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1、抽象函数的定义域总结解题模板1.已知)(xf的定义域，求复合函数xgf的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(xf的定义域为bax,，求出)(xgf中bxga)(的解x的范围，即为)(xgf的定义域。2.已知复合函数xgf的定义域，求)(xf的定义域方法是：若xgf的定义域为bax,，则由bxa确定)(xg的范围即为)(xf的定义域。3.已知复合函数( )f g x的定义域，求 ( )f h x的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由xgf定义域求得xf的定义域，再由xf的定义域求得
2、xhf的定义域。4. 已知( )f x的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。例 1 已知函数( )f x的定义域为15 ，求(35)fx的定义域分析： 若( )fx的定义域为axb，则在( )f g x中，( )ag xb，从中解得x的取值范围即为( )f g x的定义域本题该函数是由35ux和( )f u构成的复合函数，其中x是自变量，u是中间变量，由于( )f x与( )f u是同一个函数，因此这里是已知15u，即1355x，求x的取值范围解：( )f x的定义域为15，1355
3、x，41033x故函数(35)fx的定义域为4 1033，变式训练：若函数)(xfy的定义域为2,21，则)(log2xf的定义域为。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 分析： 由函数)(xfy的定义域为2,21可知：221x；所以)(log2xfy中有2log212x。解： 依题意知：2log212x解之，得：42x)(log2xf的定义域为42|xx例 2 已知函数2(22)f xx的定义域为0 3，求函数( )
4、fx的定义域分析： 若( )f g x的定义域为mxn，则由mxn确定的( )g x的范围即为( )f x的定义域这种情况下，( )f x的定义域即为复合函数( )f g x的内函数的值域。本题中令222uxx，则2(22)( )f xxf u，由于( )f u与( )fx是同一函数，因此u的取值范围即为( )f x的定义域解 ：由03x，得21225xx令222uxx，则2(22)( )f xxf u，15u故( )f x的定义域为15，变式训练：已知函数的定义域为，则的定义域为_。解：由，得所以，故填例 3. 函数定义域是，则的定义域是（）A. B. C. D. 分析：已知的定义域，求的定
5、义域，可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域解：先求的定义域名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 的定义域是，即的定义域是，再求的定义域的定义域是，故应选 A 变式训练：已知函数f(2x）的定义域是-1，1 ，求 f(log2x) 的定义域 .分析：先求2x的值域为 M则 log2x 的值域也是M ，再根据 log2x 的值域求定义域。解y=f(2x) 的定义域是 -1 ，1 ，即 -1 x1, 212x2
6、.函数 y=f(log2x) 中21log2x2. 即 log22log2xlog24, 2x4.故函数 f(log2x) 的定义域为2，4例 4 若( )f x的定义域为3 5，求( )()(25)xfxfx的定义域分析： 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是： 先求出各个函数的定义域，然后再求交集解： 由( )f x的定义域为35，则( )x必有353255xx，解得40 x所以函数( )x的定义域为4 0，变式训练：已知函数的定义域是， 求的定义域。分析：分别求 f(x+a) 与 f(x-a)的定义域，再取交集。解：由已知，有，即函数的定义域由确定名师资料总结 - -
7、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 函数的定义域是例 5 若函数 f(x+1)的定义域为 21，2，求 f(x2)的定义域分析： 已知 f(x+1)的定义域为 21，2，x 满足21x2，于是21x13，得到f(x)的定义域，然后f(x2)的定义域由f(x)的定义域可得解： 先求 f(x)的定义域：由题意知21x2，则21x13，即 f(x)的定义域为 21，3，再求 fh(x) 的定义域：21x23，解得3x22或22x3f(x2)的
8、定义域是 x| 3x22或22x3例 6、 某单位用木料制作如图所示的框架, 框架的下部是边长分别为x、y( 单位： m)的矩形 . 上部是等腰直角三角形 . 要求框架围成的总面积8cm2. 问 x、 y 分别为多少 ( 精确到 0.001m) 时用料最省 ? 分析： 应用题中的定义域除了要使解析式有意义外，还需考虑实际上的有效范围。实际上的有效范围，即实际问题要有意义，一般来说有以下几中常见情况：（1）面积问题中，要考虑部分的面积小于整体的面积；（2）销售问题中，要考虑日期只能是自然数，价格不能小于 0 也不能大于题设中规定的值（有的题没有规定）；（3）生产问题中，要考虑日期、月份、年份等只
9、能是自然数，增长率要满足题设；（ 4）路程问题中，要考虑路程的范围。本题中总面积为8412xxySS矩形三角形，由于0 xy，于是8412x，即24x。又0 x，x的取值范围是240 x。解： 由题意得 xy+41x2=8,y=xx482=48xx(0 x42). 于是 , 框架用料长度为名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - l=2x+2y+2(x22)=(23+2)x+x164246. 当(23+2)x=x16, 即
10、 x=842时等号成立 . 此时, x 2.343,y=222.828.故当 x 为 2.343m,y 为 2.828m 时 , 用料最省 . 变式训练：13. （2007北京理 ，19）如图，有一块半椭圆形钢板，其长半轴长为2r ，短半轴长为r. 计划将此钢板切割成等腰梯形的形状, 下底 AB是半椭圆的短轴，上底CD的端点在椭圆上. 记 CD=2x,梯形面积为S.(1) 求面积 S以 x(2) 求面积 S的最大值 .解（ 1）依题意，以AB的中点 O为原点建立直角坐标系O-xy（如图），则点 C的横坐标为x, 点 C的纵坐标 y 满足方程142222ryrx(y 0),解得 y=222xr
11、(0 xr).S=21(2x+2r) 222xr=2(x+r) 22xr, 其定义域为 x|0 xr.（2）记 f(x)=4(x+r)2(r2-x2),0 xr,则 f (x)=8(x+r)2(r-2x).令 f (x)=0,得 x=21r. 因为当 0 x0;当2rxr 时,f (x)0 ，所以 f （21r ）是 f(x)的最大值 .因此，当 x=21r 时， S也取得最大值，最大值为2233)21(rrf.即梯形面积S的最大值为.2332r巩固训练 （各专题题目数量尽量一致，各题均附答案及解析）1. 设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为 _。（2）函数的定义域为 _ 。分析：做法与例
12、题1 相同。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 解： （1）由已知有，解得故的定义域为（2）由已知，得，解得故的定义域为2、已知函数的定义域为，则的定义域为_。分析：做法与例题2 相同。解：由，得所以，故填3、已知函数的定义域为，则 y=f(3x-5)的定义域为_。分析：做法与例题3 相同。解：由，得所以，所以 0 3x-51,所以 5/3x2.4、设函数y=f(x)的定义域为 0，1 ，q 求 y=f ()31()31xfx定义域。分析：做法与例题4 相同。解 ：由条件， y 的定义域是f)31(x与)31(x定义域的交集 .列出不等式组,32313431323113101310 xxxxx故 y=f)31()31(xfx的定义域为32,31. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -