《2021版数学北师大版攻略大一轮复习精练：9.2 直线、圆的位置关系.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021版数学北师大版攻略大一轮复习精练：9.2 直线、圆的位置关系.docx（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、9.2直线、圆的位置关系探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点直线、圆的位置关系能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系能用直线与圆的位置关系解决弦长问题会求圆的切线方程及与圆有关的最值问题能根据给定两圆的方程判断两圆的位置关系会求两圆相交弦所在直线的方程及弦长初步了解用代数方法处理几何问题的思想2014北京,19直线与圆的位置关系的判断椭圆的方程和几何性质2014北京文,7圆的有关性质向量的数量积运算2012北京文,9弦长问题勾股定理分析解读从高考试题来看,直线与圆以及圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题,题型以选择题和填空题为主.主要考查
2、:1.方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定;2.利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围;3.利用相切或相交的条件求圆的切线长或弦长;4.由两圆的位置关系判定两圆的公切线条数.同时考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,考查化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想的应用.破考点 练考向【考点集训】考点直线、圆的位置关系1.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(aR)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=()A.2B.42C.6D.210答案C2.(2018北京海淀期末,5)已知直线x-y+m=
3、0与圆O:x2+y2=1相交于A,B两点,且AOB为正三角形,则实数m的值为()A.32 B.62C.32或-32D.62或-62答案D3.(2019北京丰台二模文,13)在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为x2+(y-3)2=1,若在直线y=kx上任取一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C都不存在公共点,则k的取值范围是.答案-52,524.(2019北京清华附中高二期中,13)若圆O1:x2+y2=5与圆O2:(x-m)2+y2=20(mR)相交于A,B两点,且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是.答案45.(2020届北京清华附中朝阳学校第二次质检,12)圆C:x2+y2
4、+2x-2y-2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是.答案3炼技法 提能力【方法集训】方法1与圆有关的最值问题的求解方法1.(2019 53原创冲刺卷八,15)在平面直角坐标系中,已知A(-1,0),B(1,0),圆C:x2+y2-2x-6y+2=0,动直线l与圆C相交于M,N两点,且CMN的面积为4.若P为线段MN的中点,则PAB的面积的最大值为.答案52.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(mR)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为.答案(x-1)2+y2=23.(2019北京朝阳二模文,11)圆C:x2+(
5、y-1)2=1上的点P到直线l:x-2y-3=0的距离的最小值是.答案5-1方法2求解与圆有关的切线和弦长问题的方法4.(2015安徽文,8,5分)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是()A.-2或12B.2或-12C.-2或-12D.2或12答案D5.(2019北京海淀期末,4)直线y=kx+1被圆x2+y2=2截得的弦长为2,则k的值为( )A.0B.12C.1D.22答案A6.(2018北京朝阳一模,12)已知点A(-2,0),B(0,2),若点M是圆x2+y2-2x+2y=0上的动点,则ABM的面积的最小值为.答案2【五年高考】A组自主命题北京卷题组考点
6、直线、圆的位置关系1.(2014北京文,7,5分)已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=1和两点A(-m,0),B(m,0)(m0).若圆C上存在点P,使得APB=90,则m的最大值为()A.7B.6C.5D.4答案B2.(2012北京文,9,5分)直线y=x被圆x2+(y-2)2=4截得的弦长为.答案223.(2014北京,19,14分)已知椭圆C:x2+2y2=4.(1)求椭圆C的离心率;(2)设O为原点.若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OAOB,试判断直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.解析(1)由题意知,椭圆C的标准方程为x24+y22=1.所以a2=4,b2
7、=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=2.故椭圆C的离心率e=ca=22.(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x00.因为OAOB,所以OAOB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-2y0x0.当x0=t时,y0=-t22,代入椭圆C的方程,得t=2,故直线AB的方程为x=2.圆心O到直线AB的距离d=2.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0t时,直线AB的方程为y-2=y0-2x0-t(x-t),即(y0-2)x-(x0-t)y+2x0-ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=|2x0-ty0|(y0-2)2+(
8、x0-t)2.又x02+2y02=4,t=-2y0x0,故d=2x0+2y02x0x02+y02+4y02x02+4=4+x02x0x04+8x02+162x02=2.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点直线、圆的位置关系1.(2018课标,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则ABP面积的取值范围是()A.2,6 B.4,8C.2,32D.22,32答案A2.(2016课标,4,5分)圆x2+y2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=()A.-43B.-34C.3D.2
9、答案A3.(2019浙江,12,6分)已知圆C的圆心坐标是(0,m),半径长是r.若直线2x-y+3=0与圆C相切于点A(-2,-1),则m=,r=.答案-2;54.(2018课标文,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=.答案225.(2016课标,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-3=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=23,则|CD|=.答案46.(2015湖南文,13,5分)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r0)相交于A,B两点,且AOB=120(O为坐标原点),则
10、r=.答案27.(2015课标文,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若OMON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解析(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以|2k-3+1|1+k21.解得4-73kb0)过点(0,2),且离心率e=22.(1)求椭圆E的方程;(2)设直线l:x=my-1(mR)交椭圆E于A,B两点,判断点G-94,0与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.解析(1)由已知得b=2,ca=22,a2=b2+c2.解得a=2,b=2,c=2.
11、所以椭圆E的方程为x24+y22=1.(2)解法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,从而y0=mm2+2.所以|GH|2=x0+942+y02=my0+542+y02=(m2+1)y02+52my0+2516.|AB|24=(x1-x2)2+(y1-y2)24=(1+m2)(y1-y2)24=(1+m2)(y1+y2)2-4y1y24=(1+m2)(y02-y1y2),故|GH|2-|AB|24=52my0+(1+m2)y1y2+25
12、16=5m22(m2+2)-3(1+m2)m2+2+2516=17m2+216(m2+2)0,所以|GH|AB|2.故点G-94,0在以AB为直径的圆外.解法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则GA=x1+94,y1,GB=x2+94,y2.由x=my-1,x24+y22=1得(m2+2)y2-2my-3=0,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-3m2+2,从而GAGB=x1+94x2+94+y1y2=my1+54my2+54+y1y2=(m2+1)y1y2+54m(y1+y2)+2516=-3(m2+1)m2+2+52m2m2+2+2516=17m2+216(m2+2)0,所
13、以cos0.又GA,GB不共线,所以AGB为锐角.故点G-94,0在以AB为直径的圆外.评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.12.(2013四川,20,13分)已知圆C的方程为x2+(y-4)2=4,点O是坐标原点.直线l:y=kx与圆C交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)设Q(m,n)是线段MN上的点,且2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2.请将n表示为m的函数.解析(1)将y=kx代入x2+(y-4)2=4中,得(1+k2)x2-8kx+12=0.(*)由=(-8k)2-4(
14、1+k2)120,得k23,所以k的取值范围是(-,-3)(3,+).(4分)(2)因为M,N在直线l上,可设点M,N的坐标分别为(x1,kx1),(x2,kx2),则|OM|2=(1+k2)x12,|ON|2=(1+k2)x22.又|OQ|2=m2+n2=(1+k2)m2,由2|OQ|2=1|OM|2+1|ON|2,得2(1+k2)m2=1(1+k2)x12+1(1+k2)x22,即2m2=1x12+1x22=(x1+x2)2-2x1x2x12x22.由(*)式可知,x1+x2=8k1+k2,x1x2=121+k2,所以m2=365k2-3.因为点Q在直线y=kx上,所以k=nm,代入m2=
15、365k2-3中并化简,得5n2-3m2=36.由m2=365k2-3及k23,可知0m20,所以n=36+3m25=15m2+1805.于是,n与m的函数关系为n=15m2+1805(m(-3,0)(0,3).(13分)评析本题主要考查直线、圆、函数、不等式等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程等数学思想,并考查思维的严谨性.13.(2013湖南,20,13分)已知F1,F2分别是椭圆E:x25+y2=1的左,右焦点,F1,F2关于直线x+y-2=0的对称点是圆C的一条直径的两个端点.(1)求圆C的方程;(2)设过点F2的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a,b.当a
16、b最大时,求直线l的方程.解析(1)由题设知,F1,F2的坐标分别为(-2,0),(2,0),圆C的半径为2,圆心为原点O关于直线x+y-2=0的对称点.设圆心的坐标为(x0,y0),由y0x0=1,x02+y02-2=0,解得x0=2,y0=2.所以圆C的方程为(x-2)2+(y-2)2=4.(2)由题意,可设直线l的方程为x=my+2,则圆心到直线l的距离d=|2m|1+m2.所以b=222-d2=41+m2,由x=my+2,x25+y2=1得(m2+5)y2+4my-1=0.设l与E的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=-4mm2+5,y1y2=-1m2+5.
17、于是a=(x1-x2)2+(y1-y2)2=(1+m2)(y1-y2)2=(1+m2)(y1+y2)2-4y1y2=(1+m2)16m2(m2+5)2+4m2+5=25(m2+1)m2+5.从而ab=85m2+1m2+5=85m2+1(m2+1)+4=85m2+1+4m2+1852m2+14m2+1=25.当且仅当m2+1=4m2+1,即m=3时等号成立.故当m=3时,ab最大,此时,直线l的方程为x=3y+2或x=-3y+2,即x-3y-2=0或x+3y-2=0.评析本题主要考查点关于直线的对称,圆的方程,直线与圆(椭圆)相交后的弦长问题,考查直线方程的求解以及不等式的应用,同时考查了学生分
18、析和解决数学问题的能力以及运算求解能力,准确表示两条弦长a与b是解决本题的关键.注意:应用基本不等式时,要验证等号成立的条件.【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018北京通州一模,6)已知抛物线y2=8x的准线与圆心为C的圆x2+y2+2x-8=0交于A,B两点,则|CA-CB|等于()A.2 B.22C.25 D.42答案D2.(2020届北京朝阳抽样检测,5)设点P是圆(x+1)2+(y-2)2=2上一点,则点P到直线x-y-1=0距离的最大值为()A.2B.22C.32D.2+22答案C3.(2019北京西城一模,6)如图,阴影表示的平面区域W是由直线x-y=0和曲线
19、x2+y2=2所围成的. 若点P(x,y)在W内(含边界),则z=4x+3y的最大值和最小值分别为()A.52,-7B.52,-52C.7,-52D.7,-7答案A4.(2019北京海淀新高考调研卷,7)已知圆C:x2+y2-2x-2y-2=0,直线y=k(x-2)与圆C交于A,B两点,则|AB|的最小值为()A.2B.22C.23D.4答案B5.(2018北京顺义二模,8)已知点A(-1,-1),若曲线T上存在两点B,C,使ABC为正三角形,则称T为“正三角形”曲线.给定下列三条曲线:x+y-3=0(0x3);x2+y2=2(-2x0);y=1x(x0),其中,“正三角形”曲线的个数是()A
20、.0B.1C.2D.3答案C二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020届北京人大附中开学测试,14)函数f(x)=aex+be-x(aR,bR),已知f(x)的最小值为4,则点(a,b)到直线2x+y-2=0的距离的最小值为.答案31057.(2018北京朝阳一模,11)已知圆C:x2+y2-2x-4y+1=0内有一点P(2,1),经过点P的直线l与圆C交于A,B两点,当弦AB恰被点P平分时,直线l的方程为.答案y=x-18.(2020届北京朝阳期中,13)已知直线x-2y+a=0与圆O:x2+y2=2相交于A,B两点(O为坐标原点),且AOB为等腰直角三角形,则实数a的值为.答案5三、
21、解答题(共15分)9.(2020届北师大二附中期中,17)已知圆O:x2+y2=4.(1)直线l1:3x+y-23=0与圆O相交于A、B两点,求|AB|;(2)如图,设M(x1,y1),P(x2,y2)是圆O上的两个动点,点M关于原点的对称点为M1,点M关于x轴的对称点为M2,如果直线PM1,PM2与y轴分别交于(0,m)和(0,n),问mn是不是定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由.解析本题考查直线与圆的位置关系,弦长公式,直线方程,主要通过直线与圆的位置关系考查学生分析问题与解决问题的能力,体现数学运算的核心素养.(1)圆心(0,0)到直线3x+y-23=0的距离d=|-23|(3)
22、2+12=3.圆的半径r=2,|AB|=24-3=2.(2)mn为定值.理由如下:由题意得M1(-x1,-y2)、M2(x1,-y1),且x12+y12=4,x22+y22=4,直线PM1的方程为y+y1y2+y1=x+x1x2+x1,令x=0,得y=m=x1y2-x2y1x2+x1.直线PM2的方程为y+y1y2+y1=x-x1x2-x1,令x=0,得y=n=-x1y2-x2y1x2-x1,mn=x1y2-x2y1x2+x1-x1y2-x2y1x2-x1=x22y12-x12y22x22-x12=x22(4-x12)-x12(4-x22)x22-x12=4,即mn是定值.思路分析(1)先求出圆心(0,0)到直线3x+y-23=0的距离,再利用弦长公式求得|AB|的值.(2)先求出M1和M2的坐标,用两点式求直线PM1和PM2的方程,根据方程求得他们在y轴上的截距m、n的值,计算mn的值,可得结论.