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1、精品名师归纳总结第 18 章 勾股定理复习一学问归纳勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。表示方法：假如直角三角形的两直角边分别为a , b ,斜边为 c ,那么 a 2b 2c 2勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理,在西方称为毕达哥拉斯定理我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三,股四,弦五”形式的勾股定理,后来人们进一步发觉并证明白直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 .勾股定理的证明勾股定理的证明方法许多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是图形进过割补拼接后,
2、只要没有重叠,没有间隙,面积不会转变22依据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法一： 4SSS, 41 abbac,化简可证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正方形EFGH正方形ABCD2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结DCHEGFbaAcB方法二：baaccbcbcaab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为S41 abc 2222222abc可编辑资料 - - - 欢迎下
3、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结大正方形面积为Saba 2abb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222所以 abc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结方法三：S梯形1 ab ab ,S梯形2S ADES ABE21 ab1 c 2 ,化简得证可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AaDbccEaBbC .勾股定理的适用范畴勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特点,因而在应用勾股定理时,必需
4、明白所考察的对象是直角三角形 .勾股定理的应用222222已知直角三角形的任意两边长,求第三边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 ABC 中,C90,就 cab , bca, acb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系可运用勾股定懂得决一些实际问题 .勾股定理的逆定理可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如三角形三边长 a , b , c 满意 a2b2c 2 ,那么这个三角形是直角三角形,其中c 为斜边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结222勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一
5、种重要方法,它通过“数转化为形 ”来确定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三角形的可能外形,在运用这肯定理时,可用两小边的平方和ab 与较长边的平方c 作比较,如它们相可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22等时,以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形。如a2b2c 2 ,时,以 a , b , c 为三边的三角形是钝可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2角三角形。如abc ,时,以 a , b , c 为三边的三角形是锐角三角形。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2定理中 a , b , c 及 a 2b 2c 2 只是一种表现
6、形式,不行认为是唯独的,如如三角形三边长a , b , c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22满意 acb ,那么以 a , b , c 为三边的三角形是直角三角形,但是b 为斜边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形 .勾股数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即称 a , b , c 为一组勾股数a2b 2c2 中, a , b , c 为正整数时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结记住常
7、见的勾股数可以提高解题速度,如3,4,5 。 6,8,10 。 5,12,13 。 7,24,25 等用含字母的代数式表示n组勾股数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22n1,2n, n1 （ n2, n为正整数）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2n1,2n22n,2 n22n1 （ n 为正整数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结m2n2,2 mn,m2n 2 （ mn,m , n 为正整数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结勾股定理的
8、应用勾股定理能够帮忙我们解决直角三角形中的边长的运算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时,必需把握直角三角形的前提条件,明白直角三角形中,斜边和直角边各是什么,以便运用勾股定理进行运算,应设法添加帮助线（通常作垂线）,构造直角三角形,以便正确使用勾股定理进行求解 .勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮忙我们通过三角形三边之间的数量关系判定一个三角形是否是直角三角形,在详细可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不行不加摸索的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论 .勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及
9、其逆定理在解决一些实际问题或详细的几何问题中,是密不行分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形,又要用勾股定理求出边的长度,二者相辅相成,完成对问题的解决 常见图形：CCC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结30ABADBBDA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CBDA题型一：直接考查勾股定理例 .在ABC 中,C90 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知 AC已知 AB6 , BC17 , AC8 求 AB 的长15 ,求 BC 的长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析：直接应用勾股定理a2b2c2可编辑资料 - -
10、- 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：2ABAC2BC10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 BCAB2AC8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2题型二：应用勾股定理建立方程例 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 ABC 中,ACB90 , AB5 cm, BC3 cm, CDAB 于 D , CD 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结已知直角三角形的两直角边长之比为3 : 4 ,斜边长为 15 ,就这个三角形的面积为已知直角三角形的周长为30 c
11、m ,斜边长为 13 cm ,就这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时,要想到勾股定理,及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积有时可依据勾股定理列方程求解2解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2 ACABBC4 , CDACBC AB2.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ADBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设两直角边的长分别为3k , 4k23k 24k 215 ,k3 , S54可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设两直角边分别为a , b ,就 ab17 , a 2b2289
12、 ,可得 ab60S1 ab302cm2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 .如图 ABC 中,C90, 12 , CD1.5 , BD2.5 ,求 AC 的长可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CD12AEB分析：此题将勾股定理与全等三角形的学问结合起来解：作 DEAB 于 E ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12 ,DECD在BDE 中C901.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结BED2290 , BEBDDE2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结RtACDRtAED
13、ACAE22在 RtABC 中,C90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB2AC 2BC 2 , AEEB 2AC4AC3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4.如图 RtABC ,C90AC3, BC4 ,分别以各边为直径作半圆,求阴影部分面积可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结CA B答案： 6题型三：实际问题中应用勾股定理例 5.如图有两棵树,一棵高8 cm,另一棵高 2 cm,两树相距 8 cm ,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢,至少飞了mAEDBC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
14、名师归纳总结分析：依据题意建立数学模型,如图AB8m , CD2 m , BC8 m ,过点 D 作 DEAB ,垂足为 E ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就 AE6 m , DE8 m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在 RtADE 中,由勾股定理得答案： 10 m2ADAE2DE10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型四：应用勾股定理逆定理,判定一个三角形是否是直角三角形例 6.已知三角形的三边长为a, b , c ,判定 ABC 是否为 Rt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a1.5 , b2 , c2.5 a5 , b
15、41, c23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：a 2b21.52226.25 , c22.526.25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ABC 是直角三角形且C90可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2222 bc213 , a 225 , bcaABC 不是直角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结916可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7.三边长为 a, b , c 满意 ab解：此三角形是直角三角形理由：22210 , ab18 , c2c 648 的三角形是什么外形？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
16、归纳总结abab2ab64 ,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 2b2c2所以此三角形是直角三角形可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结题型五：勾股定理与勾股定理的逆定理综合应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8.已知 ABC 中, AB证明：13 cm , BC10 cm , BC 边上的中线 AD12 cm,求证： ABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB DC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22222AD 为中线,BDDC5 cm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2在 ABD 中,ADBD169 , AB169ADBDAB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ADB90 ,AC 2AD 2DC 2169 , AC13 cm,ABAC可编辑资料 - - - 欢迎下载