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1、2018 高考数学模拟试题（ 2）南师大数学之友数学 I 注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求1本试卷共4 页，包含填空题（第1 题第 14 题） 、解答题（第15 题第 20 题） 本卷满分为 160 分，考试时间为120 分钟考试结束后，请将答题卡交回2答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3作答试题，必须用0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上指定位置作答，在其它位置作答一律无效4如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗参考公式：球体的体积公式：V334R，其中为球体的半径一、填空题（本大题共14
2、 小题，每小题5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1已知集合,02/2RxxxxM，,02/2RxxxxN，则NM 2已知复数z 满足z32ii，其中 i 为虚数单位，则复数z 的虚部为 3某校共有400 名学生参加了一次数学竞赛，竞赛成绩的频率分布直方图如图所示成绩分组为 50，60)，60，70)， 90，100，则在本次竞赛中，得分不低于80 分的人数为4在标号为0，1，2，4 的四张卡片中随机抽取两张卡片，则这两张卡片上的标号之和为奇数的概率是 0.030 0.025 0.015 频率组距0 50 60 70 80 90 100 成绩(第 3 题)
3、 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 17 页 - - - - - - - - - 5运行如图所示的流程图，则输出的结果S是6已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn若 S1530，a71，则 S10的值为_7已知( )yf x 是R上的奇函数，且0 x时，( )1f x，则不等式2()(0)f xxf的解集为8在直角坐标系xOy 中，双曲线x2y231 的左准线为l，则以 l 为准线的抛物线的标准方程是 9四面体ABCD 中，AB平面 BCD ， CD平面
4、ABC ，且1cmABBCCD，则四面体 ABCD 的外接球的表面积为2cm . 10. 已知 0yx，且 tantan2xy，1sinsin3xy，则xy. 11在平面直角坐标系xOy 中，若直线 l ：20 xy与圆 C ：22()()5xayb相切，且圆心 C 在直线 l 的上方，则 ab 的最大值为12正五边形ABCDE 的边长为 23，则AEAC的值为13设0a，e 是自然对数的底数，函数2,0,( ),0 xaex xf xxaxa x有零点，且所有零点的和不大于6，则 a 的取值范围为14若对任意实数x 和任意 0，2，恒有 (x+2sin cos )2+(x+asin +aco
5、s )218，则实数 a 的取值范围是开始S2，i1 i2018 11SSii+1 结束输出 SY N （第 5 题）名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 17 页 - - - - - - - - - 二、解答题（本大题共6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）15 (本小题满分14 分) 如图，在直角坐标系xOy 中，角的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点 A， 且(,)62. 将
6、角的终边按逆时针方向旋转3， 交单位圆于点B， 记 A(x1，y1)，B(x2，y2). （1）若113x，求2x；（2）分别过A，B 作 x 轴的垂线，垂足依次为C，D，记 AOC 的面积为S1，BOD 的面积为 S2，若122SS，求角的值 . . 16.（本小题满分14 分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ACBC，BC=BB1，D 为 AB 的中点 . （1）求证： BC1平面 A1CD；（2）求证： BC1平面 AB1C. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
7、 第 3 页，共 17 页 - - - - - - - - - 17 (本小题满分14 分) 某生物探测器在水中逆流行进时，所消耗的能量为nEcv T ，其中v为探测器在静水中行进时的速度，T为行进时的时间（单位：小时），c为常数，n为能量次级数如果水的速度为 4 km/h，该生物探测器在水中逆流行进200 km（1）求T关于v的函数关系式；（2）(i)当能量次级数为2 时，求该探测器消耗的最少能量；(ii) 当能量次级数为3 时，试确定v的大小，使该探测器消耗的能量最少18(本小题满分16 分)如图，椭圆22:143xyC的右焦点为F，右准线为l，过点 F 且与 x 轴不重合的直线交椭圆于
8、A，B 两点， P 是 AB 的中点，过点B 作 BMl 于 M，连 AM 交 x 轴于点 N，连 PN. （1）若165AB，求直线 AB 的倾斜角；（2）当直线AB 变化时，求PN 长的最小值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 17 页 - - - - - - - - - 19 (本小题满分16 分) 设函数( )e()xf xaxa aR ，其图象与x轴交于1(0)A x ，2(0)B x ，两点，且x1x2（1）求a的取值范围；（2）证明：120
9、fx x（( )fx 为函数( )f x 的导函数）；（3）设点 C 在函数( )yf x 的图象上，且ABC 为等腰直角三角形，记2111xtx，求 (1)(1)at的值20 (本小题满分16 分) 已知数列 na满足*111,|,.nnnaaap nN（1）若 na是递增数列，且12,3,23aaa成等差数列，求p的值；（2）若12p，且21na是递增数列， 2na是递减数列，求数列na的通项公式名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 17 页 - - - -
10、 - - - - - 数学（附加题）21 【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做2 题，每小题10 分，共 20 分请在答题卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 4 1：几何证明选讲如图，圆 O 的直径 AB8，C 为圆周上一点，BC4，过 C 作圆的切线l，过 A 作直线l 的垂线 AD，D 为垂足， AD 与圆 O 交于点 E，求线段AE 的长B选修 4 2：矩阵与变换已知矩阵M1 22 x的一个特征值为3，求 M 的另一个特征值及对应的一个特征向量OAEBClD(第 21 题 A) 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1 本试卷共2
11、页，均为非选择题（第2123 题） 。本卷满分为40 分，考试时间为30 分钟。考试结束后，请将答题卡交回。2 答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔填写在答题卡上，并用2B 铅笔正确填涂考试号。3 作答试题必须用书写黑色字迹的0.5 毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 17 页 - - - - - - - - - C选修 4 4：坐标系与参数方程已知点 P 是曲线 C：sin3co
12、s2yx（为参数，2）上一点， O 为原点若直线 OP 的倾斜角为3，求点 P的直角坐标D选修 4 5：不等式选讲已知实数x，y，z满足 x + y + z = 2，求22232zyx的最小值【必做题】第22 题、第 23 题，每题10 分，共计20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分10 分）某小组共10 人，利用暑期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3 的人数分别为 3，3， 4，现从这 10 人中选出 2 人作为该组代表参加座谈会（1）记 “ 选出 2 人参加义工活动的次数之和为4” 为事件 A，求事件A 的发生的概率；（2）设
13、X 为选出 2 人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望23 （本小题满分10 分）在集合A1，2，3，4，2n 中，任取 m（mn，m ，nN*）元素构成集合mA 若mA 的所有元素之和为偶数，则称mA 为A的偶子集， 其个数记为()f m；若mA 的所有元素之和为奇数，则称mA 为A的奇子集，其个数记为( )g m令()()()F mf mg m（1）当2n时，求(1)F，(2)F的值；（2）求()F m名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7
14、页，共 17 页 - - - - - - - - - 2018高考数学模拟试题（2）数学 I 答案一、填空题答案1. 0 2. 3 3. 120 4. 215. 216. 5 7. （0，1）8. y22x 9. 310. 311. 258解：因为直线l ：20 xy与圆 C ：22()()5xayb相切，所以|2 |55ab又因为圆心C 在直线 l 的上方，所以20ab，所以25ab，522 2,abab所以 ab 的最大值为25812. 6解：利用AC在AE上的投影得，221AEAEAC=6136, 40 ,解：0a0 x时，01e)(xax f，所以)(xf在)0(,单调递减， 且0)0
15、(af，所以)(xf在)0(,有一个小于0 的零点0 x时，)(xf在)0( ,单调递增，因为1) 1(f，所以)(xf在)0( ,有一个小于1 的零点因此满足条件0a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 17 页 - - - - - - - - - （1）10a时，)(xf在)0(,单调递减，0)0(af，所以)(xf在0,上没有零点又因为042aa，故)(xf在)0( ,上也没有零点.因此不满足题意（2）41a时，)(xf在a1ln,上单调递减，在01ln,
16、a上单调递增，0ln11lnaaf，所以)(xf在0,上没有零点又因为042aa，故)(xf在)0( ,上也没有零点 .因此不满足题意（3）4a时，04404)(2xxxxxexfx,，)(xf在0,上没有零点，零点只有2，满足条件（4）4a时，)(xf在0,上没有零点，在)0( ,上有两个不相等的零点，且和为a，故满足题意的范围是64a综上所述， a 的取值范围为6 ,40,14. a6或 a72解：因为222()2abab对任意a、 b 都成立 ，所以， (x+2sin cos )2+(x+asin +acos )212(2sin cos -asin -acos )2，(2sin cos
17、-asin -acos )214，即对任意 0，2，都有132sincos2sincosa或132sincos2sincosa，因为132sincos512sincossincos2 sincos,当 0，2时， 1sincos2，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 17 页 - - - - - - - - - 所以72a，同理 a6. 因此，实数a 的取值范围是a 6或 a72二、解答题答案15.解： （1）由三角函数定义，1cosx，2cos()3x，因为
18、(,)62，1cos3，所以222sin1cos3. 21312 6cos()cossin3226x. （2）依题意，1siny，2sin()3y，所以111111cossinsin 2224Sx y，)322sin(41-)3sin()3cos(2121222yxS,依题意，2sin 22sin(2)3，化简得cos20，因为62，则23，所以22，即4.16.证明：（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1平面 A1B1C1，四边形 ACC1A1为矩形，设 AC1A1C=G，则 G 为 AC1中点，D 为 AB 中点，连 DG，则 DGBC1. 因为 DG平面 A1CD，BC1平面 A
19、1CD，所以 BC1平面 A1CD. （2）由（ 1）四边形 BCC1B1为矩形，又BC=BB1，则四边形 BCC1B1为正方形，所以BC1B1C，由（ 1）CC1平面 ABC，所以 CC1AC，又 ACBC，则 AC平面 BCC1B1，ACBC1，因此， BC1平面 AB1C.名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 10 页，共 17 页 - - - - - - - - - 17.解： （1）由题意得，该探测器相对于河岸的速度为200T，又该探测器相对于河岸的速度比相对于水
20、的速度小4 km/h，即4v，所以200T4v，即2004Tv，4v；（2）() 当能量次级数为2 时，由（ 1）知22004vEcv，4v，2(4)42004vcv16200(4)84cvv162002 (4)84cvv3200c=（当且仅当1644vv即8vkm/h 时，取等号）（ 9 分）() 当能量次级数为3 时，由（ 1）知32004vEcv，4v，所以222(6)2000(4)vvEcv得6v，当6v时，0E；当6v时，0E，所以当6v时，minE21600c=答： () 该探测器消耗的最少能量为3200c；() 6vkm/h 时，该探测器消耗的能量最少18. 解（1）显然)0,
21、1(,21,3, 2Feba，当 ABx 轴时，易得221635bABa，不 合 题 意 . 所 以 可 设AB 的 方 程 为(1)(0)yk xk， 与 椭 圆 方 程 联 立 得2222(43)84120kxk xk，设 A（x1， y1）,B（x2，y2）, 则212221228,4341243kxxkkx xk，2222222222212234) 1(12341244)348)(1()(1(kkkkkkkxxkAB，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 11 页，
22、共 17 页 - - - - - - - - - 因此2212(1)16435kk，解得3k，所以直线AB的倾斜角等于60o或120o. （ 2） 因 为 椭 圆 的 右 准 线 的 方 程 为4x， 由 （ 1） ， 当AB 不 垂 直于x 轴 时 ， 点211(4, (1),(, (1)Mk xA x k x， 所以直线 AM 的方程为12111()(1)()4k xxyk xxxx，令 y=0，得1121254Nxx xxxx2211221212412205454343kkxxkkxxxx=1121255()522xxxxx. 当 ABx 轴时，易得52Nx，所以无论AB 如何变化，点N
23、 的坐标均为5(,0)2. 因此，当 ABx 轴时， PN 取最小值， PNmin=53122. 19.解（1）( )exfxa 若0a，则( )0fx，则函数( )f x 是单调增函数，这与题设矛盾所以0a，令( )0fx，则lnxa 当lnxa 时，( )0fx，( )f x 是单调减函数；当lnxa 时，( )0fx，( )f x 是单调增函数 . 于是当lnxa 时，( )f x 取得极小值因为函数( )e()xfxaxa aR 的图象与x轴交于两点1(0)A x ，2(0)B x ，(x1x2)，所以(ln)(2ln)0faaa，即2ea. 此时，存在 1ln(1)e0af，；存在3
24、3lnln(3ln)3 lnaafaaaaa，3230aaa，又由( )f x 在 (ln )a，及 (ln)a，上的单调性及曲线在R 上不间断，可知2ea为所求取值范围 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 17 页 - - - - - - - - - （2）因为1212e0e0 xxaxaaxa，两式相减得2121eexxaxx记21(0)2xxs s，则121221212221eeee2(ee)22xxxxxxssxxfsxxs，设( )2(ee )
25、ssg ss，则( )2(ee )0ssgs，所以( )g s 是单调减函数，则有( )(0)0g sg，而122e02xxs，所以1202xxf又( )exfxa 是单调增函数，且121 22xxx x所以120fx x（3）依题意有e0ixiaxa，则(1)e0ixia x112ixi（， ）于是12212e(1)(1)xxaxx，在等腰三角形ABC 中，显然 C = 90 ，所以12012()2xxxxx，即00()0yf x，由直角三角形斜边的中线性质，可知2102xxy ，所以21002xxy，即1221212e()022xxxxaxxa，所以211212(1)(1)()022xxa
26、axxxxa，即211212(1)(1)(1)(1)(1)(1)022xxaaxxxx因为110 x，则22211111111101212xxxxaaxx，又2111xtx，所以221(1)(1)022aattt，即211at，所以 (1)(1)2.at20. 解： （1）因为 na是递增数列，所以nnnpaa1，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 17 页 - - - - - - - - - 又11a，1, 1232ppapa，因为12,3,23aaa成等
27、差数列，所以pppppaaa223123 , 333144,34，解得0,31pp，当0p，01nnaa，与 na是递增数列矛盾，所以31p. （2）因为 21na是递增数列，所以01212nnaa，于是nnaa2120122nnaa由于1222121nn，所以122212nnnnaaaa由得0122nnaa，所以122121222121nnnnnaa因为 2na是递减数列，所以同理可得0212nnaa，nnnnnaa21222122121. 由得nnnnaa2111，所以123121nnnaaaaaaaa123122121211nn11213134211211211nnn，所以数列 na的通
28、项公式为1213134nnna数学答案名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 17 页 - - - - - - - - - 21 【选做题】答案A选修 4 1：几何证明选讲解：连结 OC，BE因为 AB 是圆 O 的直径，所以BEAE因为 AB8，BC4，所以 OBOCBC4，即 OBC 为正三角形所以 BOC60 又直线 l 切O 与于点 C，所以 OCl因为 AD l，所以 ADl所以 BAD BOC60 在 RtBAE 中，因为 EBA90 BAD30 ，
29、所以 AE12AB4B选修 4 2：矩阵与变换解：矩阵 M 的特征多项式为f( ) 1 22 x( 1)( x)4因为 13 是方程 f( ) 0 的一个根，所以 (31)(3x)40，解得 x1由( 1)( 1)40，得 1 或 3，所以 2 1设 2 1 对应的一个特征向量为 xy，则2x2y0，2x2y0，从而 yx取 x1，得 y 1，所以矩阵M 的另一个特征值为1，对应的一个特征向量为 11C选修 4 4：坐标系与参数方程解：由题意得 ,曲线 C 的普通方程为22143xy(1) 00sin2y直线 OP 的方程为3yx(2) OAEBClD(第 21 题 A) 名师资料总结 - -
30、 -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 17 页 - - - - - - - - - 联立 (1)(2) 得2 552 155xy（舍）或2 552 155xy所以点 P 的坐标为2 52 15(,)55D选修 4 5：不等式选讲解：由柯西不等式可知22222221111(231)()()1 (23)2323xyzxyz,所以2222()24231111123xyzxyz, 当且仅当1112,114,116zyx时取等号. 【必做题】答案22.解： （1）由已知有P(A) =C31
31、C41+C32C102=13, 所以事件A 发生的概率为13. （ 2）随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2 P(X = 0) =C32+C32+C42C102=415；P(X =1)=C31C31+C31C41C102=715；P(X = 2) =C31C41C102=415. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 17 页 - - - - - - - - - 所以随机变量X 的分布列为X 0 1 2 P 4157154151.154215711540E
32、(X)23.解： （ 1）当2n时，集合为1,2,3,4当1m时，偶子集有2，4，奇子集有1，3，(1)2f，(1)2g，(1)0F；当2m时，偶子集有2, 4，1,3，奇子集有1,2，1,4，2,3，3, 4，(2)2f，(2)4g，(2)2F；（2）当m为奇数时，偶子集的个数0224411()C CC CC CCCmmmmnnnnnnnnf mL，奇子集的个数11330()C CC CC Cmmmnnnnnng mL，所以()()f mg m，()()()0F mf mg m当m为偶数时，偶子集的个数022440()C CC CC CC Cmmmmnnnnnnnnf mL，奇子集的个数11
33、3311()C CC CCCmmmnnnnnng mL，所以()()()F mf mg m0112233110C CC CC CC CCCC CmmmmmmnnnnnnnnnnnnL一方面，01220122(1) (1)(CCCC)CCC( 1) CnnnnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxLL，所以(1) (1)nnxx中mx的系数为0112233110C CC CC CC CCCC CmmmmmmnnnnnnnnnnnnL；另一方面，2(1) (1)(1)nnnxxx，2(1)nx中mx的系数为22( 1) Cmmn，故()F m22( 1) Cmmn综上，22( 1) C ,()0,mmnmF mm为偶数，为奇数名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 17 页 - - - - - - - - -