《2022年小问题大用处高中数学小问题集中营之必修一函数性质专题三抽象函数的单调性与奇偶性 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年小问题大用处高中数学小问题集中营之必修一函数性质专题三抽象函数的单调性与奇偶性 .pdf（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、一、问题的提出抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像, 但给出了函数满足的一部分性质或运算法则. 由于此类函数问题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的应用、推理和论证能力, 又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力, 体现了函数与方程、数形结合、一般与特殊等重要的数学思想, 所以倍受命题者的青睐 . 二、问题的探源由于抽象型函只是给出一些特殊条件的函数问题, 比较抽象 , 学生难以理解 , 接受困难；教材又没有讲解处理 , 因此 , 这类问题时常困惑着不少师生. 但是这类问题对于发展学生的思维能力, 进行数学思想方法的渗透 , 培养学生的创新思想, 提高学生的数学素质, 有着重
2、要作用. 为此 , 本文就这类问题的解题思路及方法谈点看法. 1. 利用特殊模型的解题思想在中学函数部分教材中可以找到一些抽象型函数的特殊模型（列表如下）, 特殊函数模型与抽象函数对照一览表特殊函数模型抽象函数正比例函数f(x)=kx (k0)f(x+y)=f(x) + f(y) （x、yR）幂函数 f(x)=xf(xy)=f(x)f(y) (x、 y R) ;f ( xy )=f(x)f(y) (x 、 yR,y0)指数函数f(x)=ax (a 0,a 0)f(x+y)=f(x)f(y), (x、 y R) ;f(x-y)=f(x)f(y) (x 、 y R,f(y) 0)对 数 函 数f(
3、x)=ax (a 0,a 0)f(xy)=f(x)+f(y),f ( xy ) = f(x) f(y) (x0,y 0) 若充分利用这些模型解题, 既可使学生掌握解决数学问题的规律, 培养了解题能力, 又使学生体会到人们对事物的认识 , 总是在感性认识的基础上, 通过抽象概括上升为理性认识, 最终揭示事物的本质, 这样一种认识规律 . 对于抽象函数解答题, 虽然不可用特殊模型代替求解, 但可借助特殊模型理解题意；同时, 对于有些对精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页应的特殊模型不是学生熟悉的基本初等函数的抽象函数解答
4、题, 要启发学生通过适当变通去寻求特殊模型,从而得到抽象函数问题的求解方法. 2. 利用特殊方法的解题思想对于用常规解法难以解决的数学问题, 若利用一些特殊的数学思想方法求解, 有时会收到事半功倍的效果.如抽象函数奇偶性的判断一般通过合理赋值, 抽象函数单调性的判断一般用定义, 解关于抽象函数的不等式,一般利用用单调性脱去f. 三、问题的佐证1. 以正比例函数为模型【例 1. 】已知f（x）是定义在R上的函数 , 对任意的x、yR都有f（x+y）= f（x）+ f（y）, 且当x0时,f（x）0,f（ 1）=2. 问当33x时, 函数f（x）是否存在最大值？若存在, 请求出最大值；若不存在,请
5、说明理由 . 【分析】 我们知道 , 正比例函数fxkx k( )()0满足fxyfxfy()( )( ). 根据题设 , 我们可推知本题是以函数f（x）= 2x作为模型设计的问题. 于是 , 我们可以判定函数f（x）的奇偶性、单调性入手来求解. 【解析】令x=y=0, 则f（0+0）= f（0）+ f（0）, 解得f（0） =0 又因为f（x） + f（x）= f（xx） = f（0）=0 所以f（x） = f（x）即函数f（x）为奇函数 . 设xxRxx1212、，, 则xx210依题意 , 有f xx()210fxf xf xfxfxx()()()()()2121210所以 ,f xfx
6、()()21即函数f（x）在 R上是减函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页因此 , 函数f（x）当33x时有最大值f（ 3）, 且f（ 3）=f（3）= f（1）+ f（2） = 3 f（1）= （ 3）（ 2）=6 2. 以一次函数为模型【例 2】 定义在 R上的函数f（x）满足fxyf xfyf()( )( )()1120，, 且x12时,f（x）0 时,0f（x）1. （1）求证：f（0）=1, 且当x1；（2）求证：f（x）在 R上单调递减；【分析】 分析本题条件和结论, 可推知本题是以函数f xa
7、ax( )01为模型命制的. 【解析】（1）令 m=1,n=0,得f（1）= f（1）f（ 0）又当x0 时,0 f（x）1, 所以f（0） =1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页设x0 令 m=x,n=x, 则f（0）= f（x）f（x）所以f（x）f（x）=1 又 0 f（x）0 恒成立所以fxfxf xx()()()2121, 所以0121f xf x()()所以f（x2） 1时f（x）0. （1）求证：f121；（2）试判断y= f（x）在0，上的单调性 , 并证明 . 【分析】 分析本题条件 , 可判定
8、该题是以函数f xx( )log2为模型命题的. 证明：（1）令x=y=1, 则f（1）= f（1）+ f（1）解得：f（1）=0 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页令12,2xy, 则12102fff, 解得：ff( )( )1221（2）设012xx, 则xx211, 于是fxx210因为f xf xfxx()()2121所以f xf xfxx()()21210所以f xfx()()21, 即函数f（x）在0，上是增函数 . 四、问题的解决1. 定义在 R上的函数y=f(x),f(0)0, 当x0 时,f(x)
9、1,且对任意的a、 bR,有 f(a+b)=f(a)f(b), （1）求证： f(0)=1 ；（2）求证：对任意的xR,恒有 f(x)0 ；（3）证明： f(x)是 R上的增函数；（4）若 f(x) f(2x -x2)1, 求 x 的取值范围 . 2. 已知 函数( )f x,( )g x在R 上 有定义 , 对任意的,x yR有()( ) ( )( )( )f xyf x g yg x fy且(1)0f（1）求证：( )f x为奇函数（2）若(1)(2)ff, 求(1)( 1)gg的值3. 已知函数)( xf对任意实数yx,恒有)()()(yfxfyxf且当 x0,.2)1(.0)(fxf又
10、(1) 判断)( xf的奇偶性；(2) 求)(xf在区间 3,3 上的最大值；(3) 解关于x的不等式.4)()(2)(2axfxfaxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页4. 已知f(x) 在 ( 1,1) 上有定义 ,f(21) 1, 且满足x,y( 1,1) 有f(x) f(y) f(xyyx1) 证明：f(x) 在( 1,1) 上为奇函数；5. 已知函数NxfNxxfy)(,),(, 满足：对任意,2121xxNxx都有)()()()(12212211xfxxfxxfxxfx；（1）试证明：)(xf为 N上
11、的单调增函数；（2）nN, 且(0)1f, 求证：( )1f nn；6. 已知函数( )f x的定义域为0,1, 且同时满足：(1) 对任意0,1x, 总有( )2f x；(2)(1)3f(3) 若120,0 xx且121xx, 则有1212()()()2f xxf xf x. (I) 求(0)f的值；(II)求( )f x的最大值 . 7. 定义在 R上的函数f（x）对任意实数a、b都有f（a+b）+ f（ab）=2 f（a）f（b）成立 , 且f ( )00. （1）求f（0）的值；（2）试判断f（x）的奇偶性；（3）若存在常数c0使fc()20, 试问f（x）是否为周期函数？若是, 指出
12、它的一个周期；若不是, 请说明理由 . 8. 已知函数f（x）的定义域关于原点对称, 且满足：（1）f xxf xf xf xf x()()()()()1212211（2）存在正常数a, 使f（a）=1 求证：（1）f（x）是奇函数；（2）f（x）是周期函数, 并且有一个周期为4a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页9. 函数)(xf的定义域为R,并满足以下条件：对任意Rx,有0)(xf；对任意x、Ry, 有yxfxyf)()(；.1)31(f则（1）求)0(f的值；（2）求证：)(xf在 R上是单调增函数；（3）若
13、acbcba2,0 且, 求证：).(2)()(bfcfaf10. 定义在区间 （0,）上的函 f(x)满足： （1）f(x)不恒为零；（2）对任何实数x、q, 都有)()(xqfxfq. （1）求证：方程f(x)=0有且只有一个实根；（2）若 abc1, 且 a、b、c 成等差数列 , 求证：)()()(2bfcfaf；（3）若 f(x) 单调递增 , 且 mn0时, 有)2(2)()(nmfnfmf, 求证：322m11. 已知fx是定义在 R上的不恒为零的函数, 且对于任意的,a bR都满足：fa baf bbfa（）求0 ,1ff的值；（）判断fx的奇偶性 , 并证明你的结论；12 （
14、2005 年广东省高考试题）设函数( )fx在(,)上满足(2)(2)fxfx,(7)(7)fxfx,且在闭区间0,7 上 , 只有(1)(3)0ff（）试判断函数( )yf x的奇偶性；（）试求方程( )f x=0 在闭区间 -2005,2005 上的根的个数, 并证明你的结论答案1. 【解析】（1）令 a=b=0, 则 f(0)=f(0)2f(0) 0 f(0)=1 （2）令 a=x,b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) )(1)(xfxf由已知 x0 时,f(x)10,当 x0,f(-x)0 0)(1)(xfxf又 x=0 时,f(0)=10 对任意xR,f(x)0 (3) 任取 x
15、2x1, 则 f(x2)0,f(x1)0,x2-x10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页1)()()()()(121212xxfxfxfxfxff(x2)f(x1) f(x) 在 R上是增函数（4）f(x) f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x) 又 1=f(0), f(x)在 R上递增由 f(3x-x2)f(0)得： 3x-x20 0 x2 时,12|xaxxx或g(-1)+g(1)=1 4. 【证明】令xy0, 2f(0) f(0), f(0) 0 令yx, 则f(x) f( x) f(0
16、) 0 f(x) f( x) 0 f( x) f(x) f(x) 为奇函数5. 【解析】（ 1）由知 , 对任意*,a babN, 都有0)()()(bfafba, 由于0ba, 从而)()(bfaf, 所以函数)(xf为*N上的单调增函数. （2）由（ 1）可知nN都有 f(n+1)f(n),则有 f(n+1)f(n)+1 f(n+1)-f(n)1,f(n)-f(n-1)1 f(2)-f(1)1f(1)-f(0)1由此可得f(n)-f(0)n f(n)n+1 命题得证7. 【解析】（ 1）令a=b=0则f（ 0）+ f（0）=2 f（0）f（0）所以 2 f（0）f（0） 1=0 又因为f
17、( )00, 所以f（ 0）=1 （2）令a=0,b=x, 则f（x）+ f（x）=2 f（0）f（x）由f（ 0）=1 可得f（x）= f（x）所以f（x）是 R上的偶函数 . （3）令axcbc22，, 则精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页fxccfxccfxcfc2222222因为fc20所以f（x+c） + f（x）=0 所以f（x+c） =f（x）所以f（x+2c）=f（x+c）= f（x）= f（x）所以f（x）是以 2c为周期的周期函数. 8. 【证明】（ 1）设txx12, 则ftfxxf xfxf
18、 xfxf xfxf xfxfxxf t()()()()()()()()()()()( )21211212211211所以函数f（x）是奇函数 . （2）令xaxa122 ，, 则f afaf af afa( )()( )( )()212即12112fafa()()解得：f（2a）=0 所以f xaf xfafafxfxfafaf xf x()( )()()( )( )()()( )( )22122121所以f xafxaf xfx41211()()()精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页因此 , 函数f（x）是周
19、期函数 , 并且有一个周期为4a. 10. 【解析】 1) 取 x=1,q=2, 有的一个根，是即0)(10)1 ()2()1(2xffff若存在另一个实根10 x, 使得,0)()(),0(),0(0)(0101111xqfxfqxxxxxfq有成立，且对任意的10)(,0)0)(10 xxfxfxf有且只有一个实根与条件矛盾，（恒成立，（2）21,1qqbcbacba不妨设, , 则q10,20q)()()()()(22121bfqqbfbfcfafqq, 又 a+c=2b, ac-b2=2()04ac即 acb21222121221,02,12qqqqbbqqq q)()()(2bfcf
20、af(3). 0)(), 1(; 0)() 1 ,0(), 0()(, 0) 1(xfxxfxxff时，当时单调递增，当在又).()(, 0),()(),()(, )()(nfmfnmnfmfnfmfnfmf令 m=b1q,n=2qb,b, 1且 q021q精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页则 f(m)+f(n)=(q)21qf(b)=f(mn)=0,22)(,10 .12nmfmfmnmn且22)(),2(2)(, 12, 1nmfmfnmfmfmnnmm22nmm即 4m=,222nmnm2224nmm, 由
21、 0n1 得, 12402mm1m, 223m11. 【解析】（）取a=b=0 得 f(0)=0,取 a=b=1 得 f(1)=0, （）取a=b=-1 得 f(1)=-2f(-1),所以 f(-1)=0, 取 a=x,b=-1得 f(-x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x), 所以 f(x) 是奇函数； (II)由)14()4()14()()4()()7()7()2()2(xfxfxfxfxfxfxfxfxfxf)10()(xfxf(II) 又0)9()7()13()11(,0)0()3(ffffff故 f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解, 从而可知函数)(xfy在0,2005上有 402 个解 , 在 -2005.0上有 400 个解 , 所以函数)(xfy在-2005,2005上有 802 个解 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页