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1、数学模型与数学建模 前 言 数学模型是架于数学与实际问题之间的桥梁。从牛顿的万有引力定律、麦克斯韦电磁波理论、到爱因斯坦的广义相对论、人类基因的DNA分析，科学技术的发展无时无刻不留下数学模型的印记，并且一再表明“一门科学只有成功地运用数学时, 才算达到完善的地步”。这不仅是因为“自然科学真理的本质是通过数学概念表达的”，而且更主要的是由于数学学科的特征所决定的。 数学的学科特征 1. 思维的抽象性：数学抽象 : 只保留量的关系和空间形式; 不仅概念，而且方法也是抽象的、2. 推理的严谨性：科学证明依赖于观察、试验和理解力；数学证明依靠逻辑、计算和推理。这种严谨使得数学成为刻画自然的真理。 3
2、. 应用的广泛性 : “宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之迷、日用之繁、 数学无处不在， 凡是出现 量的地方就少不了数学。” （华罗庚） 凡是出现 “量”、 “形”、“关系”的地方都少不了数学。 数学建模就是应用数学解决实际问题。回顾数学自身的发展，我们看到数学的实际应用和理性探索构成数学发展的两个互不可缺的原动力。 从古到今，数学的发展大致可以分为4 个主要阶段。 1初等数学时期 (-5-17世纪) 由于人类生产实践需要，在希腊, 中国，印度 , 欧洲建立和发展的算术、几何、代数、 三角等初等数学的主要分支构成了现在中学数学基本内容。但是，只是在古希腊数学才形成为一门科
3、学；欧几里德的几何原本代表典型的数学思维的方式。古希腊人对宇宙的态度与其它古代文化是不同的，他们敢于直视宇宙，并追寻其究竟。他们所关心的并不是数学的实用性，而是为了认识宇宙，追求真理。希腊人这种不讲实用，为理论而理论的追求，为科学的发展开辟了无限的空间。 2变量数学时期 (17-19世纪初 ) 进入机器化的大工业时期，对运动的研究成为自然科学的中心问题。1637年笛卡尔的几何学奠定了解析几何的基础，从此变量进入了数学，运动进入了数学。17世纪后半叶牛顿、莱布尼兹建立了微积分。为实用需要还产生了研究随机现象的数学方法- 概率论。同时，数学的基础理论得到发展， 1870年康托尔建立的集合论的一般思
4、想渗透到数学的所有部门。 3近代数学时期 (19世纪初 -20 世纪中 ) 为填补数学基础的裂痕，柯西、波尔查诺、维尔斯特拉斯、戴特金等人的工作精确化分析基础，同时导致了实变函数、函数逼近论、微分方程定性理论、积分方程、泛函分析等新的数学分支的产生。纯粹的由于美的和哲学的追求，罗巴切夫斯基建立了非欧几里德几何，被视为现代数学的实际起点。数学进入“自由创造”时期：黎曼等人发展了黎曼空间, 伽罗瓦等人建立的现代代数，将对物质世界的空间形式的几何研究方法推广到对现实世界的其它形式的研究。1900 年希尔伯特分析当时数学的现状提出的23 个问题对20 世纪数学的发展起了巨大的推动作用。所有这一时期的数
5、学取的巨大的发展，正如克莱因指出的 进行数学创造的最主要的策动力是对美的追求 。 这种对美的追求，不仅表现在理性探索上，而且反映在数学应用上。克莱因同时也指出“研究数学最明显的，尽管不一定是最重要的是为了解决社会需要而直接提出的问题”。20 世纪初数学物理、 数理逻辑、 运筹学、 图论、计算机科学的应用数学分支得到飞速的发展。 希尔伯特、康托罗维奇、冯 . 诺伊曼、图灵等都是应用数学家的杰出代表，他们通晓自然科学与数学。 这种情况标志着一个趋势：科学的数学化。 4. 当前数学发展的新趋势 (20世纪中以来 ) 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - -
6、 - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 4 页 - - - - - - - - - 复杂性：从单变量到多变量，从低维到高维、从线性到非线性、从局部到整体、从连续到间断、从稳定到分岔、从精确到模糊。 计算机的发展和普及，数字化时代到来，通过计算机模拟进行无损害的科学实验，产生新的数学研究方法：数学试验。 特点之一，数学科学已经从传统的自然科学和工程技术的基础深入到现代社会与经济发展的各个领域，逐渐成为它们不可缺少的支柱之一。例如，天气预报、电子商务、电子政务、股市彩票、 指纹和人脸识别、密码编制与破译、医学 CT成象、 数码电子产品、GPS全球定位
7、系统、地理信息系统等等。 特点之二，数学已经开始大步地从科学技术的幕后直接走到前台，成为大众熟悉的知识，成为一种关键性的，普遍的，能够实行的技术。在经济发展和社会进步的第一线发挥它的作用。“最显著的变化是在技术领域。随着计算机的发展，数学渗入各行各业，并且物化到各种先进设备之中。从卫星到核电站，从天气预报到家用电器，高技术的高精度、高速度、高自动、高安全、高质量、高效率等特点，无不是通过数学模型和数学方法并借助计算机的计算控制来实现的。总之，数学已经不仅是支撑别的科学的幕后英雄，也是直接活跃在技术革命第一线，成为屡建奇功的方面军。 ” （姜伯驹） 现在数学应用不再只是数学家的工作，数学知识的应
8、用不仅反映了公民的数学修养，而且影响到国家的科技综合实力。但是， 数学教育是否满足社会对数学的需求？早在1944 年数学家库朗在什么是数学一文中指出：两千年来掌握数学知识已被视为每个受教育者必须具备的智力，数学在教育中这种特殊的地位今天出现了严重的危机。不幸的是数学教育工作者应对此负责，数学教学逐渐地流于无意义的单纯的演算习题的训练。固然这可以发展演算能力，但无助于学生对数学的真正理解，无助于提高独立思考的能力。忽视应用、忽视数学同其它学科的联系，这种情况丝毫不能说明完全形式化方法的正确性。相反的在正视智力培养的人们当中，必然激起强烈的反感。事隔近半个世纪，1995年 ICMI 秘书长 M.N
9、iss又提到，我们要求学生学习数学有许多理由：为了学习日常生活的实际技能，为了理解公众政策的定量描述，为了掌握解决问题的技巧，以及为了求职作准备。这些目的没有一个是达到了的。实际上我们不但面临着缺少具备适合于科学技术工作的数学准备的人员，而且就一般公众的数学读写能力的水平来说，对于达到无论是我们个人的还是国家的抱负都完全是不够的。 数学模型与数学建模课程的设置就是现代数学教育改革的一个措施，改变传统的数学教学模式： 烧中段 + 应用题 ， 不仅要掌握数学理论的内容、具备逻辑推理和复杂计算的能力（鱼中段） ，而且要学习如何从实际问题中构造数学问题（鱼头），以及如何将数学分析的结果运用于解决实际问
10、题（鱼尾） 。这个改革绝不仅仅为了数学知识的应用。我们必须重视数学的教育特征： 1. 数学是理性的音乐 , 是锻炼思想的体操。“数学除了锻炼敏锐的理解力、发现真理以外，它还有另一个训练全面考虑科学系统的头脑的开发功能。 2. 数学是科学的伙伴。数学为科学家组织和构造知识提供方法。 3. 数学是一种关键性的、普遍的、能够实行的技术。数学是打开机会大门的钥匙。现在数学不再只是科学的语言，它也以直接的和基本的方式为商业、财政、健康和国防作出贡献。 当前大学数学教学的改革特点： 1. 数学素养成为大学生的基本素质， 2. 数学课将要成为大学生必须学习的课程， 3. 在加强基础的前提下突出数学学习中的实
11、践环节和数学的应用特征，开设了数学模型课和数学实验课，举办了大学生数学建模竞赛。 大学生数学建模竞赛宗旨: 开拓知识面、提高应用能力、培养创造精神、 增强合作意识。 大学生数学建模竞赛时间：九月底竞赛，竞赛方式：三人一队，赛三天；两个实际问题，选一题；研究、计算、解决，完成一篇论文。 例：1996全国大学生数学建模竞赛试题B 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 4 页 - - - - - - - - - 目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水非常重要。放入衣物和
12、洗涤剂后，洗衣机的运行过程为加水 - 漂洗- 脱水- - - 脱水，称加水 - 漂洗- 脱水为运行一轮。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮，每轮加水量等），使得在满足一定的洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行计算。对照目前常用洗衣机的运行情况，对你的模型和结果做出评价。 2005 MCM Problems A: Flood Planning Lake Murray in central South Carolina is formed by a large earthen dam, which was completed in 1930 for power productio
13、n. Model the flooding downstream in the event there is a catastrophic earthquake that breaches the dam. Two particular questions: Rawls Creek is a year-round stream that flows into the Saluda River a short distance downriver from the dam. How much flooding will occur in Rawls？ Creek from a dam failu
14、re, and how far back will it extend? Could the flood be so massive downstream that water would reach up to the S.C. State Capitol Building, which is on a hill overlooking the Congaree River？ 数学建模竞赛问题的特点问题的叙述：原始、粗糙、不规范。问题的假设：问题的研究手段。 问题的分析：正确的推理，对实际的理解。 问题的标准：接受实践的检验、与实际差异不大或为解决实际问题给出可信的解答。 问题的答案：不确定
15、、不封闭。 中学数学教学也正在改革，增加了数学建模的教学内容，增加了研究性学习的教学环节；高考应用题的命题正在改革，开展了中学生数学知识应用竞赛。北京高中数学知识应用竞赛方式：两开一闭：初赛开卷，决赛闭卷，论文开卷。竞赛特点：应用数学知识解决生活中的一个实际问题并写成一篇论文，可能获奖的论文由专家进行答辩。 竞赛题目特点： 1. 问题来自生活的实际，尽量少加工，保持原汁原味。 2. 以解决问题为中心，不以数学知识的训练和考核为重点。 3. 问题的提法在数学上不一定规范，问题提供的条件不一定充分必要，问题的结论不一定唯一确定。 下面的获奖论文题目反映了中学生的创造力，以及生活中的数学。 z探索最
16、合理的飞镖靶盘； z关于节约家用天然气问题的数学分析； z复兴门地铁站旅客流通情况及优化方案； z引用数学方法变Pizza 店完全被动式管理为主动式管理； z从拼图游戏到人类基因组计划； z如何改进文章的语言风格； z桥梁建设中钢筋的数字化； z关于什刹海鱼类资源的调查； z网上购书- 你想不想要便宜的好书； z如何使防护林达到最佳防护效果； z保安寻更路线方案及软件流程设计。 关于数学模型课的教学，我们强调以下几点。 1. 数学中的应用统计、运筹、图论、方程等课程中有大量的数学模型，数学模型课程仅是传统数学课的补充。 2. 采用案例教学， 重点讲解如何从实际问题中提出数学模型以及如何通过数学
17、模型解决实际名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 4 页 - - - - - - - - - 问题，而非介绍模型中的数学。 3. 课程内容活泼 , 信息量大 , 适合多媒体教学和网络联系。考试形式： 写论文。 4. 学好数学建模重在参与，根据需要主动查阅参考书123和网上资料。通过数学建模的学习和实践 , 发现数学知识的不足 , 发现数学思考方法的不足，激励对数学学习和研究的积极性和主动性。 参考书 1W. F. Lucas, Modules in Applied Mathematics, Vol(14), Springer Verlag,1983. I. 微分方程模型， II. 政治及其有关模型， III. 离散与系统模型， IV. 生命科学模型 2 姜启源， 数学模型，高教出版社。2004 3 叶其孝，大学生数学建模竞赛辅导教材，湖南教育出版社，（14） ，1999。 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 4 页 - - - - - - - - -