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1、三、连续1.函数的增量函数的增量.,),(,)()(0000的增量的增量称为自变量在点称为自变量在点内有定义内有定义在在设函数设函数xxxxxUxxUxf .)(),()(0的增量的增量相应于相应于称为函数称为函数xxfxfxfy xy0 xy00 xxx 0)(xfy x 0 xxx 0 x y y )(xfy 第一页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。2.连续的定义连续的定义,0 xxx 设设),()(0 xfxfy ,00 xxx 就是就是).()(00 xfxfy 就是就是第二页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。:定义定义 .)()(, 0, 000 xfxfxx恒有恒有时时使当使当
2、第三页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。例例1 1.0, 0, 0, 0,1sin)(处连续处连续在在试证函数试证函数 xxxxxxf证证, 01sinlim0 xxx, 0)0( f又又由定义由定义2知知.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf),0()(lim0fxfx 第四页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。3.单侧连续单侧连续;)(),()0(,()(0000处左连续处左连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfxaxf 定理定理.)()(00处既左连续又右连续处既左连续又右连续在在是函数是函数处连续处连续在在函数函数xxfxxf.)(),()0(,),
3、)(0000处右连续处右连续在点在点则称则称且且内有定义内有定义在在若函数若函数xxfxfxfbxxf 第五页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。例例2 2.0, 0, 2, 0, 2)(连续性连续性处的处的在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解)2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f )2(lim)(lim00 xxfxx2 ),0(f 右连续但不左连续右连续但不左连续 ,.0)(处不连续处不连续在点在点故函数故函数 xxf第六页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。4.连续函数与连续区间连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上叫做在
4、该区间上的的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.,)(,),(上连续上连续在闭区间在闭区间函数函数则称则称处左连续处左连续在右端点在右端点处右连续处右连续并且在左端点并且在左端点内连续内连续如果函数在开区间如果函数在开区间baxfbxaxba 连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,.),(内是连续的内是连续的有理函数在区间有理函数在区间第七页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。（二）函数的间断点:)(0条件条件处连续必须满足的三个处连续必须满足的三个在点在点函数函数xxf;)()1(0处有定义处有定义在点在点xx
5、f;)(lim)2(0存在存在xfxx).()(lim)3(00 xfxfxx ).()(),()(,00或间断点或间断点的不连续点的不连续点为为并称点并称点或间断或间断处不连续处不连续在点在点函数函数则称则称要有一个不满足要有一个不满足如果上述三个条件中只如果上述三个条件中只xfxxxf第八页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。1.跳跃间断点跳跃间断点.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 例例3 3.0, 0,1, 0,)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxx
6、xf解解, 0)00( f, 1)00( f),00()00( ff.0为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点 xoxy第九页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。2.可去间断点可去间断点.)()(),()(lim,)(00000的可去间断点的可去间断点为函数为函数义则称点义则称点处无定处无定在点在点或或但但处的极限存在处的极限存在在点在点如果如果xfxxxfxfAxfxxfxx 例例4 4.1, 1,11, 10, 1,2)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxxfoxy112xy 1xy2 第十页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。解解, 1)1( f, 2)01( f, 2
7、)01( f2)(lim1 xfx),1(f .0为函数的可去间断点为函数的可去间断点 x注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义的定义, 则可使其变为连续点则可使其变为连续点.第十一页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。3.第二类间断点第二类间断点.)(,)(00的第二类间断点的第二类间断点为函数为函数则称点则称点在在右极限至少有一个不存右极限至少有一个不存处的左、处的左、在点在点如果如果xfxxxf例例5 5.0, 0, 0,1)(处的连续性处的连续性在在讨论函数讨论函数 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f,)00( f.1为函数的第
8、二类间断点为函数的第二类间断点 x.断点断点这种情况称为无穷间这种情况称为无穷间第十二页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。例例6 6.0, 0, 0,cos)(,处连续处连续在在函数函数取何值时取何值时当当 xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx ,a ,)0(af ),0()00()00(fff 要要使使,1时时故当且仅当故当且仅当 a.0)(处连续处连续在在函数函数 xxf, 1 a第十三页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。(三）四则运算的连续性定理定理1 1.)0)()()(),()(),()(,)(),(000处也
9、连续处也连续在点在点则则处连续处连续在点在点若函数若函数xxgxgxfxgxfxgxfxxgxf 例如例如,),(cos,sin内连续内连续在在xx.csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续故故xxxx第十四页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。反函数与复合函数的连续性定理定理2 2 严格单调的连续函数必有严格单调的连续反严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数函数. .例如例如,2,2sin上单调增加且连续上单调增加且连续在在 xy.1 , 1arcsin上也是单调增加且连续上也是单调增加且连续在在故故 xy;1 , 1arccos上单调减少且连续上单调减少且连续在在
10、同理同理 xy.,cot,arctan上单调且连续上单调且连续在在 xarcyxy反三角函数在其定义域内皆连续反三角函数在其定义域内皆连续.第十五页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。定理定理3 3).(lim)()(lim,)(,)(lim000 xfafxfaufaxxxxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若第十六页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。意义意义1.极限符号可以与函数符号互换极限符号可以与函数符号互换;.)(. 2的理论依据的理论依据变量代换变量代换xu 例例1 1.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 xxx10)1ln(lim 原式原式)1(limln10 xx
11、x eln 解解第十七页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxfyuuufyuxxxxu 定理定理4 4注意注意定理定理4是定理是定理3的特殊情况的特殊情况.例如例如,), 0()0,(1内连续内连续在在 xu,),(sin内连续内连续在在 uy.), 0()0,(1sin内连续内连续在在 xy第十八页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的的.)1, 0( a
12、aayx指数函数指数函数;),(内单调且连续内单调且连续在在)1, 0(log aaxya对数函数对数函数;), 0(内单调且连续内单调且连续在在第十九页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。定理定理5 5 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的. . xy xaalog ,uay .log xua ,), 0(内连续内连续在在 ,不同值不同值讨论讨论 (均在其定义域内连续均在其定义域内连续 )定理定理6 6 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续内都是连续的的. .定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间. .第二十页，编辑于星
13、期五：二十一点 四十一分。例例3 3. 1sinlim1 xxe求求1sin1 e原式原式. 1sin e例例4 4.11lim20 xxx 求求解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx20 . 0 )()()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx第二十一页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。（四）连续函数的运算（四）连续函数的运算1 1、四则运算的连续性、四则运算的连续性2 2、反函数与复合函数的连续性、反函数与复合函数的连续性3 3、初等函数的连续性、初等函数的连续性第二十二页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。1、连续函数的四则运算
14、的连续性【定理定理1】例如例如 . ),(cos,sin内连续内连续在在xx. csc,sec,cot,tan在其定义域内连续在其定义域内连续xxxx由函数由函数“点连续点连续”的定义和极限四则运算法则，立得的定义和极限四则运算法则，立得: :【推广推广】 有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。有限个连续函数的和、差、积仍为连续函数。【结论结论】三角函数在其定义域内连续三角函数在其定义域内连续.若若f(x) , g(x)在点在点x0处连续，则处连续，则f(x)g(x) ，f(x)g(x) , f(x)/g(x)g(x0)0在点在点x0处也连续处也连续.第二十三页，编辑于星期五：二十一点 四十
15、一分。).(lim)()(lim)(lim, )(,)(lim0000000 xgfufufxgfuufuxgxxuuxxxx 则有则有连续连续在点在点函数函数若若【定理定理3】（2）复合函数的连续性）复合函数的连续性)(limxgfxx0 即即).(lim0 xgfxx 【意义意义】 . )(. 1的的理理论论依依据据变变量量代代换换xu 可知可知极限符号极限符号 可以与函数符号可以与函数符号 f 交换次序交换次序; ;0limxx条件是：条件是：内层函数极限存在、外层函数在对内层函数极限存在、外层函数在对 应点应点连续连续；则可交换次序；则可交换次序. . 00 ( )2.( )l mli
16、imxxxxffg xg x 由第二十四页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。【例例1】.)1ln(lim0 xxx 求求. 1 eln 【解解】同理同理xxax)1(loglim0 aln1 利用利用lnu的的连续性连续性01ln(li1)mxxx原原式式01lim) ln(1xxx第二十五页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。.)(,)(,)(,)(00000也连续也连续在点在点则复合函数则复合函数连续连续在点在点而函数而函数且且连续连续在点在点设函数设函数xxxgfyuuufyuxgxxxgu 【定理定理4】（复合函数的连续性）（复合函数的连续性）【注意注意】定理定理4是定理是定理3的特
17、殊情况的特殊情况, ,内层内层函数由函数由 极限存在极限存在加强为加强为连续连续. .简言之：简言之： 内、外层函数在对应点都连续，则内、外层函数在对应点都连续，则复合函数连续。复合函数连续。第二十六页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。（五）闭区间上连续函数的性质定理定理1(1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理) ) 在闭区间上连续的在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值函数一定有最大值和最小值. .注意注意: :1.若区间是开区间若区间是开区间, 定理不一定成立定理不一定成立; 2.若区间内有间断点若区间内有间断点, 定理不一定成立定理不一定成立.)()()()()()()(,),(
18、0000值值小小上的最大上的最大在区间在区间是函数是函数则称则称都有都有使得对于任一使得对于任一如果有如果有上有定义的函数上有定义的函数对于在区间对于在区间IxfxfxfxfxfxfIxIxxfI 定义：定义：第二十七页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。xyo)(xfy 211xyo2 )(xfy 定理定理2(2(有界性定理有界性定理) ) 在闭区间上连续的函数一定在在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界该区间上有界. .第二十八页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。.)(, 0)(000的零点的零点为函数为函数称称则则使使如果如果xfxxfx 0)()( , )( bfafbaxf上连续，
19、且上连续，且在在若若，使得，使得则至少存在一点则至少存在一点),(ba 【定义定义】【定理定理3】( (零点定理零点定理):):【作用作用】常用于判断方程有根常用于判断方程有根 根的根的存在性存在性.0)( f即方程即方程 f (x) = 0 在在 (a, b) 内至少存在一个实根内至少存在一个实根.定理定理4(4(介值定理介值定理) ) 如果如果 在在 上连续，且上连续，且其最大值和最小值分别为其最大值和最小值分别为M M和和m.m.对于在对于在M M和和m m之之间的任意实数间的任意实数c c，必定存在，必定存在 ，使，使 . .( )f x, a b, a b( )fc第二十九页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。小结四个定理四个定理有界性定理有界性定理;最值定理最值定理;介值定理介值定理;根的存在性定理根的存在性定理.注意注意1闭区间；闭区间； 2连续函数连续函数这两点不满足上述定理不一定成立这两点不满足上述定理不一定成立解题思路解题思路1.1.直接法直接法:先利用最值定理先利用最值定理,再利用介值定理再利用介值定理;2.2.辅助函数法辅助函数法: :先作辅助函数先作辅助函数F(x),再利用零点定理再利用零点定理;第三十页，编辑于星期五：二十一点 四十一分。