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1、数据结构时间复杂度的计算for(i=1;i=n;i+) for(j=1;j=i;j+) for(k=1;k=j;k+) x+; 它的时间复杂度是多少？自己计算了一下，数学公式忘得差不多了，郁闷；（1）时间复杂性是什么？时间复杂性就是原子操作数，最里面的循环每次执行j 次，中间循环每次执行ai=1+2+3+.+i=i*(i+1)/2次，所以总的时间复杂性=a1+.+ai+.+an; a1+.+ai+.+an =1+(1+2)+(1+2+3)+.+(1+2+3+.+n) =1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+.+n*(n-(n-1) =n+2n+3n+.+n*n-(2*1+3*2+4*3+.+
2、n*(n-1) =n(1+2+.+n)-(2*(2-1)+3*(3-1)+4*(4-1)+.+n*(n-1) =n(n(n+1)/2-(2*2+3*3+.+n*n)-(2+3+4+.+n) =n(n(n+1)/2-(1*1+2*2+3*3+.+n*n)-(1+2+3+4+.+n) =n(n(n+1)/2-n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2 所以最后结果是O(n3)。【转】时间复杂度的计算算法复杂度是在 数据结构 这门课程的第一章里出现的，因为它稍微涉及到一些数学问题，所以很多同学感觉很难，加上这个概念也不是那么具体，更让许多同学复习起来无从下手，下面我们就这个问题给各位同学进行分析
3、。首先了解一下几个概念。一个是时间复杂度，一个是渐近时间复杂度。前者是某个算法的时间耗费， 它是该算法所求解问题规模n 的函数， 而后者是指当问题规模趋向无穷大时，该算法时间复杂度的数量级。当我们评价一个算法的时间性能时，主要标准就是算法的渐近时间复杂度，因此， 在算法分析时，往往对两者不予区分，经常是将渐近时间复杂度T(n)=O(f(n) 简称为时间复杂度，其中的 f(n) 一般是算法中频度最大的语句频度。此外， 算法中语句的频度不仅与问题规模有关，还与输入实例中各元素的取值相关。但是我们总是考虑在最坏的情况下的时间复杂度。以保证算法的运行时间不会比它更长。常见的时间复杂度，按数量级递增排列
4、依次为：常数阶 O(1) 、 对数阶 O(log2n) 、 线性阶 O(n)、线性对数阶O(nlog2n) 、平方阶O(n2)、立方阶O(n3)、 k 次方阶 O(nk) 、指数阶O(2n) 。下面我们通过例子加以说明，让大家碰到问题时知道如何去解决。1 、 设 三 个 函 数f,g,h分 别 为f(n)=100n3+n2+1000 , g(n)=25n3+5000n2 , h(n)=n1.5+5000nlgn 请判断下列关系是否成立：（1） f(n)=O(g(n) （2） g(n)=O(f(n) （3） h(n)=O(n1.5) （4） h(n)=O(nlgn) 名师资料总结 - - -精品
5、资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 这里我们复习一下渐近时间复杂度的表示法T(n)=O(f(n) ，这里的 O是数学符号， 它的严格定义是 若 T(n)和 f(n)是定义在正整数集合上的两个函数，则 T(n)=O(f(n) 表示存在正的常数C 和 n0 ,使得当 n n0 时都满足0 T(n) C?f(n)。 用容易理解的话说就是这两个函数当整型自变量 n 趋向于无穷大时，两者的比值是一个不等于0 的常数。这么一来，就好计算了吧。 (1)成立。
6、题中由于两个函数的最高次项都是n3,因此当n时，两个函数的比值是一个常数，所以这个关系式是成立的。 （2）成立。与上同理。 （3）成立。与上同理。 （4）不成立。 由于当 n时 n1.5 比 nlgn 递增的快， 所以 h(n)与 nlgn 的比值不是常数，故不成立。2、设 n 为正整数，利用大O记号，将下列程序段的执行时间表示为n 的函数。(1) i=1; k=0 while(i1 while (x=(y+1)*(y+1) y+; 解答： T(n)=n1/2，T(n)=O(n1/2)，最坏的情况是y=0，那么循环的次数是n1/2次，这是一个按平方根阶递增的函数。(3) x=91; y=100
7、; while(y0) if(x100) x=x-10;y-; else x+; 解答：T(n)=O(1) ，这个程序看起来有点吓人，总共循环运行了1000 次，但是我们看到n没有 ? 没。这段程序的运行是和n 无关的，就算它再循环一万年，我们也不管他，只是一个常数阶的函数。- 1.1 大 O 表示法上学的时候就学习了大O 表示法表示一个算法的效率，也大概明白怎么回事，知道如果没有循环的一段程序的复杂度是常数，一层循环的复杂度是O(n),两层循环的复杂度是O(n2)? （我用 2 表示平方，同理3 表示立方）。但是一直对于严格的定义和用法稀里糊涂。1.1.1 定义设一个程序的时间复杂度用一个函
8、数T(n) 来表示，对于一个查找算法，如下：int seqsearch( int a, const int n, const int x) int i = 0; for (; ai != x & i n ; i+ ); if ( i = n) return -1; else return i; 这个程序是将输入的数值顺序地与数组中地元素逐个比较，找出与之相等地元素。在第一个元素就找到需要比较一次，在第二个元素找到需要比较2次，在第 n 个元名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
9、第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - 素找到需要比较n 次。对于有 n 个元素的数组， 如果每个元素被找到的概率相等，那么查找成功的平均比较次数为: f(n) = 1/n (n + (n-1) + (n-2) + . + 1) = (n+1)/2 = O(n) 这就是传说中的大O 函数的原始定义。1.1.2 用大 O 来表述要全面分析一个算法，需要考虑算法在最坏和最好的情况下的时间代价，和在平均情况下的时间代价。对于最坏情况，采用大O 表示法的一般提法（注意，这里用的是“ 一般提法 ” ）是：当且仅当存在正整数c 和 n0,使得T(n) = n0 都成立。则称该算法的渐进
10、时间复杂度为T(n) = O(f(n) 。这个应该是高等数学里面的第一章极限里面的知识。这里 f(n) = (n+1)/2, 那么 c * f(n) 也就是一个一次函数。对于对数级，我们用大O 记法记为O(log2N)就可以了。1.1.3 加法规则T(n,m) = T1(n) + T2(n) = O ( max (f(n), g(m) ) 1.1.4 乘法规则T(n,m) = T1(n) * T2(m) = O (f(n) * g(m) 1.1.5 一个特例在大 O 表示法里面有一个特例，如果T1(n) O(c)， c 是一个与n 无关的任意常数，T2(n) = O ( f(n) ) 则有T(
11、n) = T1(n) * T2(n) = O ( c*f(n) ) = O( f(n) ). 也就是说， 在大 O 表示法中，任何非0 正常数都属于同一数量级，记为O(1)。1.1.6 一个经验规则有如下复杂度关系c log2N n n * Log2N n2 n3 2n 3n n! 其中 c 是一个常量，如果一个算法的复杂度为c 、 log2N 、n 、 n*log2N ,那么这个算法时间效率比较高，如果是2n , 3n ,n! ，那么稍微大一些的n 就会令这个算法不能动了，居于中间的几个则差强人意。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -