题， 4.作答。7. 通过不等式的基本学问、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解读几何等各部分学问中的应用，深化数学学问间的融汇贯穿，从而提高分析问题解决问题的才能在应用不等式的基本学问、方法、思想解决问题的过程中，提高同学数学素养及创新意识二、方法技巧1. 解不等式的基本思想是转化、化归，一般都转化为最简洁的一元一次不等式组）或一元二次不等式 M ，且对 M 中的其它元素 c， d，总有 c a，就 a= 分析：读懂并能揭示问题中的数学实质，将是解决该问题的突破口怎样懂得“对M 中的
6、其它元素c ，d，总有 c a”？ M 中的元素又有什么特点？解：依题可知，此题等价于求函数x=fy=y+3 |y-1|+y+32 当 1 y3 时，所以当 y=1 时，=4简评：题设条件中显现集合的形式，因此要认清集合元素的本质属性，然后结合条件，揭示其数学实质即求集合M中的元素满足关系式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2已知非负实数， 满意且，就的最大值是 ）ABCD 解：画出图象，由线性规划学问可得，选D例 3数列由以下条件确定：1）证明：对于,2）证明：对于证明： 1） 的图象经过原点，且1 f-1 2， 3 f1 4，求 f-2 的范畴 分析：要求 f-2 的取值
7、范畴，只需找到含人f-2 的不等式 组由于 y=fx 是二次函数，所以应先将fx 的表达形式写出来即可求得f-2 的表达式，然后依题设条件列出含有f-2 的不等式组，即可求解解：由于 y=fx 的图象经过原点，所以可设y=fx=ax 2+bx于是解法一 利用基本不等式的性质不等式组 变形得 所以 f-2 的取值范畴是 6 ， 10 解法二 数形结合 建立直角坐标系aob，作出不等式组 所表示的区域，如图6 中的阴影部分由于f- 2=4a-2b ，所以 4a-2b-f-2=0 表示斜率为2 的直线系如图6，当直线 4a-2b-f-2=0 过点 A2 ，1， B3 ，1时，分别取得 f-2 的最小
8、值 6，最大值 10即 f-2 的取值范畴是： 6 f-2 10解法三 利用方程的思想 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又 f-2=4a-2b=3f-1+f1，而1 f-1 2， 3 f1 4， 所以3 3f-1 6 +得 43f-1+f1 10，即 6 f-2 10简评： 1 在解不等式时，要求作同解变形要防止显现以下一种错解：2b，8 4a 12，-3 -2b -1，所以 5 f-2 112 对这类问题的求解关键一步是，找到f-2 的数学结构，然后依其数学结构特点，揭示其代数的、几何的本质，利用不等式的基本性质、数形结合、方程等数学思想方法，从不同角度去解决同一问题如长期这
9、样摸索问题，数学的素养肯定会快速提高例 6设函数fx=ax2+bx+c 的图象与两直线y=x ， y=x，均不相交 .试证明对一切都有.0 +fx 0，就分析：由于 x R，故 |fx| 的最小值如存在，就最小值由顶点确定，故设fx=ax-x 02+fx0 证明：由题意知， a0设 fx=ax-x22又二次方程 ax2+bx+c= x 无实根，故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1=b+12-4ac 0，2=b-1-4ac 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以 b+1 2+b-1 2-8ac 0，即 2b2+2-8ac0，即 b2 -4ac -1，所以 |b2-4ac| 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结简评：从上述几个例子可以看出，在证明与二次函数有关的不等式问题时，假如针对题设条件，合理实行二次函数的不同形式，那么我们就找到了一种有效的证明途径例 7某城市 2001 年末汽车保有量为30 万辆，估计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同。为了爱护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60 万辆， 那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？解：设 2001 年末的汽车保有量为，以后每年末的汽车保有量依次为，每年新增汽车万辆。由题意得可编辑资料 - - - 欢迎下载