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1、专题20 勾股定理考点总结【思维导图】 【知识要点】知识点一 直角三角形与勾股定理直角三角形三边的性质：1、 直角三角形的两个锐角互余。2、 直角三角形斜边的中线，等于斜边的一半。3、 直角三角形中30角所对的边是斜边的一半。勾股定理概念：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为，斜边为，那么变式：1）a=c- b2）b=c- a适用范围：勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形。勾股定理的证明：勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思
2、路是：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理方法一：，化简可证方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为大正方形面积为所以方法三：，化简得证【考查题型汇总】考查题型一 利用直角三角形的性质解题1（2018湖南中考模拟）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=120，EF为AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点E求证：FC=2BF【答案】见解析【详解】证明：连接AF，EF为AB的垂直平分线，AF=BF，又AB=AC，BAC=120，B=C=BAF=30，F
3、AC=90，AF=FC，FC=2BF2.（2013江苏中考模拟）如图，在RtABC中，C90，AC，点D为BC边上一点，且BD2AD，ADC60，求ABC的周长(结果保留根号)【答案】；【解析】在RtADC中，C90，ADC60，因为，即，所以AD2由勾股定理得：所以BD2AD4，BCBDDC5在RtABC中，C90，BC5，由勾股定理得：，所以RtABC的周长为3（2019江苏中考模拟）如图，在ABC中，AB=AC，BAC=120，D为BC的中点，DEAB于E，求EB：EA的值 【答案】3【详解】如图，连接AD， AB=AC，BAC=120，D为BC的中点，BAD=60，ADBC，B=906
4、0=30，DEAB，ADE=9060=30，设EA=x，在RtADE中，AD=2EA=2x，在RtABD中，AB=2AD=4x，EB=ABEA=4xx=3x，EB：EA=3x：x=3考查题型二 含30角的直角三角形解题方法1（2018黑龙江中考模拟）如图，在ABC中，AB=AC，C=30，ABAD，AD=4，则BC的长为（）A4B8C12D16【答案】C【详解】AB=AC，C=30，B=C=30，BAC=120，ABAD，AD=4，BAD=90，BD=2AD=8，DAC=120-90=30，DAC =C=30，AD=CD=4，CB=DB+CD=12故选C.2（2019丹东市第十七中学中考模拟）
5、如图，在RtABC中，CM平分ACB交AB于点M，过点M作MNBC交AC于点N，且MN平分AMC，若AN=1，则BC的长为（）A4B6CD8【答案】B【解析】在RtABC中，CM平分ACB交AB于点M，过点M作MNBC交AC于点N，且MN平分AMC，AMN=NMC=B，NCM=BCM=NMC，ACB=2B，NM=NC，B=30，AN=1，MN=2，AC=AN+NC=3，BC=6，故选B3（2018湖北中考模拟）如图,在ABC中,C=90,B=30,AD平分CAB交BC于点D,E为AB上一点,连接DE,则下列说法错误的是( )ACAD=30BAD=BDCBD=2CDDCD=ED【答案】D【解析】
6、试题分析：在ABC中，C=90，B=30，CAB=60，AD平分CAB，CAD=BAD=30，CAD=BAD=B，AD=BD，AD=2CD，BD=2CD，根据已知不能推出CD=DE，只有D错误，选项A、B、C的答案都正确故选D4（2018安徽中考模拟）如图，在RtABC中，C=90，CAB的平分线交BC于D，DE是AB的垂直平分线，垂足为E，若BC=3，则DE的长为（）A1B2C3D4【答案】A【解析】由角平分线和线段垂直平分线的性质可求得B=CAD=DAB=30，DE垂直平分AB，DA=DB，B=DAB，AD平分CAB，CAD=DAB， C=90，3CAD=90，CAD=30， AD平分CA
7、B，DEAB，CDAC， CD=DE=BD， BC=3， CD=DE=1考查题型三 利用勾股定理求几何体表面最短距离1（2017河北中考模拟）如图，一只蚂蚁沿边长为a的正方体表面从点A爬到点B，则它走过的路程最短为（）AaB（1+）aC3aDa【答案】D【解析】详解：如图，则AB=a 故选D 2（2016山东中考模拟）如图，透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是()A13cm B261cm C61 cm D234cm【答案】A【解
8、析】试题解析：如图：高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，AD=5cm，BD=12-3+AE=12cm，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A，连接AB，则AB即为最短距离，AB=AD2+BD2=52+122=13（cm）故选A3（2018南宫市奋飞中学中考模拟）如图,在底面周长为12,高为8的圆柱体上有A,B两点,若沿圆柱的侧面积运动，则AB之间的最短距离是( )A10B3C5D4【答案】A【解析】展开圆柱的半个侧面，得到一个矩形：矩形的长是圆柱底面周长的一半是6，矩形的宽是圆柱的高是8根据勾
9、股定理求得矩形的对角线是10即A、B两点间的最短距离是10故选C考查题型四 利用勾股定理解决实际问题1（2019重庆市全善学校中考模拟）如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯台阶上铺地毯，则地毯的长度至少要（）A4米B5米C6米D7米【答案】D【详解】在 RtABC 中，C=90，AB=5，BC=3，AC4米，可得地毯长度AC+BC7米，故选D2（2019福建中考模拟）九章算术中的“折竹抵地”问题上：今有竹高一丈，末折抵地，去本六尺。问折高几何？意思是：如图，一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远。问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的
10、高度为x尺，则可列方程为（ ）A x2-6=10-x2B x2-62=10-x2Cx2+6=(10-x)2Dx2+62=(10-x)2【答案】D【详解】解：如图，设折断处离地面的高度为x尺，则AB=10-x，BC=6，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，即x2+62=（10-x）2故选：D3（2019湖北中考模拟）从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有( )mA2B4C6D8【答案】C【详解】解：由题意得，在RtABC中，AC8，AB10，所以BC6故选：C4（2019湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船同时收到某事故渔船的求救讯息，已
11、知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔船与救助船相距120海里（1）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离；（2）若救助船A，分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达【答案】（1）收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；（2）救助船先到达【详解】(1)如图，作于，则，由题意得：海里，海里，是等腰直角三角形，海里，海里，答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；(2)海里，海里，救助船分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，救助船所用的时间为(
12、小时)，救助船所用的时间为(小时)，救助船先到达考查题型五 构造直角三角形利用勾股定理解题1（2019山东中考模拟）在ABC中，AB=10，AC=2，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于（ ）A10B8C6或10D8或10【答案】C【详解】分两种情况：在图中，由勾股定理，得;BCBDCD8210.在图中，由勾股定理，得;BCBDCD826.故选C.2（2015河北中考模拟）在ABC中，若AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，则ABC的周长为（ ）A32B42C32或42D以上都不对【答案】C【解析】试题分析：AC=15，BC=13，AB边上的高CD=12，AD=AC2-CD2=15
13、2-122=9，BD=BC2-CD2=132-122=5，如图1，CD在ABC内部时，AB=AD+BD=9+5=14，此时，ABC的周长=14+13+15=42，如图2，CD在ABC外部时，AB=AD-BD=9-5=4，此时，ABC的周长=4+13+15=32，综上所述，ABC的周长为32或42故选C3（2018甘肃中考模拟）如图所示，在RtABC中，AB=CB，EDCB，垂足为D点，且CED=60，EAB=30，AE=2，求CB的长【答案】1+ 【解析】过E点作EFAB，垂足为FEAB=30，AE=2，EF=BD=1又CED=60，ECD=30AB=CB，EAC=ECA=15，AE=CE=2
14、在RtCDE中，ECD=30，ED=1，CD=，CB=CD+BD=1+ 考查题型六 利用勾股定理解决翻折问题1（2019浙江省杭州第七中学中考模拟）如图，在直角坐标系中，将矩形OABC沿OB对折，使点A落在A1处，已知OA=，AB=1，则点A1的坐标是（ ）A(，)B(，)C(，)D(，)【答案】A【解析】过A1作A1DOA，OA，AB1，在RtOAB中，OB2，AB1，ABOB，AOB是直角三角形，AOB30，OB为折痕，A1OBAOB30，OA1OA，RtOA1D中，OA1D30，OD，A1D=点A1的坐标（，）故选A2（2019云南中考模拟）如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC落在对
15、角线AC上，折痕为CE，且D点落在对角线D处若AB=3，AD=4，则ED的长为AB3C1D【答案】A【详解】AB=3，AD=4，DC=3根据勾股定理得AC=5根据折叠可得：DECDEC，DC=DC=3，DE=DE设ED=x，则DE=x，AD=ACCD=2，AE=4x，在RtAED中：（AD）2+（ED）2=AE2，即22+x2=（4x）2，解得：x=故选A.3（2019四川中考模拟）如图，长方形中，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（ ）ABCD【答案】A【详解】将此长方形折叠，使点B与点D重合，BE=EDAD=9cm=AE+DE=AE+BEBE=9-AE，根据勾股定理可知：AB
16、2+AE2=BE2即32+AE2=（9-AE）2解得AE=4ABE的面积为342=6故选A考查题型七 利用勾股定理解决几何图形面积问题1.（2017山东中考模拟）如图，在长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，则重叠部分AFC的面积为（ ）A12B10C8D6【答案】B【解析】试题解析：易证AFDCFB，DF=BF，设DF=x，则AF=8-x，在RtAFD中，（8-x）2=x2+42，解之得：x=3，AF=AB-FB=8-3=5，SAFC=AFBC=10故选B2（2018江苏省泰兴市济川中学中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB4cm，BC8cm，如果将该矩形沿对角线BD折叠，
17、那么图中阴影部分的面积（ ）cm2. A8B10C15D20【答案】B【解析】根据折叠可得：CBD=EBD，ADBC，EDB=CBD，EDB=EBD，BE=DE，设BE=DE=x，则AE=8x，根据RtABE的勾股定理可得：x=5，即DE=5，则S阴影=542=10，故选B3（2018福建中考模拟）如图，两个较大正方形的面积分别为225，289，则字母A所代表的正方形的边长为（）A64B16C8D4【答案】C【详解】解：由勾股定理得，正方形A的面积=289-225=64，字母A所代表的正方形的边长为=8，故选：C4（2019广西中考模拟）如图,已知点E在正方形ABCD内,满足AEB=90,AE
18、=6,BE=8,则阴影部分的面积是()A48B60C76D80【答案】C【解析】AEB=90，AE=6，BE=8，AB=S阴影部分=S正方形ABCD-SRtABE=102-=100-24=76.故选C.知识点二 勾股定理的逆定理勾股数概念：能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即中，为正整数时，称，为一组勾股数常见的勾股数：如；等扩展：用含字母的代数式表示组勾股数：1）（为正整数）；2）（为正整数）3）（，为正整数）注意：每组勾股数的相同整数倍，也是勾股数。勾股定理的逆定理内容：如果三角形三边长，满足，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜边注意：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否
19、是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和与较长边的平方作比较，若它们相等时，以，为三边的三角形是直角三角形；若，时，以，为三边的三角形是钝角三角形；若，时，以，为三边的三角形是锐角三角形；定理中，及只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长，满足，那么以，为三边的三角形是直角三角形，但是为斜边勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形勾股定理与勾股定理逆定理的区别和联系：联系：1、 两者都与直角三角形三边有关，且都与直角三角形有关。2、 两者是互逆定理。区别
20、：1、 两者的条件与结论相反。2、 勾股定理是直角三角形的性质，勾股定理逆定理是直角三角形的判定方法。【考查题型汇总】考查题型八 运用勾股定理逆定理判断三角形形状1（2018山东中考模拟）已知a、b、c是ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bxc（1x2）=0的两根相等，则ABC为（）A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D任意三角形【答案】B【详解】原方程整理得（a+c）x2+2bx+a-c=0，因为两根相等，所以=b2-4ac=（2b）2-4（a+c）（a-c）=4b2+4c2-4a2=0，即b2+c2=a2，所以ABC是直角三角形，故选B.2（2018南宫市奋飞中学中考模拟）若A
21、BC三边长a，b，c满足+|+()2=0，则ABC是()A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰直角三角形【答案】C【详解】+|b-a-1|+(c-5)2=0，a+b-25=0，b-a-1=0，c-5=0，a=12，b=13，c=5，ABC是直角三角形.故选C.3（2019内蒙古中考真题）如图，在中，内角所对的边分别为（1）若，请直接写出与的和与的大小关系；（2）求证：的内角和等于；（3）若，求证：是直角三角形【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析【详解】在中，；如图，过点作，（两直线平行，同位角相等），（平角的定义），（等量代换），即：三角形三个内角的和等于；（3），是直角三角
22、形考查题型九 勾股定理逆定理的实际应用1（2019四川中考模拟）我国南宋著名数学家秦九韶的著作数书九章里记载有这样一道题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A7.5平方千米B15平方千米C75平方千米D750平方千米【答案】A【解析】52+122=132，三条边长分别为5里，12里，13里，构成了直角三角形，这块沙田面积为：550012500=7500000（平方米）=7.5（平方千米）故选：A2
23、（2016河北中考模拟）一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则NOF的度数为（ ）A50 B60 C70 D80【答案】C【解析】OM=60海里，ON=80海里，MN=100海里，OM2+ON2=MN2，MON=90，EOM=20，NOF=1802090=70故选C3（2019湖北中考真题）在一次海上救援中，两艘专业救助船同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船在的正北方向，事故渔船在救助船的北偏西30方向上，在救助船的西南方向上，且事故渔
24、船与救助船相距120海里（1）求收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离；（2）若救助船A，分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达【答案】（1）收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；（2）救助船先到达【详解】(1)如图，作于，则，由题意得：海里，海里，是等腰直角三角形，海里，海里，答：收到求救讯息时事故渔船与救助船之间的距离为海里；(2)海里，海里，救助船分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，救助船所用的时间为(小时)，救助船所用的时间为(小时)，救助船先到达4（2012山东中考模拟）如图，某船以每小时36海里的速度向正东方向航行，在点A测得某岛C在北偏东60方向上，航行半小时后到达点B测得该岛在北偏东30方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁（1）说明点B是否在暗礁区域内；（2）若继续向东航行有无触礁的危险？请说明理由【答案】（1）B点不在暗礁区域内；（2）继续向东航行船有触礁的危险，理由见解析.【解析】（1）B是否在暗礁区域内就要看CB的距离，若CB16，则点B不在暗礁区域内；若CB16，则点B在暗礁区域内.（2）往东航行是否有触礁危险，就要看点C到AB的距离CH与16的大小关系.若CH16，则无触礁的危险；若CB16，则有触礁的危险