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1、1 2019-2020 年高考数学大题专题练习 立体几何（二）27.如图，四边形ABCD 与 BDEF 均为菱形，60DABDBF，且 FA=FC. （1）求证： AC平面 BDEF；（2）求直线AF 与平面 BCF 所成角的正弦值. 28. 如 图 （ 甲 ） ， 在 直 角 梯 形ABED中 ，/ /ABDE，ABBE，ABCD， 且BCCD，2AB，F、H、G 分别为 AC、AD、DE 的中点，现将ACD沿CD折起，使平面 ACD平面 CBED，如图（乙）（1）求证：平面FHG 平面 ABE；（2）若43BC，求二面角D-AB-C 的余弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - -
2、 - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 40 页 - - - - - - - - - 2 29. 如 图 , 在 四 棱 锥PABCD中 , 平 面PAB平 面,90 ,ABCD ADBCABCoPPA3,1,2,3,PBBCABADO为AB的中点 . （1）证明 :POCD；（2）求二面角CPDO的余弦值 . 30.如图所示的几何体中，111ABCA B C为三棱柱，且1AAABC平面，四 边 形ABCD为 平 行 四 边 形 ，2ADCD，060ADC. （1）求证：11/ /C DAB C平面；（2）若1
3、AAAC，求证：111ACA B CD平面；（ 3） 若2CD， 二 面 角1AC DC的 余 弦 值 为 若55，求三棱锥11CACD的体积名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 40 页 - - - - - - - - - 3 31.如图，四边形ABCD 中， ABAD，ADBC，AD=6，BC=2AB=4，E、F 分别在BC、AD 上，EFAB，现将四边形ABCD 沿 EF 折起，使平面ABEF平面 EFDC （1）若 BE=1，是否存在折叠后的线段AD 上
4、存在一点P，且 APPDuuu ru uu r，使得CP平面ABEF？若存在，求出的值；若不存在，说明理由（2）求三棱锥A-CDF 的体积的最大值，并求此时点F 到平面 ACD 的距离FECBADFECBAD32.已知在四棱锥P - ABCD 中，底面ABCD 为矩形，且AD=2，AB=1，PA平面ABCD ，E，F 分别是线段AB，BC 的中点 . （1）证明： PFDF ；（2）在线段PA 上是否存在点G，使得 EG平面 PFD？若存在，确定点G 的位置；若不存在，说明理由. （3）若 PB与平面 ABCD 所成的角为45 ,求二面角 A - PD - F 的余弦值 . 名师资料总结 -
5、- -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 40 页 - - - - - - - - - 4 33.如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中， CA4，CB4，CC122，ACB90 ，点 M 在线段 A1B1上. (1)若 A1M3MB1，求异面直线AM 和 A1C 所成角的余弦值；(2)若直线 AM 与平面 ABC1所成角为 30 ，试确定点M 的位置34.如图，几何体EFABCD 中 ，CDEF 为边长为2 的正方形， ABCD 为直角梯形，ABCD，AD DC，AD=2，AB=
6、4，ADF=90 （）求证： ACFB（）求二面角EFBC 的大小名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 40 页 - - - - - - - - - 5 35.如图，在四棱锥PABCD中，E是PC的中点，底面ABCD为 矩 形 ，4AB，2AD，PAPD， 且 平 面PAD平面ABCD，平面ABE与棱PD交于点F，平面PCD与平面PAB交于直线l. （1）求证：lEF；（2）求PB与平面ABCD所成角的正弦值为2 2121，求PAEB的余弦值 . 36.在四棱锥
7、PABCD 中，AD BC，AD=AB=DC=21BC=1，E 是 PC 的中点，面PAC面ABCD（）证明： ED面 PAB；（）若 PC=2，PA=3，求二面角APCD 的余弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 40 页 - - - - - - - - - 6 37.如图，在四棱锥PABCD 中， ABC=ACD=90 ， BAC=CAD =60 ，PA平面ABCD，PA=2，AB=1（1）设点 E 为 PD 的中点，求证：CE平面 PAB；（2）线段
8、PD 上是否存在一点N，使得直线CN 与平面 PAC 所成的角 的正弦值为515？若存在，试确定点N 的位置，若不存在，请说明理由38.如图，已知四棱锥EABCD的底面为菱形，且60ABC，2ABEC，2AEBE（1）求证：平面EAB平面 ABCD. （2）求二面角A-EC-D 的余弦值 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 40 页 - - - - - - - - - 7 39.如图，在三棱锥P-ABC 中，侧面 PAB 为边长为22的正三角形，底面ABC
9、 为以 AB 为斜边的等腰直角三角形，PCAC（）求证： PC平面 ABC；（）求二面角B-AP-C 的的余弦值. 40.在四棱锥PABCD 中，底面是边长为2 的菱形，BAD =60 ，PB=PD=2，ACBD=O（）证明：PCBD（）若 E 是 PA的中点，且BE 与平面 PAC 所成的角的正切值为36，求二面角AECB 的余弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 7 页，共 40 页 - - - - - - - - - 8 41. 如图，四棱锥ABCDP中，侧面PA
10、D为等边三角形且垂直于底面ABCD，,22BCAD90ABCBAD. （1）证明：BCPC；（2）若直线PC与平面PAD所成角为 30 ，求二面角DPCB的余弦值 . 42.如图，在底面为矩形的四棱锥PABCD中，PBAB. （1）证明：平面PBC平面PCD；（2）若异面直线PC与BD所成角为60o，PBAB，PBBC，求二面角BPDC的大小 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 8 页，共 40 页 - - - - - - - - - 9 43.如图，已知四棱锥PAB
11、CD的底面是菱形，3BAD，2ABPD，2PBPC. （1）求证：平面PBC平面ABCD；（2）求直线PC与平面PAB所成角的正弦值. 44.如图，矩形ABCD所在的平面和平面ABEF互相垂直，等腰梯形ABEF中，EFAB/，2AB，1ADAF，060BAF,PO,分别为CBAB,的中点，M为底面OBF的重心 . （）求证：PM平面AFC；（）求直线AC与平面CEF所成角的正弦值. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 9 页，共 40 页 - - - - - - - -
12、- 1 045.如图，在四棱锥PABCD中，PA面ABCD，/ /ABCD，CDAD，22ADCDAB，E，F分别为PC，CD的中点（）求证：平面ABE平面BEF；（）设PAa，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角,43，求a的取值范围46.如图所示ABCD中，/ /ADBC，ADDCAB，60ABC，将三角形ABD沿BD折起，使点A在平面BCD上的投影G落在BD上. （）求证：平面ACD平面ABD；（）求二面角GACD的平面角的余弦值. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - -
13、 第 10 页，共 40 页 - - - - - - - - - 1 147.如图，在三棱锥PABC中，ABBC，PAPB，E为AC的中点 . （1）求证：PEAB；（2）设平面PAB平面ABC，2PBBC，4AC，求二面角BPAC的平面角的正弦值 . 48.如图，在三棱锥PABC中，平面PAC平面PAB，PAC为等边三角形，ABPB且2ABPB，O为PA的中点，点M在AC上. （1）求证：平面BOM平面PAC；（2）求点P到平面ABC的距离 . 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
14、- - 第 11 页，共 40 页 - - - - - - - - - 1 249.如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为直角梯形，ADBC，90BAD，22PAADABBC，M为PB的中点，平面ADM交PC于N点. （1）求证：PBDN；（2）求二面角PDNA的余弦值 . 50.如图 1，在直角梯形ABCD 中， ADC=90 ，CDAB，AB=4，AD=CD=2，M 为线段AB 的中点将 ADC 沿 AC 折起，使平面ADC平面 ABC，得到几何体DABC，如图 2所示（ ）求证： BC平面 ACD；（）求二面角ACDM 的余弦值名师资料总结 - - -精品资料欢迎下
15、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 12 页，共 40 页 - - - - - - - - - 1 351.已知四边形ABCD 为直角梯形，BCD=90 ，ABCD，且 AD=3，BC=2CD=4，点 E，F 分别在线段AD 和 BC 上，使 FECD 为正方形，将四边形ABFE 沿 EF 翻折至使二面角BEFC 的所成角为60（）求证： CE面 A DB（ ）求直线 AB与平面 FECD 所成角的正弦值52.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，M是PA的中点，PD平面ABCD，且4PDCD，2A
16、D（1）求AP与平面CMB所成角的正弦（2）求二面角MCBP的余弦值DPABCM名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 13 页，共 40 页 - - - - - - - - - 1 4试卷答案27.（1）设AC与BD相交于点O，连接FO，四边形ABCD为菱形， ACBD，且O为AC中点，FAFC，ACFO, 又FOBDO，AC平面BDEF. （2）连接DF，四边形BDEF为菱形，且60DBF，DBF为等边三角形，O为BD中点， FOBD，又ACFO，FO平面ABCD. ,O
17、A OB OF 两两垂直， 建立空间直角坐标系Oxyz，如图所示，设2AB，四边形ABCD为菱形，60DAB，2,2 3BDAC. DBF为等边三角形，3OF. 3,0,0 ,0,1,0 ,3,0,0 ,0,0,3ABCF，3,0,3 ,3,0,3 ,3,1,0AFCFCBuuu ruuu ru uu r. 设平面BCF的法向量为, ,nx y zr，则33030CFnxzCB nxyu uu rru uu rr，取1x，得1,3, 1nr. 设直线AF与平面BCF所成角为，则10sincos,5AF nAF nAFnuu u rruuu r ruuu rr. 28.（1）证明：由图（甲）结合
18、已知条件知四边形CBED为正方形，如图（乙），FHG、分别为ACADDE、的中点， / /,/ /FHCD HGAE/ /CDBE，/ /FHBEBE面ABE，FH面ABE/ /FH面ABE同理可得/ /HG面ABE，又FHHGH,平面/ /FHG平面ABE名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 14 页，共 40 页 - - - - - - - - - 1 5（2）43BC这时23AC，从而222 53ABACBC，过点C作CMAB于M，连结MD,CDAC CDBC ACB
19、CC，CD面ABCCM面ABC，CMCD,AB面MCD，MD面MCD，ABMD，CMD是二面角DABC的平面角，由AB CMAC BC得244 533152 53AC BCCMAB，224 63 5MDMCCD，在Rt MCD中4 5615cos64 66MCCMDMD29.解：（ 1）联结,PO因为3,PAPBO为AB的中点 , 所以.POAB又平面PAB平面,ABCD交线为,ABPO平面,PAB所以.POABCD平面又CD平面,ABCD所以.POCD（ 2 ） 取 线 段CD的 中 点,E2OE，,OEBCP因 为90 ,ABCo所 以,.ABBC ABOE由（ 1）知 , .POABCD
20、平面故可以O为原点 , 射线,OB OE OP分别为,xyz轴, 轴轴的正半轴建立空间直角坐标系.Oxyz则(0,0,0),(1,1,0),(0,0, 2 2),( 1,3,0).OCPD名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 15 页，共 40 页 - - - - - - - - - 1 6于是( 1, 1,2 2),( 2,2,0),(0,0, 2 2).CPCDOPuuu ru uu ruu u r设平面CPD的一个法向量为111(,),xyzm由0,0CPCDuuu
21、ru uu rmm得111112 20,220 xyzxy令11,z得(2,2,1).m设平面OPD的法向量为222(,),xyzn由0,0OPODuuu ru uu rnn得2222 20,30zxy令23,x得(3,1,0).n所以4 24cos,.5510m nm nm n易知二面角CPDO的平面角为锐角,所以二面角CPDO的余弦值为4.530.（1）【证明】连1BC交1B C于M点，连BD交AC于N点，则1MNAB C平面. 由平几知：M为1BC的中点，N为BD的中点，即MN为1BC D的中位线 . 1/ /MNC D. 又1111,/ /C DAB CC DAB C平面平面. 3 分
22、（2）【证明】111,AAABCDACABCDAAACAACDQ平面平面. 又11111,AAACAAC CACACQ知为正方形. 在ACD中由余弦定理知：2223,ACCDADACCDCDAC得. 又111,ACAAACDA ACCI平面. 又1111,ACA ACCCDAC平面. 又1111,ACCDCACA B CDI平面. 7分（3）【解】作1CHC D交1C D于H，连AG，由（ 2）知：1ACCC D平面. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 16 页，共 4
23、0 页 - - - - - - - - - 1 7111,ACC DC DACHAHCAC DC平面为二面角的平面角. 9 分5cos,tan25ACAHCAHCCH；由2CD知：2 3AC得3CH；在1C CD中由平几知：12 3CC，于是得11AAC C为正方形 . 由（ 2）知：111111(2 32 3)2432CACDDA CCVV. 12分31. 解：（ 1）存在 P，使得 CP平面 ABEF，此时32证明：当32，此时35APAD，过 P 作MPFD，与 AF 交 M，则35MPFD，又5FD，故3MP，3EC，MPFDEC，MPEC，且 MPEC ，故四边形MPCE 为平行四边
24、形，PCME， CP? 平面 ABEF，ME平面 ABEF，CP平面 ABEF 成立（2）平面 ABEF平面 EFDC ，ABEF平面 EFDC =EF， AFEF，AF平面 EFDC ， BEx ， AFx ， (04)x，6FDx ，故三棱锥 A-CDF 的体积2111162(6)(6)332332xxVxxxx ，3x时，三棱锥的体积V有最大值，最大值为3建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)F，(0,0,3)A，(2,1,0)C，(0,3,0)D(0,3, 3)ADu uu r，( 2,2,0)CDuuu r，(0,0,3)FAuu u r名师资料总结 - - -精品资料欢迎下
25、载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 17 页，共 40 页 - - - - - - - - - 1 8设平面 ACD 的法向量为( , , )nx y zr，则00n ADn CDru uu rru uu r，330220yzxy，取1y，则1x，1z，(1,1,1)nr点 F 到平面 ACD 的距离|33|3n FAdnruu u rr32. （1）连接AF，则2AF，2DF. 又2AD，222DFAFAD ，DFAF又PA平面ABCD，DFPA.又 PAAFAI. DF平面PAF. PF平面PAF，DFP
26、F. （2）过点E作EHFD交AD于点H，则EH 平面PFD，且有14AHAD . 再过点H作HGDP交PA于点G，连接EG，则HG平面PFD且14AGAP . 平面EHG 平面PFD.EG平面PFD. 当G为PA的一个四等分点（靠近点A）时，EG平面PFD（3）PA平面ABCD，PBA是PB与平面ABCD所成的角，且45PBA，1PAAB. 取AD的中点M，连接FM，则FMAD，FM平面PAD，FMPD. 在平面PAD中，过点M作MNPD于点N，连接FN则PD平面FMN，则MNF为二面角APDF的平面角 . RtMNDRtPAD，MNMDPAPD1PA，1MD，5PD，且90FMN，名师资料
27、总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 18 页，共 40 页 - - - - - - - - - 1 955MN，305FN，6cos6MNMNFFN故二面角APDF的余弦值为6633. 解: 以 C 为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(4,0,0)，A1(4,0,22)，B1(0,4，22). (1)因为 A1M3MB1，所以 M(1,3,22). 所以1CA(4,0,22)，AM(3,3
28、,22). 所以 cos1CA，AM|11AMCAAMCA262443939. 所以异面直线AM 和 A1C 所成角的余弦值为3939.-8分(2)由 A(4,0,0)，B(0,4,0)，C1(0,0,22)，知AB(4,4,0)，1AC(4,0,22). 设平面 ABC1的法向量为n(a，b，c)，由001ACnABn得0224044caba，令 a1，则 b1，c2，所以平面ABC1的一个法向量为n(1,1，2). 因为点 M 在线段 A1B1上，所以可设M(x,4x,22)，所以AM(x4,4x,22). 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - -
29、- - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 19 页，共 40 页 - - - - - - - - - 2 0因为直线 AM 与平面 ABC1所成角为 30 ，所以 |cosn，AM|sin 3021. 由|nAM|n|AM|cosn，AM|，得|1 (x4)1 (4x)2 22| 28)4()4(22xx 21，解得 x2 或 x6. 因为点 M 在线段 A1B1上，所以 x2，即点 M(2,2,22)是线段 A1B1的中点 . -14分34. （）证明：由题意得，ADDC，ADDF ，且 DCDF=D，AD平面 CDEF ，ADFC，2分四边形 CDEF
30、为正方形 DCFC由 DCAD=D FC平面 ABCD，FCAC4分又四边形 ABCD 为直角梯形，ABCD， ADDC，AD=2，AB=4 22AC，22BC，则有 AC2+BC2=AB2ACBC由 BCFC=C，AC平面 FCB ，ACFB6分（）解：由（ I）知 AD，DC，DE 所在直线相互垂直，故以D 为原点，以DA DC DEuuu r uuu r uuu r，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz 7分可得 D（0， 0，0）， F（0，2，2）， B（2，4，0），E（0，0， 2）， C（0，2，0）， A（2，0，0），由（ ）知平面FCB
31、 的法向量为)0 ,2, 2(AC)0 ,2,0(EF，)2,2, 2(FB8分设平面 EFB 的法向量为),(zyxn则有00FBnEFn即022202zyxy名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 20 页，共 40 页 - - - - - - - - - 2 1令1z则) 1 , 0, 1 (n10分设二面角 EFBC 的大小为 ，有图易知为锐角212220120)2(1|cosACnACn所以二面角EFBC 的大小为312分35. 解：（1）矩形ABCD中，ABCDA
32、B面PCD，CD平面PCD，AB平面PCD，又AB平面ABE，平面 PCD I 平面ABEEF，ABEF，又平面 PAB I 平面PCDl，ABllEF. （2）取AD中点O，连接PO，PAPD，POAD，又平面PAD平面ABCD，且平面 PAD I 平面ABCDAD，PO平面ABCD，连接OB，则OB为PB在平面ABCD内的射影，PBO为PB与平面ABCD所成角， 2 21sin21PBO. 2 17tan17PBO，由题17OB，2PO取BC中点G，连接OG，以O为坐标原点，分别以OA OG ， OP 的方向分别为x，y， z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系：则：(002)P， ，(
33、100)A， ，(140)B， ，( 140)C， ，则1212E， ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 21 页，共 40 页 - - - - - - - - - 2 2(102)PA， ，3212AE， ，设平面PAE的法向量为()nxyz， ，于是00nPA nAE，203202xzxyz，令2x，则1y，1z平面PAE的一个法向量(211)n， ，同理平面ABE的一个法向量为(203)m， ，437 78cos78|613n mnmnm，. 可知二面角PAEB为
34、钝二面角所以二面角PAEB的余弦值为7 787836. 【分析】（ ）取 PB 的中点 F，连接 AF，EF，由三角形的中位线定理可得四边形ADEF是平行四边形得到DEAF，再由线面平行的判定可得ED面 PAB；（ ）法一、取BC 的中点 M，连接 AM ，由题意证得A 在以 BC 为直径的圆上，可得ABAC ，找出二面角APCD 的平面角求解三角形可得二面角APCD 的余弦值法二、由题意证得ABAC 又面 PAC平面 ABCD ，可得 AB面 PAC以 A 为原点，方向分别为x 轴正方向， y 轴正方向建立空间直角坐标系求出P的坐标，再求出平面 PDC 的一个法向量，由图可得为面 PAC 的
35、一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角APCD 的余弦值【解答】（ ）证明：取PB 的中点 F，连接 AF，EFEF 是PBC 的中位线， EFBC，且 EF=又 AD=BC ，且 AD=，AD EF 且 AD=EF ，则四边形 ADEF 是平行四边形DEAF，又 DE? 面 ABP，AF? 面 ABP，ED面 PAB；（）解：法一、取BC 的中点 M，连接 AM ，则 AD MC 且 AD=MC ，四边形ADCM是平行四边形，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第
36、22 页，共 40 页 - - - - - - - - - 2 3AM=MC=MB，则A在以BC为直径的圆上AB AC ，可得过 D 作 DGAC 于 G，平面 PAC平面 ABCD ，且平面 PAC 平面 ABCD=AC ，DG平面 PAC，则 DGPC过 G 作 GHPC 于 H，则 PC面 GHD，连接 DH，则 PCDH ， GHD 是二面角 APCD 的平面角在ADC 中，连接 AE，在 RtGDH 中，即二面角 APCD 的余弦值法二、取 BC 的中点 M，连接 AM ，则 AD MC，且 AD=MC 四边形 ADCM 是平行四边形，AM=MC=MB，则 A 在以 BC 为直径的圆
37、上，AB AC 面 PAC平面 ABCD ，且平面 PAC 平面 ABCD=AC ，AB 面 PAC如图以 A 为原点，方向分别为x 轴正方向， y 轴正方向建立空间直角坐标系可得，设 P（x，0，z），（ z0），依题意有，解得则，设面 PDC 的一个法向量为，由，取 x0=1，得为面 PAC 的一个法向量，且，设二面角 APCD 的大小为 ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 23 页，共 40 页 - - - - - - - - - 2 4则有，即二面角APCD的余
38、弦值37. 【分析】（ 1）取 AD 中点 M，利用三角形的中位线证明EM平面 PAB，利用同位角相等证明 MC AB，得到平面EMC 平面 PAB，证得 EC平面 PAB；（2）建立坐标系，求出平面PAC 的法向量，利用直线CN 与平面 PAC 所成的角 的正弦值为，可得结论【解答】（ 1）证明：取AD 中点 M，连 EM，CM，则 EM PAEM ? 平面 PAB，PA? 平面 PAB，EM 平面 PAB在 RtACD 中， CAD=60 ，AC=AM=2 ， ACM=60 而 BAC=60 ，MCAB MC ? 平面 PAB，AB ? 平面 PAB，MC平面 PABEM MC=M，平面
39、EMC 平面 PABEC? 平面 EMC ，EC平面 PAB（2）解：过A 作 AFAD ，交 BC 于 F，建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0）， B（，0）， C（，1，0）， D（0，4，0）， P（0，0，2），名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 24 页，共 40 页 - - - - - - - - - 2 5设平面 PAC 的法向量为=（x，y，z），则，取=（， 3，0），设=（01），则=（0，4 ， 2 ），=（ 1，22 ），|cos，|=，N 为
40、 PD 的中点，使得直线CN 与平面 PAC 所成的角 的正弦值为38. （1）证明：取AB的中点O，连接EO，CO2AEEB，AEB为等腰直角三角形EOAB，1EO又ABBC，60ABC，ABC是等边三角形 . 3CO，2EC，222ECEOCOEOCOEO平面ABCD，又EO平面EAB，平面EAB平面ABCD（2）解：以AB的中点O为坐标原点，OB所在直线为y轴，OE所在直线为z轴，如图建系则0, 1,0A，3,0,0C，3,2,0D，0,0,1E名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - -
41、- - - 第 25 页，共 40 页 - - - - - - - - - 2 63,1,0ACuuu r，3,0,1ECuu u r，0,2,0DCuuu r设平面DCE的法向量为, ,1nx yr，则00EC nDC nuu u r ruuu r r，即31020 xy，解得：330 xy，3,0,13nr同理求得平面EAC的一个法向量为3,1,13mu r2 7cos,7m nm nm nu r ru r ru r r，所以二面角AECD的余弦值为2 77. 39. 证明：（ ）取AB中点D，连结PDCD，APBPQ，PDABACBCQ，CDABPDCDDQI，AB平面PCD-3 分PC
42、Q平面PCD，PCAB，又 PCAC，PCABC平面- -6 分解：（ ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz则(0 0 0)(0 2 0)(2 0 0)CAB，设(0 0)Pt，-8 分2 2PBABQ，2t，(0 0 2)P， -9 分取AP中点E，连结BECE，ACPCQ，ABBP，CEAP，BEAPBEC是二面角BAPC的平面角(011)EQ， ，(011)ECuu u r， ，(211)EBuur， ， -10 分名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 26
43、页，共 40 页 - - - - - - - - - 2 723cos326EC EBBECEC EBuu u r uu rguu u ruu rgg二面角BAPC的余弦值为33 - -12 分40. 【分析】（）证明BDAC，BD PO，推出BD面PAC，然后证明BDPC（ ）说明 OE 是 BE 在面 PAC 上的射影， OEB 是 BE 与面 PAC 所成的角利用Rt BOE，在 RtPEO 中，证明 POAO推出 PO面 ABCD 方法一：说明 OHB 是二面角 AECB 的平面角通过求解三角形求解二面角AECB 的余弦值方法二：以建立空间直角坐标系，求出平面BEC 的法向量，平面AE
44、C 的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可【解答】（本小题满分12分）证明：（ ）因为底面是菱形，所以BDAC（ 1分）又 PB=PD，且 O 是 BD 中点，所以BD PO（ 2分）PO AC=O，所以 BD 面 PAC（3 分）又 PC? 面 PAC ，所以 BD PC（ 4 分）（ ）由（ ）可知， OE 是 BE 在面 PAC 上的射影，所以 OEB 是 BE 与面 PAC 所成的角在 RtBOE 中，BO=1，所以在 RtPEO 中，所以所以，又，所以 PO2+AO2=PA2，所以 POAO（ 6 分）又 POBD ，BD AO=O ，所以 PO面 ABCD （7 分）方法一：过
45、 O 做 OHEC 于 H，由（ ）知 BD 面 PAC ，所以 BD EC，所以 EC面 BOH ，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 27 页，共 40 页 - - - - - - - - - 2 8BHEC，所以 OHB 是二面角 AECB 的平面角（ 9分）在PAC 中，所以 PA2+PC2=AC2，即 APPC所以（ 10分），得，（11 分），所以二面角AECB 的余弦值为（ 12 分）方法二：如图，以建立空间直角坐标系，B（0，1，0），（ 9分）设面 BE
46、C 的法向量为，则，即，得方程的一组解为，即（ 10 分）又面 AEC 的一个法向量为，（ 11 分）所以，所以二面角AECB 的余弦值为（ 12 分）【点评】本题考查二面角的平面角的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力41. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 28 页，共 40 页 - - - - - - - - - 2 9（1）取AD的中点为O，连接COPO,，PAD为等边三角形，ADPO. 底面ABCD中，可得四边形ABCO为矩形，A
47、DCO，ADCOPO, 0平面POC，PC平面PCADPOC,. 又BCAD/，所以PCAD. （2）由面PAD面ADPOABCD,知，PO平面ABCD，OCODOP,两两垂直，直线PC与平面PAD所成角为30，即30CPO，由2AD，知3PO，得1CO. 分别以OPODOC,的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系xyzO，则),3,0,0(P),0, 1 ,0(D)0, 1, 1(),0,0, 1(BC，),0, 1 ,0(BC)0, 1 , 1(),3,0, 1(CDPC，设平面PBC的法向量为),(zyxn. 030zxy，则) 1 ,0 ,3(n，设平面PDC的法向量为),
48、(zyxm，030zxyx，则)1 ,3,3(m，772724|,cosnmnmnm, 由图可知二面角CSBA的余弦值772. 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 29 页，共 40 页 - - - - - - - - - 3 042. （1）证明：由已知四边形ABCD为矩形，得ABBC，PBAB，PBBCBI，AB平面PBC. 又/ /CDAB，CD平面PBC. CD平面PCD，平面PBC平面PCD. （2）解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz. 设
49、1PBAB，(0)BCa a，则(0,0,0)B，(0,0,)Ca，(1,0,0)P，(0,1, )Da，所以( 1,0,)PCauuu r，(0,1, )BDauuu r，则| cos60|PCBDPCBD?ouuu ruu u ruuu ruu u r，即22112aa，解得1a（1a舍去） . 设111(,)nx y zr是平面PBD的法向量，则00nBPnBD?ru uu rru uu r，即11100 xyz，可取(0,1, 1)nr. 设222(,)mxyzu r是平面PCD的法向量，则00mPDmCD?u ru uu ru ru uu r即222200 xyzy，可取(1,0,1
50、)mu r，所以1cos,2|n mn mnm?ru rr u rru r，由图可知二面角BPDC为锐角，所以二面角BPDC的大小为60o. 43. （1）证明：如图，名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 30 页，共 40 页 - - - - - - - - - 3 1取BC中点M，连接PM、DM、DB，则BCD和PBC分别是等边三角形、等腰直角三角形 . 故PMBC，DMBC，且1PM，3DM，所以222DMPMPD，故PMDM，所以PM平面ABCD. 又PM平面PBC