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1、高三最新模拟试题分类汇编（含 9 区一模及上学期期末试题精选）专题：立体几何一、选择题1 （2013 届北京大兴区一模理科）已知平面,，直线nm,，下列命题中不正确 的是（）A若m，m，则B若mn，m，则nC若m，n，则mnD若m，m，则2 （2013 届北京海滨一模理科）设123, ,l ll为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6 的直线 . 给出下列三个结论：iiAl (1,2,3)i，使得123A A A是直角三角形；iiAl (1,2,3)i，使得123A A A是等边三角形；三条直线上存在四点(1,2,3,4)iAi，使得四面体1234A A A A为在一个顶点处的三条棱
2、两两互相垂直的四面体 . 其中，所有正确结论的序号是（）ABCD3 （2013 届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A2B22C3D324 （2013 届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A63B123C122 3D242 35 （2013 届北京西城区一模理科）如图，正方体1111ABCDABC D中，P为底面ABCD上的动点，1PEAC于E，且PAPE，则点P的轨迹是（）A线段B圆弧C椭圆的一部分D抛物线的一部分（7题图）精选学习资料 - - - - - - - -
3、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 39 页6 （2013 届房山区一模理科数学）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）A4 3B 8C4 737 （2013 届门头沟区一模理科）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）A21B13C65D18 （北京市东城区普通高中示范校2013 届高三 3 月联考综合练习（二）数学（理）试题）已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（）ABCD9 （北京市东城区普通校2013 届高三 3月联考数学 （理）试题） 平面平面的一个充分条件是 （）A存在一
4、条直线aa，B存在一条直线aaa，C存在两条平行直线ababab， ，D存在两条异面直线ababab， ，10 （北京市海淀区北师特学校2013 届高三第四次月考理科数学）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为5，则该几何体的体积是（）A43B2C83D103正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图主视图1 左视图1 俯视图1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 39 页11 （北京市西城区2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）某四
5、面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A2 5B2 6C2 7D4 212 （北京市通州区2013 届高三上学期期末考试理科数学试题）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（）A164 2B124 2C84 2D44 213 （北京市丰台区2013 届高三上学期期末考试数学理试题）如图，某三棱锥的三视图都是直角边为2222正（主）视图侧（左）视图俯视图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 39 页的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）A3B2 3C1 D2 14 （北京市昌平区20
6、13 届高三上学期期末考试数学理试题）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（）A104 34 2B102 34 2C142 34 2D144 34 215 （ 【解析】北京市朝阳区2013 届高三上学期期末考试数学理试题）已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）A34B32C34D116（ 【解析】北京市朝阳区2013 届高三上学期期末考试数学理试题） 在棱长为1 的正方体1111ABCDABC D中，点1P，2P分别是线段AB，1BD（不包括端点）上的动点，且线段12P P平行于平面11A ADD，则精
7、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 39 页四面体121PP AB的体积的最大值是（）A124B112C16D1217 （ 【解析】北京市石景山区2013 届高三上学期期末考试数学理试题）设,m n是不同的直线，,是不同的平面，下列命题中正确的是（）A若/ /,mnmn，则B若/ /,mnmn，则/ /C若/ /,/ /mnmn，则D若/ /,/ /mnmn，则/ /18 （ 【解析】北京市石景山区2013 届高三上学期期末考试数学理试题）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）A38B4C2D3419 （北京市房山区2
8、013 届高三上学期期末考试数学理试题）若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（）A3C63二、填空题20 （2013 届北京丰台区一模理科）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_. 21 （北京市东城区2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积正（主）视图侧（左）视图俯视图2 2 3 2 3 1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 39 页为22 （ 【解析】北京市海淀区2013 届高三上学期期末考试数学理试题）三棱锥DABC及其三视图
9、中的主视图和左视图如图所示，则棱BD的长为 _. 23 （ 【解析】北京市海淀区2013 届高三上学期期末考试数学理试题）已知正方体1111ABCDA B C D 的棱长为1，动点P在正方体1111ABCDA B C D 表面上运动，且PAr（03r） ，记点P的轨迹的长度为( )f r ，则1( )2f_; 关于 r 的方程( )f rk 的解的个数可以为_. （填上所有可能的值） . 三、解答题24 （2013 届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ABCD是等边三角形，D是BC的中点（）求证：A1B/ 平面ADC1；（）若AB=BB1=2，求A1D与平面AC1D所成角
10、的正弦值25 （2013 届北京丰台区一模理科）如图， 四边形 ABCD 是边长为2 的正方形，MD 平面 ABCD ，NB MD ，且 NB=1 ， MD=2 ；（）求证： AM 平面 BCN; NCDABME精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 39 页（）求AN与平面 MNC 所成角的正弦值；（） E为直线 MN上一点，且平面ADE平面 MNC ，求MEMN的值 . .26（ 2013 届北京海滨一模理科）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ABC是正三角形，AC与BD的交点M恰好是AC中点，又4PAAB，120CD
11、A，点N在线段PB上，且2PN（）求证：BDPC；（）求证：/ /MN平面PDC; （）求二面角APCB的余弦值ABCDP的 底 面27 （2013 届北京市延庆县一模数学理）如图，四棱锥ABCD为菱形，60ABC，侧面PAB是边长为 2 的正三角形，侧面PAB底面ABCD. ( ) 设AB的中点为Q，求证：PQ平面ABCD；（）求斜线PD与平面ABCD所成角的正弦值；（）在侧棱PC上存在一点M，使得二面角CBDM的大小为60，求CPCM的值 . 28 （2013 届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB/CD，BCAB2，60ABC，ACFB
12、（）求证：AC平面FBC；（）求BC与平面EAC所成角的正弦值；（）线段ED上是否存在点Q，使平面EAC平面QBC？证明你的结论MDCBAPNPQABCDM精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 39 页29 （2013 届东城区一模理科）如图，已知ACDE是直角梯形，且/EDAC，平面ACDE平面ABC，90BACACD，ABACAE2，12EDAB，P是BC的中点（）求证：/DP平面EAB；（） 求平面EBD与平面ABC所成锐二面角大 小 的 余 弦值30 （ 2013 届房山区一模理科数学）在四棱锥PABC D中 ， 侧
13、面PAD 底 面 ABCD，ABCD 为 直 角 梯 形 ，BC /AD，90ADC，112BCCDAD，PAPD，E F,为 AD PC,的中点（）求证：PA/ 平面BEF；（）若PC与AB所成角为45，求PE的长；（）在（）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值31 （2013 届门头沟区一模理科）在等腰梯形ABCD中，/ /ADBC ，12ADBC，60ABC，N是BC的中点将梯形ABCD绕AB旋转90，得到梯形ABC D（如图）（）求证：AC平面 ABC ；（）求证：/ /C N平面ADD；（）求二面角AC NC 的余弦值32 （北京市东城区普通高中示范校2013 届高三 3 月联考综
14、合练习（二）数学（理）试题）( 本小题满分13分) 在四棱锥ABCDP中，底面ABCD为矩形，ABCDPD底面，1AB，2BC，3PD，FG、分别为CDAP、的中点（1）求证：PCAD；（2）求证：/FG平面BCP；（ 3）线段AD上是否存在一点R，使得平面BPR平面PCB，若存在，求出AR的长；若不存在，请说明理由DFECBAPA C D B N DCFGPDC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 39 页33 （北京市东城区普通校2013 届高三 3 月联考数学（理）试题）已知几何体ABCED的三视图如图所示，其中俯视图和
15、侧视图都是腰长为4 的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（）求此几何体的体积V的大小 ; （）求异面直线DE与 AB所成角的余弦值；（）试探究在棱DE上是否存在点Q，使得AQBQ ，若存在，求出DQ的长，不存在说明理由. 34 （北京市东城区2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）如图， 在菱形ABCD中，60DAB，E是AB的中点，MA平面ABCD，且在矩形ADNM中，2AD，3 77AM（）求证：ACBN；（）求证：AN / 平面MEC；（）求二面角MECD的大小 . 侧视图俯视图正视图1444A B C D E N M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
16、 - - - - - -第 9 页，共 39 页35（北京市海淀区北师特学校2013 届高三第四次月考理科数学）如图所示，正方形DDAA11与矩形ABCD所在平面互相垂直，22ADAB, 点 E为AB的中点。（）求证：DEABD11/平面( ) 求证：DAED11（ ） 在 线 段AB 上 是 否 存 在 点M， 使 二 面 角DMCD1的大小为6？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由。36 （北京市西城区2013 届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，四棱锥ABCDP中，底面ABCD为正方形，PDPA，PA平面PDC，E为棱PD的中点（）求证：PB/ 平面EAC；（）求证：平面PAD
17、平面ABCD；（）求二面角BACE的余弦值37 （北京市通州区2013 届高三上学期期末考试理科数学试题）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1底面ABC，AC=BC=2，2 2AB，CC1=4，M是棱CC1上一点（）求证：BCAM；（）若N是AB上一点，且1ANCMABCC，求证：CN / 平面AB1M；（）若52CM，求二面角A-MB1-C的大小D1EBDCAA1ABCA1B1C1MN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 39 页OFEDCBAA1B1E C B D1C1A D 38 （北京市丰台区2013 届高三
18、上学期期末考试数学理试题）如图，在三棱锥P-ABC中，PA=PB=AB=2，3BC，90ABC, 平面PAB平 面ABC，D、E分别为AB 、AC中点 . （）求证：DE 平面PBC; （）求证：ABPE；（）求二面角A-PB-E 的大小 . 39 （北京市昌平区2013 届高三上学期期末考试数学理试题） （本小题满分14 分）在四棱锥EABCD-中，底面ABCD是正方形，,ACBDO与交于点ECABCDF底面，为BE的中点 . （）求证：DE平面ACF；（）求证：BDAE；（）若2,ABCE=在线段EO上是否存在点G，使CGBDE平面？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由40 （
19、【解析】北京市朝阳区2013 届高三上学期期末考试数学理试题）在长方体1111ABCD-ABC D中，12AA =AD=，点E在棱CD上，且13CE=CD（）求证：1AD平面11AB D；（）在棱1AA上是否存在点P，使DP平面1B AE？EDABCP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 39 页若存在，求出线段AP的长；若不存在，请说明理由；（）若二面角11A-B E-A的余弦值为306，求棱AB的长41 （ 【解析】北京市海淀区2013 届高三上学期期末考试数学理试题）如图，在直三棱柱111ABCA BC中，90BAC，
20、12,ABACAAE是BC中点 . （I ）求证：1/ /A B平面1AEC；（II ）若棱1AA上存在一点M，满足11B MC E，求AM的长；（）求平面1AEC与平面11ABB A所成锐二面角的余弦值. EC1B1A1CBA42（ 【解析】北京市石景山区2013 届高三上学期期末考试数学理试题） 如图 1， 在 RtABC中，90C，36BCAC，D 、E分别是ACAB、上的点，且/ /DEBC，将ADE沿DE折起到1A DE的位置，使1A DCD，如图 2（）求证：BC平面1A DC；（）若2CD，求BE与平面1A BC所成角的正弦值；（）当D点在何处时，1AB的长度最小，并求出最小值精
21、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 39 页43 （ 北 京 市 房 山 区2013 届 高 三 上 学 期 期 末 考 试 数 学 理 试 题） （ 本 小 题 满 分14 分 ） 在 长 方 体1111ABCDABC D中，1ABBC，12AA，E为1BB中点 . （）证明：1ACD E；（）求DE与平面1AD E所成角的正弦值；（）在棱AD上是否存在一点P，使得BP平面1AD E？若存在，求DP的长；若不存在，说明理由. A B C D E 图 1 图 2 A1B C D E D1C1B1A1EDCBA精选学习资料 -
22、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 39 页北京 2013 届高三最新模拟试题分类汇编（含9 区一模及上学期期末试题精选）专题：立体几何参考答案一、选择题1. C 2. B 3. D 4. C 5. A 6. C 7. C 8. C 9. D 10. 【答案】 A 【解析】由三视图可知，该几何体上部分是一个圆锥，下部分是个半球，球半径为1，圆锥的高为2(5)142h，所以圆锥的体积为12233，半球的体积为23，所以几何体的总体积为224333，选 A. 11. 【答案】 C 解：由三视图可知该四面体为VABC,其中2ECCB,2 3AE
23、,2VC,AEBE VCABE. 所 以 六 条 棱 中 ， 最 大 的 为VA或 者AB.22222(2 3)216ACAEEC,所以22221 622 0V AA CV C， 此 时2 025VA。22222(2 3)428ABAEEB, 所以282 72 5AB，所以棱长最大的为2 7，选 C. 12. 【答案】 B 【 解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为 2，所以该几何体的底面积为122242，侧面积为(222 2)284 2，所以表面积为84 24124 2，选 B. 13. 【答案】 A 精选学习资料 - - - - - - -
24、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 39 页解 ： 由 三 视 图 可 知 ， 该 几 何 体 是 一 个 三 棱 锥 ， 三 棱 锥 的 三 个 侧 面 都 是 等 腰 直 角 三 角 形 ，, 所以四个面中面积最大的为BCD，且BCD是边长为为2 的正三角形，所以1322322BCDS，选 A. 14. 【答案】 B 解：根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥其中ABCD是直 角 梯 形 ， AB AD，AB=AD=2， BC=4， 即PA 平 面ABCD ， PA=2。 且2 2CD, ，2 2PD,2 2PB,2
25、6PC,底面梯形的面积为(24)262，12222PABS,12222PADS,12 24422PBCS, 侧面三角形DPC中的高22(22)( 6)2DO，所以1262232PDCS，所以该几何体的总面积为6222 34 2102 34 2，选 B. 15. 【答案】 C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 39 页解：由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为32，高为3，所以侧视图的面积为1333224。选 C. 16. 【答案】 A 解：过2P做2PO底面于 O,连结1OP, 则1OPAB，
26、即1OP为 三 棱 锥211PPAB的 高 ， 设101APxx，则由题意知1/ /OPAD, 所以有11OPBPADAB，即11OPx。三角形1112AP BSx，所以四面体121PP AB的体积为11211111111(1)(1)()33266224AP BxxSOPxxxx，当且仅当1xx，即12x时，取等号，所以四面体121PP AB的体积的最大值为124，选 A. 17. 【答案】 C 解： C中，当/ / ,/ /mmn，所以，/ /,n或,n当n，所以，所以正确。18. 【答案】 B 解：由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为
27、14 362，所以该几何体的体积为16243，选 B. 19. D 二、填空题20. 25；21. 【答案】754 10精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 39 页解：由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，底面梯形的上底为4，下底为5，腰23110CD, 所以梯形的面积为(45)32722S，梯形的周长为345101012，所以四个侧面积为( 1012) 44 1048，所以该几何体的表面积为274 10482754 102。22. 【答案】4 2解 ： 取AC 的 中 点 ， 连 结BE,DE 由
28、 主 视 图 可 知,BEAC BEDE.DCABC且4,2 3,2DCBEAEEC.所以2222( 23 )21 64B CB EE C，即2222443 242B DB CD C。23. 【答案】3 ; 0,2,3,44解：由定义可知当12PA，点 P 的轨迹是半径为12的14圆周长，此时点P 分别在三个侧面上运动，所以1113()3(2)2424f。由正方体可知，当01r，点P在三个面上运动，此时( )f r递增，当512r时，( )f r递减，当522r时，( )f r递增，当23r时，( )f r递减，如草图，所以方程( )f rk 的解的个数可能为0,2,3,4个。三、解答题精选学
29、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 39 页24. 证明： （I ）因为三棱柱111ABCA B C是直三棱柱，所以四边形11A ACC是矩形。连结1AC交1AC于 O，则 O是1AC的中点，又D是 BC的中点，所以在1ADC中，1/ /ODA B。因为1A B平面1ADC， OD平面1ADC，所以1/ /A B平面1ADC。（II ）因为ABC是等边三角形，D是BC的中点，所以ADBC。以D为原点，建立如图所示空间坐标系Dxyz。由已知12ABBB，得：(0,0,0)D，(3,0,0)A，1( 3,0,2)A，1(0,1,2)
30、C. 则( 3,0,0)DA，1(0, 1,2)DC，设平面1ADC的法向量为( , , )nx y z 。由100n DAn DC，得到3020 xyz，令1z，则0 x，2y，所以(0,2,1)n. 又1( 3,0,2)DA，得1032 01 22n DA。所以122 35cos,3557DAn设1A D与平面1ADC所成角为，则1235sin|cos|35DA n。所以1A D与平面1ADC所成角的正弦值为2 3535。25. 解： （） ABCD 是正方形 , BCAD. BC 平面 AMD,AD 平面 AMD, BC平面 AMD. NBMD, NB 平面 AMD,MD 平面 AMD,
31、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 39 页NB平面 AMD. NBBC=B,NB平面 BCN, BC平面 BCN, 平面 AMD 平面 BCN 3 分AM平面 AMD, AM 平面 BCN 4 分( 也可建立直角坐标系，证明AM垂直平面BCN的法向量，酌情给分) （）MD平面 ABCD ， ABCD 是正方形，所以，可选点D为原点， DA,DC,DM所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）5 分则0 ,0 ,2A，2, 0, 0M，0 ,2, 0C,1 , 2, 2N.)1 , 2, 0(AN, 6 分)
32、1,2, 2(MN，)2,2, 0(MC,设平面 MNC 的法向量zyxn, 则022022zyzyx，令2z， 则1 ,2 ,2 ,n 7分设 AN与平面 MNC 所成角为,552352122,cossinnAN. 9 分（）设( , , )E x y z，MEMN，MEMN，又( , ,2),(2,2, 1)MEx y zMN，E点的坐标为(2,2 ,2)，11 分AD面 MDC,ADMC，欲使平面ADE平面 MNC ，只要AEMC，(22,2 ,2),AE(0,2, 2)MC，0AE MC42(2)0，2323MEMN. 14 分yxzNCDABME精选学习资料 - - - - - -
33、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 39 页26.证明： (I) 因为ABC是正三角形，M是AC中点，所以BMAC, 即BDAC 1 分又因为PAABCD平面，BD平面ABCD，PABD2 分又PAACA，所以BD平面PAC3 分又PC平面PAC，所以BDPC4 分（）在正三角形ABC中，2 3BM5 分在ACD中，因为M为AC中点，DMAC，所以ADCD120CDA，所以2 33DM，所以:3:1BMMD6 分在等腰直角三角形PAB中，4PAAB，4 2PB，所以:3:1BNNP，:BNNPBMMD，所以/ /MNPD8 分又MN平面PDC，PD平面PDC，
34、所以/ /MN平面PDC9 分（）因为90BADBACCAD，所以ABAD，分别以,AB ADAP, 为x轴 , y轴 , z轴建立如图的空间直角坐标系，所以4 3(4,0,0),(2,23,0),(0,0),(0,0,4)3BCDP由（）可知，4 3(4,0)3DB为平面PAC的法向量10 分(2,2 3, 4)PC，(4,0,4)PB设平面PBC的一个法向量为( , , )nx y z, 则00n PCn PB，即22 340440 xyzxz，令3,z则平面PBC的一个法向量为(3,3,3)n 12 分设二面角APCB的大小为，则7cos7n DBnDB所以二面角APCB余弦值为77 1
35、4 分zyxMADBCPN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 39 页27. () 证明：因为侧面PAB是正三角形，AB的中点为Q，所以ABPQ，因为侧面PAB底面ABCD，侧面PAB底面ABCDAB，PQ侧面PAB，所以PQ平面ABCD. 3 分（）连结AC，设OBDAC，建立空间直角坐标系xyzO，则)0 ,0,0(O，)0 ,0 ,3(B，)0, 1 ,0(C，)0 ,0 ,3(D，3,21,23(P， 5 分)3,21,233(PD, 平面ABCD的法向量)1 ,0 ,0(m，设斜线PD与平面ABCD所成角的为，则
36、10303414273|,cos|sinPDmPDmPDm. 8分（）设CPtCM)3,23,23(ttt，则M)3,123,23(ttt，BM)3, 123,323(ttt，)0, 0, 1(32DB， 10 分设平面MBD的法向量为),(zyxn，则00 xDBnDBn，0 MBnMBn03)123()323(tzytxt，取3z，得)3,236,0(ttn，又平面ABCD的法向量)1 ,0 ,0(m 12 分所以|60cos|,cos|nmnmnm，所以21)236(332tt，解得2t（舍去）或52t. 所以，此时CPCM52. 14 分28. （）证明：因为BCAB2，60ABC，在
37、ABC中，由余弦定理可得BCAC3，所以BCAC2 分又因为ACFB，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 39 页所以AC平面FBC 4 分（）解：因为AC平面FBC，所以FCAC因为FCCD，所以FC平面ABCD 5 分所以,CA CF CB两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系xyzC 6 分在等腰梯形ABCD中，可得CBCD设1BC，所以3131(0,0,0),( 3,0,0),(0,1,0),(,0),(,1)2222CABDE所以)1 ,21,23(CE，)0,0 ,3(CA，) 0, 1 ,0(CB设平面EAC
38、的法向量为= ()x,y,zn，则有0,0.CECAnn所以310,2230.xyzx取1z，得n(0,2,1)8 分设BC与平面EAC所成的角为，则|2 5sin|cos,|5|CBCBCBnnn，所以BC与平面EAC所成角的正弦值为5529 分（）解：线段ED上不存在点Q，使平面EAC平面QBC证明如下：10 分假设线段ED上存在点Q，设),21,23(tQ)10(t，所以),21,23(tCQ设平面QBC的法向量为m),(cba，则有0,0.CBCQmm所以0,310.22babtc取1c，得m)1 ,0,32(t 12 分要使平面EAC平面QBC，只需0nm，13 分即20021 10
39、3t， 此方程无解所以线段ED上不存在点Q，使平面EAC平面QBC14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 39 页29. 证明（）取AB的中点F，连结PF，EF因为P是BC的中点，所以ACFP /，ACFP21因为/EDAC，且1122EDABAC，所以FPED /，且EDFP，所以四边形EFPD是平行四边形所以EFDP /因为EF平面EAB，DP平面EAB，所以/DP平面EAB（）因为90BAC，平面EACD平面ABC，所以以点A为原点， 直线AB为x轴，直线AC为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyzA，则z轴在
40、平面EACD内由已知可得(0,0,0)A，(2 ,0 , 0)B，(0 ,1,3)E，(0 , 2 ,3)D所以(2,1,3)EB，(0 ,1,0)ED，设平面EBD的法向量为(, )xy zn由0 ,0.EBEDnn所以230 ,0.xyzy取2z，所以( 3 ,0, 2)n又因为平面ABC的一个法向量为(0 , 0 ,1)m所以2 7cos,7n mn mn m即平面EBD与平面ABC所成锐二面角大小的余弦值为27730. （）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FOBC /AD ,ADBC21, E为AD中点AE/BC，且AE=BC 四边形ABCE为平行四边形O为AC中点. .1分又F
41、为AD中点OF/PA.2 分,OFBEF PABEF平面平面 .3 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 39 页PA/ 平面BEF. . .4分（）解法一：PAPDEADPEAD为中点,PADABCDPADABCDAD PEPAD侧面底面侧面底面平面PEABCD平面. 6 分易知BCDE为正方形ADBE建立如图空间直角坐标系xyzE，tPE（0t）则0, 1 , 1, 0, 0,0, 1 , 0,0, 0, 1,0,0 ,0CtPBAE0, 1 , 1, 1 , 1ABtPC045所成角为与ABPC2245cos2201
42、1,cos02tABPCABPCABPC， . 8 分解得：2t2PE.9 分解法二：由BCDE为正方形可得22ECBC由ABCE为平行四边形可得EC /ABPCE为PCAB与所成角即045PCE. 5 分PAPDEADPEAD为中点,PADABCDPADABCDAD PEPAD侧面底面侧面底面平面PEABCD平面. 7 分ECPE.8 分2PEEC. 9 分（）F为PC的中点，所以1 12,2 22F，OzyxDFECBAP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 39 页0, 1 , 0EB,22,21,21EF设zyxn,
43、是平面BEF的法向量则0222121,0zyxEFnyEBn取2x，则2z，得2, 0, 2n.11 分2, 0 ,0EP是平面ABE的法向量.12 分33,cosEPnEPnEPn.13 分由图可知二面角BACE的平面角是钝角，所以二面角BACE的余弦值为33.14 分31. （）证明：因为12ADBC，N是BC的中点所以ADNC，又/ /ADBC所以四边形ANCD是平行四边形，所以ANDC又因为等腰梯形，60ABC，所以ABBNAD，所以四边形ANCD是菱形，所以1302ACBDCB所以90BAC，即ACAB由已知可知平面C BA平面ABC，因为平面C BA平面ABCAB所以AC平面ABC
44、4 分（）证明：因为/ /ADBC，/ /ADBC，,ADADA BCBCB所以平面/ /ADD平面BCC又因为C N平面BCC，所以/ /C N平面ADD8 分（）因为AC平面ABCx z y A C D B N DC精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25 页，共 39 页同理AC平面ABC，建立如图如示坐标系设1AB，则(1,0,0)B,(0, 3,0)C, (0,0,3)C，13(,0)22N， 9 分则( 1,0,3)BC，(0,3,3)CC设平面C NC的法向量为( , , )nx y z，有0BCn，0C C n，得( 3
45、,1,1)n11 分因为AC平面ABC，所以平面C AN平面ABC又BDAN，平面C AN平面ABCAN所以BD平面C ANBD与AN交于点O ，O则为AN的中点，O13(,0)44所以平面C AN的法向量33(,0)44OB12 分所以5cos5n OBnOB13 分由图形可知二面角AC NC为钝角所以二面角AC NC的余弦值为5514 分32. （ 1）证明：底面ABCD为矩 形CDADABCDADABCDPD平面底面,PDADDPDCDPDCAD平面ABCDPC平面PCAD4 分（2）证明：取HBP中点，连接CHGH ,中点分别为DCAPFG,GH/AB21,FC/AB21GH/FCHF
46、GPDCBA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 39 页GFCH四边形是平行四边形，FG/CH，BCPCH平面，BCPFG平面FG/BCP平面8 分(3) ABCDPD平面，以D为坐标原点，以DPDCDA,所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，假设在线段AD上存在一点R，使得平面BPR平面PCB，设),(00mR，)3, 0, 0(),0, 1 ,2(),0, 1 ,0(PBC)0 ,0 ,2(CB)3, 1 , 2(PB)0, 1 ,2(mRB)3, 0,( mRP设平面BCP的法向量为),(1111zyx
47、n0011nPBnCB，032021111zyxx，令31y),(1301n设平面BPR的法向量为),(2222zyxn0022nRPnRB030)2(2222zmxyxm令12x),(3212mmn021nn0323mm)(，解得23m线段AD上存在点R，且当21AR时，使得平面BPR平面PCB. 13 分33. 解： （1）由该几何体的三视图知AC面BCED, 且 EC=BC=AC=4 ，BD=1 ，1(41)4102BCEDS梯形1140104333BCEDVSAC梯形即该几何体的体积V为1140104333BCEDVSAC梯形-4分（2）以 C为原点，以CA ，CB ，CE所在直线为x
48、,y,z轴建立空间直角坐标系则 A（4，0，0） ，B（0，4，0） ，D（0，4，1） ，E（0， 0，4）(0,4,3),( 4,4,0)DEAB，2 2cos,5DE ABzyxFGPDCBAzyxABCDE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 39 页异面直线DE与 AB所成的角的余弦值为225-4分（3） 点 Q在棱 DE上，存在)10(使得DEDQ)13 ,4,0()3,4,0()1 ,0,0(DEBDDQBDBQ同理)13 ,44 ,4(AQBQAQ0BQAQ, 即0)13()44()4()4(0251，满足题
49、设的点Q存在， DQ的长为 1 -14分34. 解： （）连结BD，则ACBD. 由已知DN平面ABCD，因为DNDBD，所以AC平面NDB. 2 分又因为BN平面NDB，所以ACBN. 4 分（）CM与BN交于F，连结EF. 由已知可得四边形BCNM是平行四边形，所以F是BN的中点 . 因为E是AB的中点，所以/ANEF. 7 分又EF平面MEC，AN平面MEC，所以/AN平面MEC. 9 分（）由于四边形ABCD是菱形，E是AB的中点，可得DEAB. 如图建立空间直角坐标系Dxyz，则(0,0,0)D，( 3,0,0)E, (0,2,0)C，3 7( 3,1,)7M. ( 3, 2.0)C
50、E，3 7(0,1,)7EM. 10 分设平面MEC的法向量为( , , )x y zn. 则0,0.CEEMnnF A B C D E N M y x z 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 39 页所以320,3 70.7xyyz令2x. 所以21(2,3,)3n. 12 分又平面ADE的法向量(0,0,1)m，所以1cos,2m nm nm n. 所以二面角MECD的大小是60. 14 分35. （）的中点是为正方形，四边形111ADOAADD , 点 E为AB的中点 , 连接OE。1ABDEO为的中位线EO/1BD