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1、第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学33导数在研究函数中的应用第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学1知识与技能结合实例，借助几何直观发现函数的单调性与导数的关系2过程与方法能利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学本节重点：利用求导的方法判断函数的单调性本节难点：函数的导数与单调性的关系1用导数去研究函数的单调性比用定义法更为简便，是导数几何意义在
2、研究曲线变化规律时的一个重要应用，它充分体现了数形结合的基本思想因此，必须重视对数学思想、方法进行归纳总结，提高应用数学思想、方法解决问题的熟练程度，达到优化解题思路、简化解题过程的目的2利用导数的符号判断函数单调性的解题过程中，只能在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，判断函数的单调区间第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学1设函数yf(x)在区间(a，b)内可导，(1)如果在区间(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间是的；(2)如果在区间(a，b)内，f(x)0，则f(x)在此区间内是 的2如果函数yf(x)在x的某个开区
3、间内，总有f(x)0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间为 ；如果函数当自变量x在某区间上，总有f(x)0，则f(x)在这个区间为单调递增单调递减严格增函数严格减函数第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学例1求下列函数的单调区间(1)f(x)x33x1解析(1)函数f(x)的定义域为Rf(x)3x23，令f(x)0，则3x230.即3(x1)(x1)0，解得x1或x1.函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(1，)令f(x)0，则3(x1)(x1)0，解得1x1.函数f(x)的单调递减区间为(1,1)第三章第三章
4、导数及其应用导数及其应用人教A版数学(2)函数f(x)的定义域为(，0)(0，)第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学点评求函数的单调区间必须在函数的定义域内，依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间，体现了形象思维的直观性另外，单调区间不可写成并集的形式第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学例2已知x1，求证xlnx.解析设f(x)xlnx(x1)函数f(x)在(1，)上是增函数又f(1)1ln110即f(x)0对x(1，)恒成立xlnx0，即xlnx(x1)第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学点评构造函数是解本题的突破口，构造函数，利用导数确定函
5、数单调性，这种不等式证明方法经常使用，它是作差法的一个延伸第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学解析解法一：(区间法)f(x)x2axa1，令f(x)0，所以x1或xa1.当a11，即a2时，函数f(x)在(1，)内单调递增，不合题意第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学当a11，即a2时，f(x)在(，1)和(a1，)上单调递增，在(1，a1)上单调递减，由题意知：(1,4)(1，a1)且(6，)(a1，)，所以4a16，即5a7.解法二：(数形结合)如图所示，f(x)(x1)x(a1)若在(1,4)内f(x)0，(6，)内f(x)0，且f(x)0有一根为1，则另一根
6、在4,6上第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学解法三：(转化为不等式的恒成立问题)f(x)x2axa1.因为f(x)在(1,4)内单调递减，所以f(x)0在(1,4)上恒成立即a(x1)x21在(1,4)上恒成立，所以ax1，因为2x17，所以a7时，f(x)0在(6，)上恒成立由题意知5a7.点评本题是含参数单调性问题，是高考的重点和热点，体现了数学上的数形结合与转化思想第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学解析因为f(x)x2axa(aR)由题意知：f(x)0在(，)上恒成立，所以a24a0，所以0a4.故当0a4时，f(x)在R上单调递增第三章第三章 导数及其应
7、用导数及其应用人教A版数学例4已知函数f(x)2axx3，x(0,1，a0，若f(x)在(0,1上单调递增，求a的取值范围第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学点评在某区间内若f(x)0，则函数在该区间内单调递增，反之，若f(x)在区间D上为增函数，则f(x)0在D上恒成立第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学一、选择题1函数f(x)2xsinx在(，)上()A是增函数B是减函数C在(0，)上增，在(，0)上增D在(0，)上减，在(，0)上增答案A解析f(x)2cosx0在(，)上恒成立第三章第三章 导数及其应用导数及其
8、应用人教A版数学2函数yxlnx在区间(0,1)上是()A单调增函数B单调减函数答案C第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学3若在区间(a，b)内有f(x)0，且f(a) 0，则在(a，b)内有()Af(x)0 Bf(x)0Cf(x)0 D不能确定答案A解析在区间(a，b)内有f(x)0，且f(a)0，函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，且f(x)f(a)0.第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学4在下列函数中，在(0，)内为增函数的是()Asin2x BxexCx3x Dxln(1x)答案B解析yxex，则yexxexex(1x)，又x0，y0，故选B.第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学二、填空题5函数f(x)x3x的增区间是_和_，减区间是_第三章第三章 导数及其应用导数及其应用人教A版数学6已知函数yax22x3在(1，)上是减函数，则a的取值范围是_答案0a1解析令f(x)x22x3(x1)22，函数f(x)在(1，)上是增函数，要使yaf(x)在(1，)上是减函数，应有0a0，则3x2750.解得x5或x5.函数yf(x)的单调递增区间为(，5)和(5，)