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1、数学必修1 专题 1：抽象函数的单调性1. 三类抽象函数的类型及其单调性分析(1) 已知定义在R 上的函数)(xf对任意实数yx 、都满足)()()(yfxfyxf，且当0 x时，0)(xf判断)(xf的单调性并证明证明： 令0yx，则)0()0()00(fff0)0(f令xy，则0)()()0()(xfxffxxf)()(xfxf在 R 上任取21xx ，且使21xx0)()()()()(121212xxfxfxfxfxf即)()(12xfxf由定义可知)(xf在 R 上为单调递减函数(2) 已知函数)(xf的定义域是，0， 满足)()()(yfxfxyf， 且当1x时，0)( xf 判断)
2、( xf的单调性并证明证明： 令1yx，则)1() 1() 1(fff0)1(f令xy1，则0)1()() 1()1(xfxffxxf)()1(xfxf任取，021xx，且使21xx0)()1()()()(121212xxfxfxfxfxf即)()(12xfxf由定义可知)(xf在，0上为单调递增函数(3) 已知函数)(xf的定义域是，0，且对一切00yx，都有)()()(yfxfyxf，当1x时，有0)( xf判断)(xf的单调性并证明证明： 令1yx，则)1() 1() 1(fff0)1(f任取，021xx，且使21xx则0)()()(1212xxfxfxf即)()(12xfxf由定义可知
3、)(xf在，0上为单调递增函数2. 简短评价(1) 注意三类函数的定义域不同的区别；(2) 其实我们可以看出解题的思路大致一样：求出)0(f或)1(f；令xy或xy1名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 3 页 - - - - - - - - - 针对练习：1. 已知函数)(xf的定义域是，0，满足1)2(f，且对于定义域内任意x 、 y 都有)()()(yfxfxyf成立，那么)4()1(ff_ 2. 定义在R 上的函数)(xf满足xyyfxfyxf2)()(
4、)()(Ryx，2)1(f，则)3(f_ 3. 已知函数)(xf在定义域，0上为增函数，且满足)()()3(yfxfxyf，1)3(f(1) 求)27()9(ff，的值；(2) 解不等式2)8()(xfxf4. 设函数)(xf对任意的Rba，都有1)()()(bfafbaf，且当0 x时，1)(xf(1) 求证：)( xf是 R 上的增函数(2) 若5)4(f，解不等式3)23(2mmf5. 设函数)( xf是定义域为R，并满足)()()(yfxfyxf，1)31(f，且当0 x时，0)( xf(1) 求)0(f的值；(2) 判断函数的奇偶性；(3) 如果2)2()(xfxf，求 x 的取值范
5、围6. 已知函数)( xf对一切Ryx ，都有)()()(yfxfyxf，若af)3(，则是否可以用 a 表示)12(f7. 已知函数)(xf的定义域是，0，当1x时，0)(xf，且)()()(yfxfxyf(1) 求)1(f(2) 证明：)( xf在定义域上是增函数(3) 如果1)31(f，求满足不等式2)21()(xfxf的 x 的取值范围8.(河南省许昌市四校高一（上）期中联考)已知定义域为 （0，+）的函数)(xf满足： x1 时，0)(xf；1)21(f对任意的正实数x， y，都有)()()(yfxfxyf(1) 求证：0) 1(f，)()1(xfxf；(2) 求证：)(xf在定义域
6、内为减函数；(3) 求不等式2)5()2(xff的解集9.( 湖 南 永 州 市 祁 阳 四 中 高 一 （ 上 ） 期 中 数 学 试 卷 ) 已 知 定 义 在R 上 的 函 数)( xf满 足)()()(yxfyfxf，当 x0 时2) 1(0)(fxf，；(1) 求证：)( xf为奇函数；(2) 求)( xf在3，3的最值；(3) 当 t2 时，0)2log(log)log(2222tftkf恒成立，求实数k 的取值范围10. 已知函数)(xf定义域为 1，1，若对任意的11， yx，都有)()()(yfxfyxf，且0 x时，有0)(xf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 -
7、- - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 3 页 - - - - - - - - - (1) 证明：)( xf为奇函数；(2) 证明：)( xf在1，1上为单调递增函数；(3) 设1)( xf，若12)(2ammxf，对所有11， yx，11，a恒成立，求实数m的取值范围。11. 已知)( xf的定义域为，0，且满足)()()(1)2(yfxfxyff，又当yx时，)()(yfxf(1) 求)4()1(ff、的值；(2) 如果2)3()(xfxf，求 x 的范围12. 设)( xf是定义在，0上的增函数，且对任意，、0yx都有)()()(yfxfyxf(1) 求)1(f(2) 若1)4(f，解不等式2)1()6(xfxf名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 3 页 - - - - - - - - -