高数第一章习题.pdf

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1、高等数学第一章习题高等数学第一章习题一、填空一、填空1.设y f (x)的定义域是(0,1，(x) 1ln x，则复合函数y f(x)的定义域为1,e)2. 设y f (x)的定义域是1,2,则f (1)的定义域 -1/2,0。x 113.设f (x) 10 x 11 x 2， 则f (2x)的定义域 0，1。5.设f (x)的定义域为(0,1)，则f (tan x)的定义域?x(k,k24) ,k Z2。6. 已知f (x) sin x, f(x) 1 x，则(x)的定义域为2 x 7. 设f (x)的定义域是0,1,则f (e )的定义域(,0 x8.设f (x)的定义域是0,1,则f (

2、cos x)的定义域2k9.lim2, 2k2sinx 0 xx3617。5116x 2 3x 610.limx5x 21711.lim(1)ex2xx212.当x 时，1是比x 3 x 1高阶的无穷小x3213.当x 0时，31 ax21与cosx 1为等价无穷小，则a 14.若数列xn收敛，则数列xn是否有界有界。15.若lim f (x) A（A 为有限数） ，而lim g(x)不存在，xx0 xx0则lim f (x) g(x)不存在。xx016.设函数f (x)在点x x0处连续，则f (x)在点x x0处是否连续。 （ 不一定）17.函数y 2x 1的间断点是1、22x 3x 21

3、8. 函数f (x)在x0处连续是f (x)在该点处有定义的充分条件；函数f (x)在x0处有定义是f (x)在该点处有极限的无关条件。 （填：充要，必要，充分，既不充分也不必要，无关） 。19.函数左右极限都存在且相等是函数极限存在的充要条件，是函数连续的必要条件。（填：充分、必要、充要、既不充分也不必要）21.函数y 1在区间1,2内的最小值是 不存在x sin2xln(x 1),x 022.已知f (x) 在x0 处连续，则k 2。3x2 2x k,x 023.设f (x)处处连续，且f (2) 3，则limsin3xsin2xf () 9x0 xx24.x a是y x ax a2的第

4、1类间断点，且为 跳跃间断点.25.x 0是y cos1的第 2类间断点，且为振荡间断点.x11(x1)2e,x 12(x 1)x 1,当a 0，b 1时，函数f (x)在点26设函数f (x) a,bx 1,x 1x=1 处连续.27.在“充分” 、 “必要”和“充分必要”三者中选择一个正确的填入下列空格内：（1）数列xn有界是数列xn收敛的必要条件。数列xn收敛是数列xn有界的充分条件。（2）f (x)在x0的某一去心邻域内有界是lim f (x)存在的必要条件。lim f (x)存在是f (x)在x0 xx0 xx0的某一去心邻域内有界的充分条件。（3）f (x)在x0的某一去心邻域内无

5、界是lim f (x) 存在的 必要条件。lim f (x) 存在是xx0 xx0f (x)在x0的某一去心邻域内无界的充分条件。二、选择二、选择1.如果lim f (x)与lim f (x)存在，则（ C）.xx0 xx0（A）lim f (x)存在且lim f (x) f (x0)xx0 xx0（B）lim f (x)存在但不一定有lim f (x) f (x0)xx0 xx0（C）lim f (x)不一定存在xx0（D）lim f (x)一定不存在xx02.如果lim fx ，lim gx ，则必有（ D ） 。xx0 xx0A、limfx gx B、limfx gx 0 xx0 xx0

6、C、limxx01 0 D、lim kfx （k 为非零常数）xx0fx gx3.当x 时，arctgx 的极限（D） 。A、2 B、 2 C、 D、不存在，但有界4.limx 1x 1x1（D） 。A、 1 B、1 C、=0 D、不存在5.当x 0时，下列变量中是无穷小量的有（C） 。A、sin1sin x B、 C、2x1 D、ln xxx16. 下列变量在给定的变化过程中是无穷大量的有（A） 。x2x D、exx 0A、lg xx 0 B、lgxx 1 C、3x 17.无穷小量是（ C）.（A）比 0 稍大一点的一个数（B）一个很小很小的数（C）以 0 为极限的一个变量（D）常数 08.

7、 如果f (x),g(x)都在x0点处间断，那么（ D）（A）f (x) g(x)在x0点处间断（B）f (x) g(x)在x0点处间断（C）f (x) g(x)在x0点处连续（D）f (x) g(x)在x0点处可能连续。9.已知limx0f (x) 0，且f (0) 1，那么（ A）x（A）f (x)在x 0处不连续。 （B）f (x)在x 0处连续。（C）lim f (x)不存在。（D）lim f (x) 1x0 x010.设f (x) 2x x，则lim f (x)为（ D）x04x3 x11 (B)231 (C) (D)不存在4（A） x,11.设f (x) | x |0 ,x 0 x

8、 0则（ C）（A）f (x)在x 0的极限存在且连续；（B）f (x)在x 0的极限存在但不连续；(C)f (x)在x 0的左、右极限存在但不相等；（D）f (x)在x 0的左、右极限不存在。12. 设f (x) 2 3 2，则当x 0时，有（ B ）xx（A）f (x)与x是等价无穷小；（B）f (x)与x是同阶但非等价无穷小；（C）f (x)是比x高阶的无穷小；（D）f (x)是比x低阶的无穷小。13.当x 0时，下列四个无穷小量中 ，哪一个是比另外三个更高阶的无穷小（D ）（A）x；（B）1cosx；（C）1 x21； （D）x tanx。214. 当x 0时，arctan3x 与ax

9、是等价无穷小，则：a（ C）cosx（A） 1 ；（B） 2； （C） 3；（D）1/215 下列运算正确的是（C）111 limsin xlimcos 0limcos 0 x0 x0 x0 xx0 xxtanx sin xx x（B）lim lim lim0 0 x0 x0 x3x0 x3sin xsin x(C)lim(100)=lim lim100 =0 + 100=100 xxxxxtan3x3x3(D)lim limxsin5xx5x5（A）limsin x cos三、基本计算题三、基本计算题（一求极限）1.limxx2 x x2 x1.解：12.limx3x2 x x2 x2.解：

10、13.lim9 2x 5x 2125x83. 解：4.lim1cosxx(1cosx)122x04.解：5.lim nsin( n 2 n)n5. 解：6.lim( 1 x 1)sin xx01cosx6.解：12sin x sin2xx03x317.解：37.lim8.limtan x sin xx0ln(1 x3)8.解：12exesinx9.limx0 xsin x9.解：110.设x 0时，(1 ax ) 1与cos x 1是等价无穷小，求a的值10.解：a 11limx021332sin xtan x231 x 11sin x 111 解：3112.lim(sec x)xx02212

11、.解：en13.limnn 113.解e1n2xx1)14.lim(x1x 114 解：e15.lim1x2x a b c x03xxxa 0,b 0,c 015.解：3 abc1x16.lim( 2x)xx16.解 ：e1ln2117.limt01te121tetarctant41t17. 解：118.lim( 2n282 2n2)18.解：219.设f (x) a （a 0, a 1),求lim19. 解lnx1ln f (1) f (2) f (n)nn2a1n220.lim(1 23 (n1)2nn 220. 解：121n21.lim 1n21.解： 112n )nn21n2 2n2

12、n122.解：2123.limx x0 x22.lim(23.解：124.lim (2 3 5 )xxxx1x24.解：512exsinx25.lim4x0| x|1ex25.解： 1（二连续与间断）（二连续与间断）26.f (x) arcsin(tan x)(x 0)补充定义f (0)之值，使f (x)在x 0处连续2x26.解 lim f (x) x06,6，则f (x)在x 0处连续的间断点，并判定其类型.补充定义f (0) 127.指出函数y 2x12 11x27.解x 0是函数的第一类间断点（跳跃间断点） 。四、综合计算题四、综合计算题（一连续与间断）（一连续与间断）1设f (x)

13、lim1 x，讨论f (x)在其定义域内的连续性，若有间断点，指出其类型。n1 x2nx 1 01x 11. 解f (x) x=1 是第一类跳跃间断点。1 x1 x 1x 10cosx,x 0 x 22设f (x) ，试问：a为何值时，使f (x)在x0 处连续a a x, x 0 x2. 解：a1。x2 ax b1，求a与b的值，3已知limx11 x3.解：b2，a3。x x 24讨论函数y 2的连续性，并指明间断点的种类。(x 4)sin x4.解 当x2 或 0 或 2 时函数无定义故，2、0、2 为间断点x2 为函数的第二类间断点。x0 为函数的可去间断点。x2 为函数的跳跃间断点。

14、x21,x 1x 1，应怎样选取数a，b，才能使f (x)在x1 处连续5设f (x) b,a arccosx, 1 x 15.解a ，b0。x216讨论函数y 2的连续性，并指明间断点的种类x 3x 26.解 当x1 或 2 时函数无定义，故x1 和 2 为函数的间断点，x1 为函数的可去间断点。x2 为函数的第二类间断点。7求极限lim sint txsin xxsin xxsintsin x， 记此极限为f (x)，求函数f (x)的间断点并指出其类型。7. 解：f (x) e时，函数无定义，所以，是函数f (x)的间断点，当x k,k 0,1,2x 0是可去间断点；x k,k 1,2，

15、是第二类间断点。1x1,x 0，求函数f (x)的间断点并指出其类型。8设f (x) eln(1 x) ,1 x 08. 解x 1是第二类间断点；x 0是跳跃间断点。9确定a,b的值，使f (x) x b有无穷间断点x 0,，有可去间断点x 1(x a)(x 1)9.解a 0,b 1（二已知某些极限，求另外的极限或常数）x2axb 2，求a，b的值10若lim2x2x x210.解c 4，a 2,b 811已知lim11. 解：e2f (x)f (x) 4，求lim1。x0 x01cosxx21x12 设lim (3x ax bx 1) 2，试确定a与b的值。x12. 解：a 9, b 12p

16、(x) x3p(x) 2, lim1,求p(x).13设p(x)是多项式,且limxx0 x2x3213.解：p(x) x 2x x（三零点定理、介值定理）14 设f (x)在0,1上连续。且0 f (x) 1，则必存在(0,1)使f () 14 解 设F(x) f (x) x15.设函数f (x)在a,b上连续，c,d (a,b),q 0,g 0.证明：在a,b上至少存在一点，使得qf (c) gf (d) (q g) f ().15.解：利用最值、介值定理16设f (x)在1,3上连续，且f (1) f (2) f (3) 3，则1,3，使得f () 1。16.解：利用最值、介值定理六、提

17、高题六、提高题（一求极限）1当| x|1时，求lim(1 x)(1 x )(1 x ) (1 x)n242n(1 x)(1 x)(1 x2)(1 x4) (1 x2)(1 x2)(1 x2)1 lim1. 解 原式limnn1 x1 x1 x2设xn1nnn111求limxn n1 21 231 2 n21111 2lim( )2lim(1) 2nnn1223n(n 1)n 1k1k(k 1)n2.解lim xn limntan(sin x)sin(tan x)x0tanx sin xtan(sinx)sin(tanx)tan(sinx)sin(sin x)sin(sin x)sin(tanx

18、) lim3.解limx0 x0tanx sin xtanx sin xtan(sin x)sin(sin x)sin(sin x)sin(tan x) limlimx0 x0tan xsin xtan xsin x3.lim1sin x tan xsin xtan x(sin x)32cossinsin xtan x22 lim2lim12lim 03x0 x0 x01313xxx22（二零点定理、介值定理）4设f (x)在0,n(n为自然数，n2)上连续，f (0) f (n)，证明：存在,10,n使f () f (1)。4.解 设F(x) f (x 1) f (x)，x0,n 1且连续，

19、则：F(0) f (1) f (0) ,F(1) f (2) f (1) ,F(2) f (3) f (2) , ,F(n 1) f (n) f (n 1).将以上各式相加得F(i) f (n) f (0) 0，i0n1另一方面，因为f (x)连续，所以有，m F(i) M i 0,1, ,n 11n1n m F(i) n M , m F(i) M由介值定理知0,n 10,n使ni0i01n1F() F(i) 0即f () f (1)ni02n1 a1x2n a2nx a2n1 0至少有一个实根a a0 0 0 0。5证明：奇次方程a0 x2n1 a1x2n a2nx a2n15. 证 不妨设

20、a0 0，令f (x) a0 xn1a1ana2n1 2)，lim f (x) ， lim f (x) xxxx2nx2n1X1f (X1) 0 , X2f (X2) 0又f (x)在(,)连续,那么，在X1,X2上也连续，由零点定理知，至少存在一个X1,X2 (,)使得f () 0，即方程a0 x2n1 a1x2n a2nx a2n1 0至少有一个实根。则f (x) x2n1(a06 设f (x)在(a,b)内为非负连续函数，a x1 x2 xn b，证明：在(a,b)内存在点，使得f () nf (x1) f (x2) f (xn)6. 证设F(x) ln f (x)，F(x)在x1,xn上连续且有最小值 m 和最大值 M，即有F(x1) F(x2) F(xn) M由介值定nF(x1) F(x2) F(xn)理知，存在x1,x2 (a,b)，使得F() ，即nlnf () lnnf (x1) f (x2) f (xn)，从而f () nf (x1) f (x2) f (xn)成立。m F(x1) M ,m F(x2) M , , m F(xn) Mm