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1、专题01 有理数【思维导图】 【知识要点】知识点一 有理数基础概念n 有理数（概念理解）正数：大于0的数叫做正数。负数：正数前面加上符号“-”的数叫负数。有理数的分类（两种）（见思维导图）n 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数.【注意】1. 数轴是一条直线，可向两段无限延伸。2. 在数轴上原点，正方向，单位长度的选取需根据实际情况而定。n 相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等
2、，符号不同的两个数叫做互为相反数）n 绝对值绝对值的概念：一班数轴上表示a的数与原点之间的距离叫做数a的绝对值。绝对值的意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。（互为相反数的两个数的绝对值相等。）n 比较大小1）数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。2）正数大于0，负数小于0，正数大于负数。3）两个负数比较，绝对值大的反而小。4）两个正数比较，绝对值大的反而大。常用方法：数轴比较法、差值比较法、商值比较法、绝对值比较法等。1（2018海南琼山中学中考模拟）下列各组数中，互为相反数的是 ( )A|+2|与|-2|B-|+2|与+(-2)C-(-2)与+(+2)D
3、|-(-3) |与-|-3|【详解】解：A、|+2|=2，|-2|=2，故这两个数相等，故此选项错误；B、-|+2|=-2，+（-2）=-2，故这两个数相等，故此选项错误；C、-（-2）=2与+（+2）=2，这两个数相等，故此选项错误；D、|-（-3）|=3，-|-3|=-3，3+（-3）=0，这两个数互为相反数，故此选项正确故选：D2（2019四川中考真题）一定是A正数B负数CD以上选项都不正确【详解】a可正、可负、也可能是0选D.3（2018内蒙古中考模拟）如图，在数轴上表示互为相反数的两数的点是（）A点A和点CB点B和点CC点A和点BD点B和点D【详解】A、B、C、D所表示的数分别是2，
4、1，-2，-3，因为2和-2互为相反数，故选A4（2013江苏中考真题）如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是（ ）AabB|a|b|CabDa+b0【详解】根据数轴，a0，b0，且|a|b|，A、应为ab，故本选项错误；B、应为|a|b|，故本选项错误；C、a0，b0，且|a|b|，a+b0，ab正确，故本选项正确；D、应该是a+b0，故本选项错误故选C5（2019甘肃中考真题）已知，是2的相反数，则的值为()A-3B-1C-1或-3D1或-3【详解】，是2的相反数，或，当时，；当时，；综上，的值为-1或-3，故选：C考察题型一 绝对值非负性应用1（2016山东中考真题
5、）当1a2时，代数式|a2|1a|的值是（）A1B1C3D3【详解】解：当1a2时，|a2|+|1a|=2a+a1=1故选B2（2019山东中考模拟）表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果是( ) A2abBbCbD2a+b【详解】根据数轴可以判断出，则，所以所以选C.3（2017广西中考模拟）若，那么的值是 （ ）A2或12B2或-12C-2或12D-2或-12【详解】由可得x=7，由可得y=5，由可知：当x=7时，y=5；当x=7时，y=-5，则，故选：A4（2018浙江中考模拟）如果|a|0，那么（）Aa0Ba0Ca0Da为任意数【详解】解： a为任意数，故选：D5（201
6、7湖北中考模拟）若|x2|+|y+2|=0，求xy的相反数【详解】|x2|+|y+2|=0，x2=0，y+2=0，解得x=2，y=2，xy=2（2）=4，xy的相反数是46.（2017广东中考模拟）已知|a+3|+|b5|=0，求：（1）a+b的值；（2）|a|+|b|的值【详解】（1）由题意得，a+3=0，b5=0，解得a=3，b=5，所以，a+b=3+5=2；（2）|a|+|b|=|3|+|5|=3+5=8考查题型二 有理数比较大小1（2018山东中考模拟）如果a+b+c=0，且|a|b|c|则下列说法中可能成立的是（）Ab为正数，c为负数Bc为正数，b为负数Cc为正数，a为负数Dc为负数
7、，a为负数【解析】由题目答案可知a，b，c三数中只有两正一负或两负一正两种情况，如果假设两负一正情况合理，要使a+b+c=0成立，则必是b0、c0、a0，否则a+b+c0，但题中并无此答案，则假设不成立，D被否定，于是应在两正一负的答案中寻找正确答案，若a，b为正数，c为负数时，则：|a|+|b|c|，a+b+c0，A被否定，若a，c为正数，b为负数时，则：|a|+|c|b|，a+b+c0，B被否定，只有C符合题意故选：C2（2019北京中考模拟）实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，如果a+b0，那么下列结论正确的是（）A|a|c|Ba+c0Cabc0D【详解】a+b=0，原点在a，
8、b的中间，如图，由图可得：|a|c|，a+c0，abc0，=-1，故选C.12（2019山东滨州市滨城区东城中学中考模拟）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中正确的是()b0a； |b|a|； ab0； aba+bABCD【解析】由图知，b0|a|,故错误，因为b0a，所以aba+b，所以正确.故选：B.4（2018湖北中考真题）在0，1，0.5，（1）2四个数中，最小的数是（）A0 B1 C0.5 D（1）2【详解】根据有理数比较大小的方法，可得100.5（1）2，在0，1，0.5，（1）2四个数中，最小的数是1故选B5（2018山东中考真题）实数a，b，c，d在数轴上的位置如
9、图所示，下列关系式不正确的是（）A|a|b|B|ac|=acCbdDc+d0【详解】从a、b、c、d在数轴上的位置可知：ab0，dc1；A、|a|b|，故选项正确；B、a、c异号，则|ac|=-ac，故选项错误；C、bd，故选项正确；D、dc1，则a+d0，故选项正确故选：B.知识点二 有理数四则运算n 有理数的加法（重点）有理数的加法法则：（先确定符号，再算绝对值）1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2.异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3.互为相反数的两个数相加得0；（如果两个数的和为0，那么这两个数互为相反数）4.一个数
10、同0相加，仍得这个数。有理数的加法运算律：加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。即；加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。即。n 有理数的减法有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。即。注：两个变化：减号变成加号；减数变成它的相反数。n 有理数的加减混合运算规则：运用减法法则将加减混合运算统一为加法进行运算步骤：（1）减法化加法； （2）省略括号和加号； （3）运用加法运算律使计算简便； （4）运用有理数加法法则进行计算。 注：运用加法运算律时，可按如下几点进行：（1）同号的先结合；（2）同分母的分数或者比较容易通分的分数相结合；（3）互
11、为相反数的两数相结合；（4）能凑成整数的两数相结合；（5）带分数一般化为假分数或者分为整数和分数两部分，再分别相加。n 有理数的乘法（重点）有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。（2）任何数同0相乘，都得0.倒数：乘积是1的两个有理数互为倒数。0没有倒数。（数的倒数是）多个有理数相乘的法则及规律：（1） 几个不是0的数相乘，负因数的个数是奇数时，积是负数； 负因数的个数是偶数时，积是正数。确定符号后，把各个因数的绝对值相乘。（2）几个数相乘，有一个因数为0，积为0；反之，如果积为0，那么至少有一个因数是0.注：带分数与分数相乘时，通常把带分数化成假分数，再与分数
12、相乘。n 有理数的乘法运算律乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等。即。乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即。乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。即。n 有理数的除法有理数除法法则：（1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数。即。（2）两数相除（被除数不为0），同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何不为0的数，都得0。步骤：先确定商的符号，再算出商的绝对值。n 有理数的乘除混合运算运算顺序：从左往右进行，将除法化成乘法后，进行约分计算。（注：带分数应首先化为假分数进行运算）n 有理数的四则混合
13、运算运算顺序：先乘除，后加减，有括号要先算括号里面的。注：除法一般先化为乘法，带分数化为假分数，合理使用运算律1（2018江苏中考模拟）计算：|5+3|的结果是（ ）A8 B8 C2 D2【解析】原式=|-2|=2，故选：D2.（2019浙江中考真题）某地一周前四天每天的最高气温与最低气温如右表，则这四天中温差最大的是（ ）星期一二三四最高气温1012119最低气温30-2-3A星期一B星期二C星期三D星期四【详解】星期一温差：1037；星期二温差：12012；星期三温差：11（2）13；星期四温差：9（3）12；综上，周三的温差最大.故选C3（2018四川中考模拟）如果a，b是有理数，那么下
14、列各式中成立的是（ ）A如果a0，b0 B如果a0，b0C如果a0，b0，那么ab0，b|b|，那么ab0【解析】解：A、同号两数相加取与加数相同的符号，a+b0,故选项错误；B、如a=1,b=-2时，a+b=-10，故选项错误；D、异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，故选项正确故选D4（2019辽宁中考模拟）计算的正确结果是（）AB-C1D1【详解】原式 故选：D.5（2017山东中考真题）计算(1)|1|，其结果为( )A2B2C0D1【解析】试题分析：由题可得：原式=1+1=2，故选：B6（2018辽宁中考模拟）两个非零有理数的和为零，则它们的商是（）A
15、1 B0 C1 D1或1【详解】两个非零有理数的和为零，这两个数是一对相反数，它们符号不同，绝对值相等，它们的商是-1，故选A7（2019内蒙古中考模拟）若-12的倒数与m+4互为相反数，则m的值是（ ）A1B-1C2D-2【详解】-12的倒数与m+4互为相反数，得m+4=2，解得m=2，故选：D.8（2018天津中考模拟）-6的结果等于（）A1B1C36D36【详解】解：原式=66=36故选：D8（2019平阳县鳌江中学中考模拟）2（5）的值是A7B7C10D10【详解】2（5）=+(25)=10.故选D.9（2019天津中考模拟）计算（18）（6）的结果等于A3B3CD【详解】=3考查题型
16、三 与绝对值有关的分数化简1（2018福建中考模拟）若a0，b0，则代数式的取值共有（）A2个B3个C4个D5个【详解】由分析知：可分4种情况：a0，b0，此时ab0，所以=1+1+1=3；a0，b0，此时ab0，所以=111=1；a0，b0，此时ab0，所以=11+1=1；a0，b0，此时ab0，所以=1+11=1；综合可知：代数式的值为3或1，故选A2（2018南宫市奋飞中学中考模拟）已知a，b，c为非零的实数，则的可能值的个数为（）A4B5C6D7【解析】解：a、b、c三个数都是正数时，a0，ab0，ac0，bc0，原式=1+1+1+1=4；a、b、c中有两个正数时，设为a0，b0，c0
17、，则ab0，ac0，bc0，原式=1+111=0；设为a0，b0，c0，则ab0，ac0，bc0，原式=11+11=0；设为a0，b0，c0，则ab0，ac0，bc0，原式=111+1=2；a、b、c有一个正数时，设为a0，b0，c0，则ab0，ac0，bc0，原式=111+1=0；设为a0，b0，c0，则ab0，ac0，bc0，原式=11+11=2；设为a0，b0，c0，则ab0，ac0，bc0，原式=1+111=2；a、b、c三个数都是负数时，即a0，b0，c0，则ab0，ac0，bc0，原式=1+1+1+1=2综上所述：的可能值的个数为4故选A3.（2019四川初一期中）有理数a，bc满
18、足abc0，的值为（）A1或3B4C0D0或4【详解】解：abc0，当有理数a，b，c中有一个数小于0时，当有理数a，b，c中三个数都小于0时，故选：D考察题型四 有理数乘法运算律的应用1（2018贵州中考真题）计算+的值为（）ABCD【解析】原式= =，=1-=故选：B2（2019河北中考模拟）利用运算律简便计算52（999）+49（999）+999正确的是A999（52+49）=999101=100899B999（52+491）=999100=99900C999（52+49+1）=999102=101898D999（52+4999）=9992=1998【详解】原式=999（52+49-1）
19、=999100=99900故选B3（2016河北中考真题）请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算：（1）999（-15）；（2）999+999（）-999.【详解】试题分析：根据题目中所给的规律，第一题凑整法，第二题提同数法解决即可.试题解析：（1）999（-15）=（1000-1）（-15）=15-15000=149985;（2）999+999（）-999=999+（）-=999100=99900.知识点三 有理数的乘方n 乘方（重点）一般地，个相同的因数相乘，即aaaan个，记作，读作的次方。求个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在中，叫做底数，叫做指数。读作的次方，也可
20、以读作的次幂。当底数为分数时，要先用括号将底数括上，再在其右上角写指数，指数要写的小些。乘方的规律：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.有理数乘方的运算方法：1. 根据乘方的符号规律确定结果的符号。2. 计算结果的绝对值。n 有理数的混合运算运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减；（2）同级运算,从左到右进行；（3）如有括号，先算括号里的，按小括号、中括号、大括号的顺序。n 科学记数法把一个大于10的数记成的形式，其中是整数数位只有一位的数（即），是正整数，这样的记数方法叫科学记数法。（用科学记数法表示一个数时，10的指数比原数的整数位数
21、少1.）把还原成原数时，只需把的小数点往前移动位。n 近似数和有效数字在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.）一个近似数从左边第一位非0的数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。一个近似数有几个有效数字，就称这个近似数保留几个有效数字。精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪一位。1（2018丹东第九中学中考模拟）下列算式中，运算结果为负数的是( )A|-1| B(-2)3 C(-1)(-2) D(-3)2【解析】本题涉及乘法、绝对值、乘方等知识点在计算时，需要针
22、对每个知识点分别进行计算详解：A.|1|1，错误；B.(-2)38，正确；C.（1）（2）2，错误；D.(-3)29，错误；故选：B2（2018四川成都外国语学校中考模拟）下列各数|2|，（2）2，（2），（2）3中，负数的个数有（）A1个B2个C3个D4个【详解】解：|2|2，（2）24，（2）2，（2）38，4，8是负数，负数有2个故选：B3.（2018河南中考模拟）若a=44，b=|321|，c=5+2（22），则a、b、c的大小关系是（）AabcBcbaCbcaDcab【详解】因为a=44=-16，b=|321|=-15，c=5+2（22）=-13.-13-15-16.所以cba故选：
23、B考查题型五 有理数混合运算1（2018湖北中考模拟）计算：（1）5-（-2）+（-3）-（+4）；（2）（-）（-24）；（3）（-3）（-15）；（4）-14+|（-2）3-10|-（-3）（-1）2017【详解】解：（1）原式=5+234=53+24=22=0；（2）原式=24+2424=18+1518=15；（3）原式=（3）（15）=445=80；（4）原式=1+|810|（3）（1）=1+183=142（2018湖北中考模拟）计算：（1）15+（8）（11）12 （2）（3） （4）23+（4）2（132）3【详解】原式 .（2）原式 （3）原式 ， （4）原式 =323（2018
24、海南琼山中学中考模拟）【详解】原式 考查题型六 用科学记数法表示绝对值较大的数1（2019河南郑州实验外国语中学中考模拟）我国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界一些国家的互利合作，根据规划“一带一路”地区覆盖总 人口为4400000000人，这个数用科学记数法表示为A44108B4.4108C4.4109D4.41010【详解】解：4 400 000 000=4.4109，故选C2（2018河南中考真题）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达214.7亿元，数据“214.7亿”用科学记数法表示为（）A2.147102 B0.2147103 C2.1471010 D0.2147
25、1011【解析】214.7亿，用科学记数法表示为2.1471010，故选：C3.（2019安徽中考模拟）据资料显示，地球的海洋面积约为360000000平方千米，请用科学记数法表示地球海洋面积面积约为多少平方千米( )ABCD【解析】详解：将360000000用科学记数法表示为：3.6108故选：B4（2018广东中考真题）260000000用科学计数法表示为( )ABCD【详解】260000000的小数点向左移动8位得到2.6，所以260000000用科学记数法表示为，故选B.5（2019山东中考模拟）一个整数8155500用科学记数法表示为8.15551010，则原数中“0”的个数为（）A
26、4B6C7D10【详解】8.15551010表示的原数为81555000000，原数中“0”的个数为6，故选B考查题型七 根据精确度求近似值1（2018山东中考模拟）近似数3.02106精确到（）A百分位 B百位 C千位 D万位【解析】近似数3.02106精确到万位故选D2（2017安徽中考模拟）用四舍五入法得到近似数4.005万，关于这个数有下列说法，其中正确的是（）A它精确到万位B它精确到0.001C它精确到万分位D它精确到十位【解析】近似数4.005万精确到十位故选D3（2019山东中考模拟）近似数1.23103精确到（）A百分位B十分位C个位D十位【详解】1.23103=1 230，这
27、个近似数精确到十位故选D4（2019福建中考模拟）30269精确到百位的近似数是( )A303B30300CD【详解】本题考查近似数的概念，按要求对30269取近似值，30269精确到百位的近似数应是303百，选项A明显错误，B选项精确到个位，C选项不是科学记数法的模型，D选项精确到百位，而且是规范的科学记数法.故选:D.5（2019四川中考真题）用四舍五入法将精确到千位，正确的是（ ）ABCD【详解】解：130542精确到千位是1.31105故选：C6（2019河北中考模拟）近似数5.10精确到（ ）A个位B十分位C百分位D十位【详解】解：5.10精确到百分位故选：C7（2018江苏中考模拟）今年无锡马拉松参赛选手91879人，这个数据精确到千位并用科学记数法表示为（）A91103 B92103 C9.1104 D9.2104【详解】918799.2104，故选：D8（2018广西中考模拟）近似数精确到（ ）A十分位B个位C十位D百位【解析】根据近似数的精确度：近似数5.0102精确到十位故选：C