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1、高中数学讲义之解析几何1 圆锥曲线第1 讲椭圆【知识要点】一、椭圆的定义1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点1F、2F的距离之和等于定长a2212FFa的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。注 1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和记作a2大于这两个定点之间的距离21FF记作c2 ，否则点的轨迹就不是一个椭圆。具体情形如下：当ca22时，点的轨迹是椭圆；当ca22时，点的轨迹是线段21FF；当ca22时，点的轨迹不存在。注 2： 假设用M表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为aMFMF221ca22，cFF221 ，即2121FFMFMF. 注 3：
2、但凡有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件：aMFMF221千万不可忘记。2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e10e的点的轨迹叫做椭圆。二、椭圆的标准方程（1）焦点在x轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222byax0ba ；（2）焦点在y轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222bxay0ba. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何2 注 1：假设题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x轴还是在y轴，主要看
3、长半轴跟谁走。长半轴跟x走，椭圆的焦点在x轴；长半轴跟y走，椭圆的焦点在y轴。（1）注 2： 求椭圆的方程通常采用待定系数法。假设题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为12222byax0ba或12222bxay0ba ；假设题目未指明椭圆的焦点究竟是在x轴上还是y轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为122nymx0m，0n，且nm . 三、椭圆的性质以标准方程12222byax0ba为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。（1）范围：axa，byb；（2）对称性：关于x轴、y轴轴对称，关于坐标原点中心对称；（3）顶点：左右顶点分别为)0,(1aA，)0,(2aA；上下顶点分别
4、为),0(1bB，),0(2bB；（4）长轴长为a2，短轴长为b2，焦距为c2；（5）长半轴a、短半轴b、半焦距c之间的关系为222cba；（6）准线方程：cax2；（7）焦准距：cb2；（8）离心率：ace且10e. e越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁；（9）焦半径：假设),(00yxP为椭圆12222byax在第一象限内一点，则由椭圆的第二定义，有01exaPF，02exaPF；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何3 （10）通径长：ab22. 注 1：椭圆的焦准距指的是椭圆的焦点到其相应准
5、线的距离。以椭圆的右焦点)0,(2cF和右准线l：cax2为例，可求得其焦准距为cbccacca2222. 注 2：椭圆的焦点弦指的是由过椭圆的某一焦点与该椭圆交于不同两点的直线所构成的弦。椭圆的通径指的是过椭圆的某一焦点且垂直于其对称轴的弦。通径是椭圆的所有焦点弦中最短的弦。设椭圆的方程为12222byax0ba ，过其焦点)0 ,(2cF且垂直于x轴的直线交该双曲线于A、B两点不妨令点A在x轴的上方 ，则),(2abcA，),(2abcB，于是该椭圆的通径长为abababAB2222)(. 四、关于椭圆的标准方程，需要注意的几个问题1关于椭圆的标准方程，最基本的两个问题是：其一，当题目已指
6、明曲线的位置特征，并给出了“特征值” 指a、b、c的值或它们之间的关系，由这个关系结合222bac，我们可以确定出a、b、c的值时，我们便能迅速准确地写出椭圆的标准方程；其二，当题目已给出椭圆的标准方程时，我们便能准确地判断出曲线的位置特征，并能得到a、b、c的值。（2）椭圆的标准方程中的参数a、b、c是椭圆所固有的，与坐标系的建立无关；a、b、c三者之间的关系：222bac必须牢固掌握。（3）求椭圆的标准方程，实质上是求椭圆的标准方程中的未知参数a、b。根据题目已知条件，我们列出以a、b为未知参数的两个方程，联立后便可确定出a、b的值。特别需要注意的是：假设题目中已经指明椭圆的焦点在x轴或y
7、轴上，则以a、b为未知参数的方程组只有一个解，即a、b只有一个值；假设题目未指明椭圆的焦点在哪个轴上，则以a、b精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何4 为未知参数的方程组应有两个解，即a、b应有两个值。（4）有时为方便解题，中心在坐标原点的椭圆的方程也可设为122nymx，但此时m、n必须满足条件：0m，0n，且nm. 五、点与椭圆的位置关系点),(00yxP与椭圆12222byax0ba的位置关系有以下三种情形：假设1220220byax，则点),(00yxP在椭圆上；假设1220220bya
8、x，则点),(00yxP在椭圆外；假设1220220byax，则点),(00yxP在椭圆内；【例题选讲】题型 1：椭圆定义的应用1. 平面内存在一动点M到两个定点1F、2F的距离之和为常数a2212FFa ，则点M的轨迹是A.圆B. 椭圆C. 线段D. 椭圆或线段解： 由题意知，21212FFaMFMF当212FFa时，点M的轨迹是椭圆；当212FFa时，点M的轨迹是线段21FF. 故点M的轨迹是椭圆或线段2. 已知圆C：36)1(22yx，点)0, 1(A，M是圆C上任意一点，线段AM的中垂线l和直线CM相交于点Q，则点Q的轨迹方程为_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名
9、师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何5 解： 圆C：36)1(22yx的圆心坐标为)0, 1 (C，半径6r连接QA，由l是直线AM的中垂线知，QAQM6rCMQCQMQCQA而2AC，ACQCQA于是点Q的轨迹是以)0 , 1(A，)0, 1(C为左右焦点的椭圆，其中62a，22c3a，1c，819222cab又该椭圆的中心为坐标原点故点Q的轨迹方程为18922yx3. 已知点)0 ,3(A，点Q是圆422yx上的一个动点，线段AQ的垂直平分线交圆的半径OQ于点P，当点Q在圆周上运动时，点P的轨迹方程为_. 解： 圆O：422yx的圆心坐标为)
10、0,0(O，半径2r连接PA，由l是直线AQ的垂直平分线知，PAPQ2rOQPQPOPAPO而3OA，OAPAPO于是点P的轨迹是以)0 ,0(O，)0,3(A为左右焦点的椭圆，其中22a，32c1a，23c，41431222cab又该椭圆的中心为OA的中点)23, 0()23,0(OA故点P的轨迹方程为141)23(22yx注： 此题点P的轨迹方程虽是椭圆，但该椭圆不关于坐标原点对称，而是关于点)0,23(对精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何6 称，其方程可由把椭圆14122yx沿x轴向右平
11、移了23个单位得到。4. 方程2222222yxyxyx表示的曲线是A. 椭圆B. 双曲线C. 抛物线D. 线段解： 由2222222yxyxyx，有1 ,02222)1()1(22yxyx这说明，点),(yxP到定点)1 , 1(F的距离与它到定直线l：02yx的距离之比等于常数221220 由 椭 圆 的 第 二 定 义 知 ， 点),(yxP的 轨 迹 是 椭 圆 ， 即 方 程2222222yxyxyx表示的曲线是椭圆。5. 椭圆131222yx的左、 右焦点分别为1F、2F，点P在椭圆上。 假设线段1PF的中点在y轴上，则1PF是2PF的A.7 倍B. 5 倍C. 4 倍D. 3 倍
12、解： 在椭圆131222yx中，9312,3,1222222bacba3,3,32cba于是)0,3(),0 ,3(21FF又线段1PF的中点在y轴上，而O是线段21FF的中点轴yPF2于是轴xPF2法一在12FPFRt中，2212221FFPFPF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何7 36944)(22212121cFFPFPFPFPF又由椭圆的定义，有34322221aPFPF33343621PFPF联立、得，237233341PF，23237342PF故72323721PFPF，即1PF
13、是2PF的 7 倍。法二2332322abPF，而34322221aPFPF23723341PF故72323721PFPF，即1PF是2PF的 7 倍。6. 设1F、2F为椭圆14922yx的两个焦点，P为椭圆上的一点。已知P，1F，2F是一个直角三角形的三个顶点，且21PFPF，则21PFPF=_. 解： 在椭圆14922yx中，549,4,922222bacba5, 2,3cba于是)0,5(1F，)0,5(2F当9021PFF时，2054422212221cFFPFPF又632221aPFPF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7
14、 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何8 8220362)()(222122121PFPFPFPFPFPF于是484364)()(21221221PFPFPFPFPFPF又21PFPF221PFPF联立、得，42261PF，2462PF于是此时22421PFPF当9012FPF时，2212221FFPFPF20544)(22212121cFFPFPFPFPF而632221aPFPF31062021PFPF联立、得，314628231061PF，3431462PF于是此时273431421PFPF故21PFPF的值为 2 或27题型 2：求椭圆的方程7. 1假设方程13522kykx表示椭圆，
15、则k的取值范围是_；2假设方程13522kykx表示焦点在x轴上的椭圆，则k的取值范围是_；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何9 3假设方程13522kykx表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是 _. 解： 1方程13522kykx表示椭圆5443350305kkkkkk或故当)5 ,4()4,3(k时，方程13522kykx表示椭圆。（2）方程13522kykx表示焦点在x轴上的椭圆43350305kkkkk故当)4,3(k时，方程13522kykx表示焦点在x轴上的椭圆。（3）方程13
16、522kykx表示焦点在y轴上的椭圆54530305kkkkk故当)5 ,4(k时，方程13522kykx表示焦点在y轴上的椭圆。8. 已知椭圆1422myx的焦距为2，则m=_. 解： 由题意知，22c1c于是1222cba当椭圆1422myx的焦点在x轴上时，42a，mb2于是由式，有314mm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何1 0当椭圆1422myx的焦点在y轴上时，ma2，42b于是由式，有514mm故m的值为 3 或 5 9. 已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3 倍，并且经
17、过点)0,3(P，则该椭圆的方程为 _. 解： 由题设条件知，baba3232当椭圆的焦点在x轴上时，设其方程为12222byax0ba则由该椭圆过点)0,3(P，有10922ba联立、得，92a，12b于是此时该椭圆的方程为1922yx当该椭圆的焦点在y轴上时，设其方程为12222bxay0ba则由该椭圆过点)0,3(P，有19022ba联立、得，92b，812a于是此时该椭圆的方程为198122xy故所求椭圆的方程为1922yx或198122xy10. 已知椭圆的中心在坐标原点、以坐标轴为对称轴， 且经过两点)1 ,6(1P，)2,3(2P，则椭圆的方程为_. 精选学习资料 - - - -
18、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何1 1解： 设所求椭圆的方程为122nymx0m，0n，且nm则由该椭圆过)1 ,6(1P，)2,3(2P两点，有12316nmnm，解得：3191nm故所求椭圆的方程为1319122yx，即13922yx. 11. 在平面直角坐标系xoy中，椭圆C的中心为坐标原点，焦点1F、2F在x轴上，离心率为22. 假设过1F的直线l交C于A、B两点，且2ABF的周长为16，那么C的方程为_. 解： 由椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，可设其方程为12222byax0ba162ABFC162
19、2AFBFAB而11AFBFAB162216)()(21212211aaAFAFBFBFAFBFAFBF， 即164a于是4a又22ace2242222ac于是8816222cab故椭圆C的方程为181622yx题型 3：椭圆的性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何1 212. 椭圆上的点到其一个焦点的距离的最小值为5， 最大值为 15， 则椭圆的方程为_. 解： 不妨设所求椭圆的方程为12222byax0ba设),(yxP是该椭圆上任意一点，)0,(cF是其一个焦点令sincosbyax，
20、20则2222222sincos2cos)0sin()cos(bcacabcaPF)sin1(cos2)sin(cossin)(cos2cos22222222222cacacacacacos)cos(coscos22222cacacaca又0ca，1 , 1coscoscoscacaPF于 是 当0， 即 点),(yxP为 椭 圆12222byax的 右 顶 点 时 ，PF取 得 最 小 值 ， 且caPFmin；当， 即点),(yxP为椭圆12222byax的左顶点时，PF取得最大值， 且caPFmax. 因而由题意，有510155cacaca7525100222cab故所求椭圆的方程为17
21、510022yx注： 由此题可见，椭圆的右左顶点到右左焦点的距离最小，到左右焦点的距离最大。以后在遇到相关问题时，这个结论可以直接用。13. 已知椭圆的中心在坐标原点，在x轴上的一个焦点F与短轴的两个端点1B、2B的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A的距离为510，则这个椭圆的方程为_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何1 3解： 由该椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，可设其方程为12222byax0ba设)0 ,(cF是该椭圆的右焦点，则与其较近的长轴的端点为)0,(aA于是
22、有510ca又),0(1bB，),0(2bB是该椭圆上的对称点，)0 ,(cF是该椭圆的右焦点FBFB21又FBFB2121FBB为等腰直角三角形，其中9021FBB于是有OFOB2，即cb又222cba222ca，即ca2，代入 ，得5c于是10a，5b故所求椭圆的方程为151022yx题型 4：与椭圆的焦点有关的三角形问题14. 设P是椭圆14522xy上的一点，1F、2F是该椭圆的两个焦点，且3021PFF，则21PFFS=_. 解： 在椭圆14522xy中，145,4,522222bacba1,2,5cba于是)1 ,0(1F，)1,0(2F在21PFF中，由余弦定理，有2122122
23、21212cosPFPFFFPFPFPFF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何1 4212122121222122121221224224422)(PFPFPFPFbPFPFPFPFcaPFPFFFPFPFPFPF2382212121212PFPFPFPFPFPFPFPFb于是)32(16)32)(32()32(16321621PFPF故348)32(421)32(1621sin21212121PFFPFPFSPFF15. 已知1F、2F分别为椭圆191622yx的左、右焦点，点P在该椭圆上
24、. 假设点P、1F、2F是一个直角三角形的三个顶点，则21FPF的面积为 _. 解： 在椭圆191622yx中，7916,9,1622222bacba7, 3, 4cba于是)0 ,7(1F，)0,7(2F当21FPFRt以点1F或2F为直角顶点时，4921abPF或4922abPF，而72221cFF7497249212121121FFPFSFPF或7497249212121221FFPFSFPF于是此时总有74921FPFS并且此种情形下，bxyxPPP3491699)1671(9)161(9,72即点)49,7(P在椭圆191622yx上，满足题意。精选学习资料 - - - - - -
25、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何1 5当21FPFRt以点P为直角顶点时，设),(00yxP则72221212121212100212121PFPFcPFPFFFPFPFyyFFPFPFSFPF又842221aPFPF，2874422212221cFFPFPF18236228642)()(222122121PFPFPFPFPFPF于是此时bPFPFy379721872210这说明，此种情形下，点),(00yxP在椭圆191622yx外，不满足题意。故21FPF的面积为74916. 已知1F、2F是椭圆在x轴上的两个焦点，P为椭
26、圆上一点，6021PFF. （1）求该椭圆离心率的取值范围；（2）求证：21PFF的面积只与该椭圆的短轴长有关. 解 1 ：由该椭圆的焦点在x轴上，可设其方程为12222byax0ba在21PFF中，由余弦定理，有212212221212cosPFPFFFPFPFPFF212122121222122121221224224422)(PFPFPFPFbPFPFPFPFcaPFPFFFPFPFPFPF21221212PFPFPFPFb22134bPFPF又222121)2(aPFPFPFPF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共
27、41 页高中数学讲义之解析几何1 62234ab而222cab222223431)(34caaca，即2241ac于是414122222aaace又10e121e故该椭圆离心率的取值范围是)1 ,21证 2 ：由 1知，22134bPFPF22212133233421sin2121bbPFFPFPFSPFF故21PFF的面积只与该椭圆的短轴长有关题型 5：椭圆中的最值问题17. 设1F是椭圆15922yx的左焦点，点P是椭圆上的一个动点，)1 , 1(A为定点，则1PFPA的最小值为 _. 解： 在椭圆15922yx中，92a，52b，459222bac2,5,3cba于是该椭圆的左右焦点分别
28、为)0, 2(1F，)0,2(2F622121aPFPFAFPAPF26)10()12(662221AFPFPA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何1 7故26min1PFPA18. 假设),(yxB满足1422yx0y ，则43xy的最大值、最小值分别为_. 解： 在椭圆1422yx0y中，42a，12b，314222bac3,1,2cba于是该椭圆的左右焦点分别为)0,3(1F，)0,3(2F43xy表示椭圆1422yx0y上的点),(yxP与定点)3 ,4(0P之间的连线的斜率令kxy4
29、3，则直线0PP的方程为)4(3xky，即kkxy43联立kkxyyx431422，得04)43(4)43(8)41(222kxkkxk令02634)43(4)41(4)43(82222kkkkkk则331k，331k舍去又2324030APk，这里)0, 2(A为椭圆1422yx0y的右顶点故23maxk，331mink，即43xy的最大值为23，最小值为33119. 在直线l：04yx上任取一点M，过点M且以椭圆1121622yx的焦点为焦点作椭圆，则点M的坐标为_时，所作的椭圆的长轴最短，此时该椭圆的方程为_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
30、- - - -第 17 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何1 8解： 在椭圆1121622yx中，162a，122b，41216222bac2,32,4cba于是该椭圆的左右焦点分别为)0, 2(1F，)0,2(2F要使过点M且以椭圆1121622yx的焦点为焦点所作的椭圆的长轴最短必须使21MFMF最小设)0,2(2F关于直线l：04yx的对称点为),(002yxF则由0420221) 1(200000yxxy，即06020000yxyx，得2400yx)2, 4(2F于是直线21FF的方程为)4(31)4()2(4022xxy，即023yx显然，使21MFMF取得最小值的点M即为直线2
31、1FF与直线l的交点联立04023yxyx，得2325yx)23,25(M此时10240)02()2(4222121min21FFMFMFMFMF101022aa，6410222cab故所求椭圆的方程为161022yx20. 假设点O和点F分别为椭圆13422yx的中心和左焦点，点P为椭圆上任意一点，则FPOP的最大值为 _，此时点P的坐标为 _. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何1 9解： 在椭圆13422yx中，134,3,422222bacba1,3,2cba于是)0, 1(F设),
32、(yxP则),(yxOP，), 1(yxFP，并且22x于是341)41(3)1(222222xxxxxyxxyxxFPOP，2 ,2x令341)(2xxxg，2,2x其对称轴为24121x函数)(xg在2,2上单调递增于是632241)2()(2maxgxg将2x代入方程13422yx中，得0y)0 ,2(P故FPOP的最大值为6，此时点P的坐标为)0,2(. 21. 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x轴上，离心率23e. 已知点)23,0(P到这个椭圆上一点的最远距离为7，则该椭圆的方程为_，该椭圆上到点P的距离为7的点的坐标是 _. 解： 由该椭圆的中心在坐标原点，长轴在x轴上，可设其方程
33、为12222byax0ba23ace精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何2 0224323acac， 而222bac222224143ababa，即224ba于是椭圆12222byax的方程可化为142222bybx设),(yxM是该椭圆上任意一点则493)1(4493)23()0(22222222yybybyyxyxPM4943322byy，byb令49433)(22byyyg，,bby其对称轴为21)3(23y当b21，即21b时，函数)(yg在,bb上单调递减此时，2222max)23(
34、49349433)()(bbbbbbbgyg于是72323)23(2maxbbbPM解得：21237b这显然与21b矛盾，因此此种情况不存在。当b21时，这显然与0b矛盾，因此此种情况不存在。当bb21，即21b时，函数)(yg在21, b上单调递增，在,21b上单调递减此时，344942343)21()(22maxbbgyg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何2 1于是7342m axbPM解得：1b，满足题意。由1b可知，所求椭圆的方程为1422yx将21y代入方程1422yx中，得：3)
35、411(4)21(1 42x于是椭圆上到点P的距离等于7的点有两个，分别是)21,3(，)21,3(故该椭圆的方程为1422yx，并且该椭圆上到点P的距离为7的点的坐标是)21,3(或)21,3(. 题型 6：椭圆的离心率计算问题22. 假设一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率为_. 解： 由a2，b2，c2成等差数列，有22222cabcab又03250325)2(2222222aaccaacccaca222cab0325)2(22222aacccaca式两边同时除以2a，得03252ee解得：53e或1e舍去故该椭圆的离心率53e23. 已知1F、2F是椭圆在x
36、轴上的两个焦点， 过1F且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，假设2ABF是正三角形，则这个椭圆的离心率是_. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何2 2解： 法一设正三角形2ABF的边长为t则tAF211，tAF2，tFF2321于是tttAFAFa2321221，tFFc23221ta43，tc43334343ttace故该椭圆的离心率33e法二2112212112212121sinsinsinsin2sin2sin222FAFFAFAFFFAFRFAFRAFFRAFAFFFacace
37、3332231212390sin30sin60sin，等式中的R2表示21FAF的外接圆的直径. 故该椭圆的离心率33e24. 过椭圆12222byax0ba的左焦点1F作x轴的垂线交椭圆于点P，2F为椭圆右焦点。假设6021PFF，则该椭圆的离心率为_. 解： 法一在21FPFRt中，12121tanPFFFPFFccPFFFFPF33232tan2121122121sinPFFFPFF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何2 3cccPFFFFPF33434232sin21212又aPFPF
38、221acacc2322334332于是33322ace故该椭圆的离心率为33法二在21FPFRt中，22121213232tanbacabcPFFFPFF而222cab032303232)(322222eecacaacca，即03232ee解得：33e或3e舍去故该椭圆的离心率为3325. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D，且FDBF2，则C的离心率为 _. 解： 法一不妨设椭圆C的焦点在x轴上，则其方程可设为12222byax0ba设),0(bB，)0,(cF，),(00yxD则),(bcBF，),(00ycxFD精选学习资料 - - - - - -
39、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何2 4于是由FDBF2，有bycxybcxc21232)(20000)21,23(bcD又点)21,23(bcD在椭圆12222byax上43411491414922222ebbac于是312e又10e33e故椭圆C的离心率为33法二不妨设椭圆C的焦点在x轴上设),0(bB，)0,(cF，),(00yxD则aaacbOFOBBF22222作轴yDD1于点1D则由FDBF2，有cOFDDBBFDDOF232332D11，即cx230又由椭圆的第二定义，有excaDF02acaacaccaacxc
40、aeDF23223)23()(222202又FDBF2222232322caacaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何2 5于是31322222ccace又10e33e故椭圆C的离心率为3326. 在平面直角坐标系xoy中，F是椭圆12222byax0ba的右焦点，直线2by与椭圆交于B、C两点，且90BFC，则该椭圆的离心率是_. 解： 在12222byax中，令2by，则ax23于是)2,23(baB，)2,23(baC而)0,(cF)2,23(bcaFB，)2,23(bcaFC又90B
41、FCFCFB于是04304143)2()23)(23(02222222cbacbabcacaFCFB又222cab2222223204)(3caccaa于是32222ace又10e故该椭圆的离心率3632e精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何2 627. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：12222byax0ba的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点，P为C上一点，且xPF轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E假设直线BM经过OE的中点G，则C的离心率为 _. 解： 由MFGO，有ca
42、aMFGOBFBOMFGOGOacaMF由EOMF，有acaEOMFAOAFEOMFGOacaGOacaEOacaMF22于是有cacacaGOacaGOaca3222故C的离心率313ccace法二直线l：)(0axky，即)(axky由cxM，得)()(cakackyM，所以)(cakMF由0Ex，得kaakyE)0(，所以kaEO由MFGO，有cacacaacakkaBFBOMFEOBFBOMFGO21)(2121cacaca322故C的离心率313ccace题型 7：与椭圆有关的综合问题28. 椭圆12322yx内有一点)1 , 1(P，一直线经过点P与椭圆交于1P、2P两点，弦21P
43、P被精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何2 7点P平分，则直线21PP的方程为 _. 解： 设),(111yxP，),(222yxP则1232121yx，1232222yx得，02)(3)(21212121yyyyxxxx又21PP的中点坐标为)1 , 1(P221xx，221yy代入得，)()(320)(22)(3221212121yyxxyyxx显然21xx于是由有，321322121xxyy，即3221PPk又直线21PP过其中点)1 , 1(P故直线21PP的方程为)1(321xy，即
44、3532xy29. 已知椭圆E：12222byax0ba的右焦点为)0, 3(F，过点F的直线l交椭圆E于A、B两点，假设AB的中点坐标为)1, 1 (C，则E的方程为 _. 解：椭圆E：12222byax0ba的右焦点为)0 ,3(F3c9222cba设),(11yxA，),(22yxB则1221221byax ，1222222byax精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何2 8- 得，0)()(2212122121byyyyaxxxx又AB的中点坐标为) 1, 1(C121xx，221yy代
45、入得，)(2)(20)(2)(2212212212212yybxxayybxxa显然21xx于是由有，2222212122abbaxxyy，即22abkAB又211310）（CFABkk2222221baab由、 得，182a，92b故椭圆E的方程为191822yx30. 如图，设P是圆2522yx上的一个动点， 点D是点P在x轴上的投影，M为PD上一点，且PDMD54. （1）当点P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；（2）求过点)0 ,3(且斜率为54的直线被C所截线段的长度. 解： 1设),(yxM，),(PPyxPP y x M D O 精选学习资料 - - - - - - - - -
46、 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何2 9则由题设条件知，yyxxyyxxPPPP4554而点P在圆2522yx上1162525162525)45(222222yxyxyx故点M的轨迹C的方程为1162522yx（2）过点)0 ,3(且斜率为54的直线的方程为51254)3(540 xxy，即51254xy点M的轨迹C的方程1162522yx可化为0400251622yx设直线与C的交点为),(11yxA，),(22yxB则直线被C所截线段的长度为AB联立512540400251622xyyx，得0832xx由韦达定理，有818313212
47、1xxxx于是)8(43)54(14)(1122212212212xxxxkxxkABABAB5414125414125161故过点)0,3(且斜率为54的直线被C所截线段的长度为54131. 已知椭圆1222yx，过原点的两条直线1l和2l分别与该椭圆交于点A、B和C、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何3 0D记得到的平行四边形ACBD的面积为S 1设),(11yxA，),(22yxC用A、C的坐标表示点C到直线1l的距离，并证明12212yxyxS；2设1l与2l的斜率之积为21，求面积
48、S的值解： 1在椭圆1222yx，即12122yx中，21211,21, 122222bacba当直线1l和2l的斜率均存在时，直线1l的方程为)(1111xxxyyy，即011yxxy于是点),(22yxC到直线1l：011yxxy的距离2121122121212121yxyxyxxyyxxyd又四边形ACBD为平行四边形故12212121122121212222122yxyxyxyxyxyxdOAdABdABSSABC当直线1l的斜率不存在此时1l即为y轴 ，直线2l的斜率存在时，此时点),(11yxA中，01x点),(22yxC到直线1l的距离2xd122122102222122yxyy
49、xxydABdABSSABC当直线2l的斜率不存在此时2l即为y轴 ，直线1l的斜率存在时，此时点),(22yxC中，02x点),(22yxC到直线1l的距离21212121212110yxyxxyyxyd121212121212121022222122yyxyxyxyxyxdOAdABdABSSABC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 30 页，共 41 页高中数学讲义之解析几何3 1故点C到直线1l的距离21211221yxyxyxd，平行四边形ACBD的面积12212yxyxS. （2）由直线1l与2l的斜率之积为21可知，直线1
50、l、2l的斜率均存在，且均不为零不妨设直线1l的斜率为k则直线1l的方程为kxy，并且直线2l的斜率为k21于是直线2l的方程为xky21联立kxyyx1222得1)12(22xk解得：121221kx联立xkyyx211222得2222) 12(kxk解得：1222222kkx又由 1知12212yxyxS故212212112211221212222)()21(22xxkkxkxkxxkxxxkxyxyxS21221212212112121222222222212212kkkkkkkkkxxkkxxkk32. 已知椭圆E：12222byax0ba的半焦距为c，原点O到经过两点)0 ,(c，)