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1、函数的单调性教学目标:1.理解函数单调性概念2.掌握判断函数单调性的方法3.会证明一些简单函数在某个区间上的单调性下面是某一天温度的变化图象：下面是某一天温度的变化图象：tTo369 12 15 18 2124134-12-25(小时) OC 141 1、你能说出这一天的气温变化趋势，何时、你能说出这一天的气温变化趋势，何时气温升高？何时气温降低？气温升高？何时气温降低？、怎样用、怎样用数学语言数学语言刻画刻画“随时间的增大气随时间的增大气温逐步升高温逐步升高”这一特征？这一特征？,21xx在给定区间上任取21xx )f(x)f(x21函数函数f (x)在给定区间上在给定区间上为增函数。为增函
2、数。Oxy) x( fy如何用如何用x与与 f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？)x( f11x如何用如何用x与与 f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？,21xx在给定区间上任取21xx 函数函数f (x)在给定区间上在给定区间上为减函数。为减函数。)f(x)f(x21)x( f1)x ( f2) x ( fyOxy1x2x)x ( f22x一、定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 A，区间AI 如果对于区间 I 内的任意两个值 x1，x2，当 x1x2时， 都有 21xfxf，那么就说 y=f(x)在区间 I 上是 单调增函数，I 称为 y=f(x)的单调增区间。 如
3、果对于区间 I 内的任意两个值 x1，x2，当 x1x2时， 都有 21xfxf，那么就说 y=f(x)在区间 I 上是 单调减函数，I 称为 y=f(x)的单调减区间。 函数函数y=f(x)在区间在区间I上是增函数或减上是增函数或减函数，就称函数函数，就称函数y=f(x)在区间在区间I上具上具有单调性，有单调性，I称为函数的单调区间。称为函数的单调区间。增函数和减函数的定义中两个变量增函数和减函数的定义中两个变量x x1 1,x,x2 2: :1. 1. 必须在同一单调区间上必须在同一单调区间上; ;2. 2. 必须是任意的必须是任意的, ,不能用定值代替不能用定值代替; ;3. 3. 必须
4、设定它们的大小关系后必须设定它们的大小关系后, ,比较比较y y1 1,y,y2 2 的大小才有的大小才有意义；意义；4.4.有的函数没有单调区间常数函数，点函数不存在有的函数没有单调区间常数函数，点函数不存在单调性。单调性。例例1:下图是定义在下图是定义在 5 5，55上的函数上的函数y yf f（x x）的图象，根据图象说出的图象，根据图象说出y yf f（x x）的单调区间，的单调区间，解：解：y yf f（x x）的单调区间有的单调区间有5，3），3，1）1，3），3，5.其中其中y yf f（x x）在在 5 5，3 3），）， 1 1，3 3）上）上 是减函数，是减函数，在在 3
5、3，1 1），）， 3 3，5 5）上是增函数）上是增函数. .作图是发作图是发现函数单现函数单调性的方调性的方法之一法之一. .xyo31355能否说函数在能否说函数在，3），）为减函数，）为减函数例2：课本34页例1 ？，减区间能不能写成：00)2( 上为减函数，在试证明：01xxf证明函数单调性的步骤：证明函数单调性的步骤：第一步：第一步：任取任取. .即任取区间内的两个值即任取区间内的两个值x1，x2，且，且x x1 1xx2 2第二步：第二步：作差变形作差变形. .将将f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )通通过因式分解、配方、有理化等方法，向过因式分解、配方、有理化等方法
6、，向有利于判断差的符号的方向变形。有利于判断差的符号的方向变形。第三步：第三步：定号定号. .确定差的符号，适当的确定差的符号，适当的时候需要进行讨论。时候需要进行讨论。第四步：第四步：判断判断. .根据定义作出结论。根据定义作出结论。任值任值作差变形作差变形定号定号判断判断 上为增函数。，在的图象，试证明、结合例113xfxxxf上的值域？，如何求区间321 bkxxf一次函数 上为增函数；在时，当Rxfk0 上为减函数。在时，当Rxfk0 02acbxaxxf二次函数，增区间为，时，减区间为当ababa220，减区间为，时，增区间为当ababa220的取值范围。增函数，求实数上是，在、已知函数例mmxxy41042 的解集。等式是减函数，求不上的函数，、定义在区间例02211315afafxf练习：练习：1，2，5，6，7讨论：请你从数学的角度出发解释讨论：请你从数学的角度出发解释“在在一碗水中加入一定量的糖，糖加得越多一碗水中加入一定量的糖，糖加得越多就越甜就越甜”这一现象。这一现象。提示：设水的质量为提示：设水的质量为1，糖的质量为，糖的质量为X1xxy上为增函数，在0小结：小结：1、函数单调性的定义；、函数单调性的定义；2、函数单调性的证明；要、函数单调性的证明；要会求函数的单调区间会求函数的单调区间