《2021版数学北师大版攻略大一轮复习精练：8.4 直线、平面垂直的判定与性质.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021版数学北师大版攻略大一轮复习精练：8.4 直线、平面垂直的判定与性质.docx（33页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、8.4直线、平面垂直的判定与性质探考情 悟真题【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点直线、平面垂直的判定与性质以立体几何中的定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线、面垂直的有关性质和判定定理能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题2016北京文,18直线、平面垂直的判定与性质的应用直线与平面平行的判定2018北京文,18平面与平面垂直的判定与性质的应用直线与平面平行的判定2017北京文,18空间几何体的体积分析解读从北京高考试题来看,线线、线面、面面垂直的判定与性质是考查的重点之一.考查的具体内容可分为两个层次:一是将定义、判定和性质结合起
2、来,以客观题的形式出现,判断某些命题的真假;二是以常见几何体为背景,以解答题的形式出现,证明几何体中直线、平面的垂直关系,充分考查线线、线面、面面之间的相互转化.破考点 练考向【考点集训】考点直线、平面垂直的判定与性质1.(2019北京昌平二模文,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PCD平面ABCD,AB=2,BC=1,PC=PD=2,E为PB的中点.(1)求证:PD平面ACE;(2)求证:PD平面PBC;(3)求三棱锥E-ABC的体积.解析(1)证明:连接BD,交AC于点F,连接EF.因为底面ABCD是矩形,所以F为BD的中点.又因为E为PB的中点,所以EFPD.因
3、为PD平面ACE,EF平面ACE,所以PD平面ACE.(2)证明:因为底面ABCD为矩形,所以BCCD.又因为平面PCD平面ABCD,BC平面ABCD,平面PCD平面ABCD=CD,所以BC平面PCD.因为PD平面PCD,所以BCPD.因为PC=PD=2,CD=AB=2,所以PC2+PD2=CD2,即PDPC.因为BCPC=C,BC,PC平面PBC,所以PD平面PBC.(3)因为底面ABCD是矩形,所以ADBC.因为AD平面PBC,BC平面PBC,所以AD平面PBC.由(2)得,PD平面PBC,所以VE-ABC=VA-EBC=VD-EBC=1312SPBCPD=131212122=16.所以三
4、棱锥E-ABC的体积为16.2.(2019北京西城二模文,18)如图1,在平行四边形ABCD中,O为AD的中点,BOAD.将三角形ABO沿BO折起到三角形A1BO的位置,如图2.(1)求证:BO A1D;(2)若M为A1B的中点,求证:MO平面A1CD;(3)判断平面A1OD能否垂直于平面A1CD,证明你的结论.图1图2解析(1)证明:因为在题图1中,BOAD,所以在题图2中,BOA1O,BOOD,又因为A1OOD=O,A1O,OD平面A1OD,所以BO平面A1OD,又因为A1D平面A1OD,所以BOA1D.(2)证明:如图,取A1C的中点N,连接MN、DN.因为M为A1B的中点,所以MNBC
5、,MN=12BC,又因为ODBC,OD=12BC,所以MNOD,MN=OD,所以四边形OMND为平行四边形,所以MODN.又因为MO平面A1CD,DN平面A1CD,所以MO平面A1CD.(3)结论:平面A1OD不可能垂直于平面A1CD.证明如下:假设平面A1OD平面A1CD,在平面A1OD内过O作OEA1D于E,因为平面A1OD平面A1CD=A1D,所以OE平面A1CD.又因为CD平面A1CD,所以OECD.由(1)知BO平面A1OD,所以BOOE.又因为BO与CD相交,BO,CD平面OBCD,所以OE平面OBCD,故OE同时垂直于两个相交平面OBCD和A1CD,这显然不成立,故假设不成立.所
6、以平面A1OD不可能垂直于平面A1CD.解后反思(1)先由线面垂直的判定定理得线面垂直,再由线面垂直的性质得线线垂直;(2)要证明线面平行,即在平面中找到一条直线与该直线平行,用线面平行的判定定理进行证明;(3)运用反证法进行证明.炼技法 提能力【方法集训】方法1证明线面垂直的方法1.如图,在三棱锥D-ABC中,已知BCD是正三角形,AB平面BCD,AB=BC=a,E为BC的中点,F在棱AC上,且AF=3FC.(1)求三棱锥D-ABC的体积;(2)求证:AC平面DEF;(3)若M为DB的中点,N在棱AC上,且CN=38CA,求证:MN平面DEF.解析(1)因为BCD是正三角形,且AB=BC=a
7、,所以SBCD=34a2.又AB平面BCD,所以VD-ABC=VA-BCD=13SBCDAB=1334a2a=312a3.(2)证明:取AC的中点H,连接BH,因为AB=BC,所以BHAC.因为AF=3FC,所以F为CH的中点.又因为E为BC的中点,所以EFBH,则EFAC,因为AB平面BCD,AB平面ABC,所以平面ABC平面BCD.因为BCD是正三角形,E为BC的中点,所以DEBC.又因为平面ABC平面BCD=BC,DE平面BCD,所以DE平面ABC.因为AC平面ABC,所以DEAC.又DEEF=E,且DE,EF平面DEF,所以AC平面DEF.(3)证明:当CN=38CA时,连接CM交DE
8、于O,连接OF.因为E为BC的中点,M为DB的中点,所以O为BCD的重心,则CO=23CM.因为AF=3FC,CN=38CA,所以CF=23CN,所以COCM=CFCN=23,所以MNOF.又OF平面DEF,MN平面DEF,所以MN平面DEF.思路分析(1)由VD-ABC=VA-BCD求解即可;(2)取AC的中点H,连接BH,由题意证明EFAC,利用面面垂直的性质定理证明DE平面ABC,则可得DEAC,即可证得结论;(3)连接CM,交DE于O,易证CO=23CM,CF=23CN,则MNOF,从而证得结论.方法点睛本题主要考查空间几何体的体积,直线、平面垂直的判定与性质以及直线与平面平行的判定,
9、考查了等积法求体积、空间想象能力与逻辑推理能力.2.在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知侧棱CC1底面ABC,M为BC的中点,AC=AB=3,BC=2,CC1=2.(1)证明:B1C平面AMC1;(2)求点A1到平面AMC1的距离.解析(1)证明:在ABC中,AC=AB,M为BC的中点,故AMBC,又侧棱CC1底面ABC,AM平面ABC,所以CC1AM,又BCCC1=C,BC,CC1平面BCC1B1,所以AM平面BCC1B1,又B1C平面BCC1B1,所以AMB1C.在RtBCB1中,tanB1CB=B1BBC=22,在RtMCC1中,tanMC1C=MCC1C=12=22,所以B1CB=MC
10、1C,又B1CB+C1CB1=90,所以MC1C+C1CB1=90,即MC1B1C,又AMB1C,AMMC1=M,AM,MC1平面AMC1,所以B1C平面AMC1.(2)由(1)知AMMC1,设点A1到平面AMC1的距离为h,由于VA1-AMC1=VM-A1AC1=VM-CAC1=VC1-AMC,所以13SAMC1h=13SAMCCC1,于是h=SAMCCC1SAMC1=12AMMCCC112AMC1M=MCCC1C1M=23=63,所以点A1到平面AMC1的距离为63.方法2证明面面垂直的方法3.(2016北京文,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCA
11、C.(1)求证:DC平面PAC;(2)求证:平面PAB平面PAC;(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF?说明理由.解析(1)证明:因为PC平面ABCD,DC平面ABCD,所以PCDC.(2分)又因为DCAC,ACPC=C,AC,PC平面PAC,所以DC平面PAC.(4分)(2)证明:因为ABDC,DCAC,所以ABAC.(6分)因为PC平面ABCD,AB平面ABCD,所以PCAB.(7分)又ACPC=C,AC,PC平面PAC,所以AB平面PAC.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAC.(9分)(3)棱PB上存在点F,使得PA平面CEF.(10分)理由如下:如
12、图,取PB的中点F,连接EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EFPA.(13分)又因为PA平面CEF,EF平面CEF,所以PA平面CEF.(14分)思路分析(1)证出PCDC,从而证得DC平面PAC.(2)先证ABAC,PCAB,从而证出AB平面PAC,进而由面面垂直的判定定理可证得结论.(3)此问为探究性问题,求解时可构造平面CEF,使得PA平行于平面CEF内的一条直线,由于点E为AB的中点,所以可取PB的中点,构造中位线.4.已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,PA平面ABCD,PA=AB=2,E,F分别是PB,PD的中点.(1)求证:PB平面FAC;(2)求三棱锥P-
13、EAD的体积;(3)求证:平面EAD平面FAC.解析(1)证明:连接BD,与AC交于点O,连接OF,在PBD中,O,F分别是BD,PD的中点,所以OFPB,又因为OF平面FAC,PB平面FAC,所以PB平面FAC.(2)因为PA平面ABCD,AB,AD平面ABCD,所以PAAB,PAAD,又因为ABAD,PAAB=A,PA,AB平面PAB,所以AD平面PAB,在直角PAB中,PA=AB=2,E为PB的中点,所以SPAE=1,所以VP-EAD=VD-PAE=13SPAEAD=23.(3)证明:因为AD平面PAB,PB平面PAB,所以ADPB,在等腰直角PAB中,AEPB,又AEAD=A,AE,A
14、D平面EAD,所以PB平面EAD,又OFPB,所以OF平面EAD,又OF平面FAC,所以平面EAD平面FAC.方法3翻折问题的处理方法5.(2015浙江,8,5分)如图,已知ABC,D是AB的中点,沿直线CD将ACD翻折成ACD,所成二面角A-CD-B的平面角为,则() A.ADBB.ADBC.ACBD.ACB答案B6.如图所示,在RtABC中,其ABC=90,D,E分别是AB,AC的中点,现沿DE将ADE翻折,使得A与平面ABC外一点P重合,得到如图所示的几何体.(1)证明:平面PBD平面BCED;(2)记平面PDE与平面PBC的交线为l,探究:直线l与BC是否平行.若平行,请给出证明;若不
15、平行,请说明理由.解析(1)证明:D,E分别为AB,AC的中点,DEBC,ABC=90,ABBC,BDDE,PDDE,PDBD=D,PD,BD平面PBD,DE平面PBD,DE平面BCED,平面PBD平面BCED.(2)平行.证明如下:DEBC,DE平面PDE,BC平面PDE,BC平面PDE,BC平面PBC,平面PDE平面PBC=l,lBC.【五年高考】A组自主命题北京卷题组1.(2018北京文,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PEBC;(2)求证:平面PAB平面PCD;(3)
16、求证:EF平面PCD.证明(1)因为PA=PD,E为AD的中点,所以PEAD.因为底面ABCD为矩形,所以BCAD.所以PEBC.(2)因为底面ABCD为矩形,所以ABAD.又因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,AB平面ABCD,所以AB平面PAD.又PD平面PAD,所以ABPD.又因为PAPD,ABPA=A,AB,PA平面PAB,所以PD平面PAB.又PD平面PCD,所以平面PAB平面PCD.(3)取PC的中点G,连接FG,DG.因为F,G分别为PB,PC的中点,所以FGBC,FG=12BC.因为ABCD为矩形,且E为AD的中点,所以DEBC,DE=12BC.所以DEF
17、G,DE=FG.所以四边形DEFG为平行四边形.所以EFDG.又因为EF平面PCD,DG平面PCD,所以EF平面PCD.2.(2017北京文,18,14分)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.解析本题考查线面垂直的判定和性质,面面垂直的判定及线面平行的性质,三棱锥的体积.(1)证明:因为PAAB,PABC,BCAB=B,BC,AB平面ABC,所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC,所以PABD.(2)证
18、明:因为AB=BC,D为AC的中点,所以BDAC.由(1)知,PABD,又ACPA=A,AC,PA平面PAC,所以BD平面PAC.又BD平面BDE,所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE,平面PAC平面BDE=DE,所以PADE.因为D为AC的中点,所以DE=12PA=1,BD=DC=2.由(1)知,PA平面ABC,所以DE平面ABC.所以三棱锥E-BCD的体积V=16BDDCDE=13.3.(2013北京文,17,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,ABAD,CD=2AB,平面PAD底面ABCD,PAAD.E和F分别是CD和PC的中点.求证:(1)PA底面ABCD;(
19、2)BE平面PAD;(3)平面BEF平面PCD.证明(1)因为平面PAD底面ABCD,且PA垂直于这两个平面的交线AD,所以PA底面ABCD.(2)因为ABCD,CD=2AB,E为CD的中点,所以ABDE,且AB=DE.所以四边形ABED为平行四边形.所以BEAD.又因为BE平面PAD,AD平面PAD,所以BE平面PAD.(3)因为ABAD,而且四边形ABED为平行四边形,所以BECD,ADCD.由(1)知PA底面ABCD,所以PACD.又PAAD=A,PA,AD平面PAD,所以CD平面PAD.又PD平面PAD,所以CDPD.因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PDEF.所以CDEF.又EF
20、BE=E,EF,BE平面BEF,所以CD平面BEF.又CD平面PCD,所以平面BEF平面PCD.思路分析(1)由面面垂直的性质定理可证.(2)根据线面平行的判定定理把问题转化为证明线线平行,即证BEAD,故需证四边形ABED为平行四边形.(3)利用(1)中的结论,通过证线面垂直,即CD平面BEF,即可证得平面BEF平面PCD.B组统一命题、省(区、市)卷题组1.(2019课标全国文,17,12分)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.解析本题考查
21、了长方体的性质、直线与平面垂直的判定与性质和锥体的体积,考查了空间想象能力,主要体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.(1)证明:由已知得B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(2)由(1)知BEB1=90.由题设知RtABERtA1B1E,所以AEB=A1EB1=45,故AE=AB=3,AA1=2AE=6.作EFBB1,垂足为F,则EF平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V=13363=18.思路分析(1)由长方体的性质易得B1C1BE,再利用直线与平面垂直的判定定理求证;(2)求该四棱锥的体积的
22、关键是求高,利用平面与平面垂直的性质定理,可知只需过E作B1B的垂线即可得高.解题关键由长方体的性质找BE的垂线和平面BB1C1C的垂线是求解的关键.2.(2019课标全国文,19,12分)图1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2.(1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.解析本题考查了线面、面面垂直问题,通过翻折、平面与平面垂直的证明考查了空间想象能力和推理论证能力,考查了直观想象的核心素养.(1)证明
23、:由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)取CG的中点M,连接EM,DM.因为ABDE,AB平面BCGE,所以DE平面BCGE,故DECG.由已知,四边形BCGE是菱形,且EBC=60得EMCG,故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中,DE=1,EM=3,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.思路分析(1)翻折问题一定要注意翻折前后位置的变化,特别是平行、垂直的变化.由矩形、直角三角形中的垂直关系,利用线面垂直、面面垂直的判
24、定定理可证两平面垂直;而由平行公理和平面的基本性质不难证明四点共面.(2)根据菱形的特征结合(1)的结论找到菱形BCGE的边CG上的高求解.解题关键抓住翻折前后的垂直关系,灵活转化线线垂直、线面垂直和面面垂直,题中构造侧棱的特殊“直截面”DEM,是本题求解的关键和难点.3.(2018课标文,19,12分)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.(1)证明:PO平面ABC;(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.解析(1)证明:因为AP=PC=AC=4,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=23.连接OB,因为AB=BC
25、=22AC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,OB=12AC=2.由OP2+OB2=PB2知,OPOB.由OPOB,OPAC且OBAC=O知OP平面ABC.(2)作CHOM,垂足为H.由(1)可得OPCH,又OMOP=O,所以CH平面POM.故CH的长为点C到平面POM的距离.由题设可知OC=12AC=2,CM=23BC=423,ACB=45.所以OM=253,CH=OCMCsinOCMOM=455.所以点C到平面POM的距离为455.解题关键认真分析三棱锥各侧面和底面三角形的特殊性,利用线面垂直的判定方法及等积法是解题的关键.4.(2017天津,17,13分)如图,在四棱锥P-ABCD
26、中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2.(1)求异面直线AP与BC所成角的余弦值;(2)求证:PD平面PBC;(3)求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解析(1)由ADBC,知DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.因为AD平面PDC,所以ADPD.在RtPDA中,由题意得AP=AD2+PD2=5,故cosDAP=ADAP=55.所以,异面直线AP与BC所成角的余弦值为55.(2)证明:因为AD平面PDC,直线PD平面PDC,所以ADPD.又因为BCAD,所以PDBC,又PDPB,BCPB=B,BC,PB平面PBC,所以PD平面PBC.(3)如图
27、,过点D作AB的平行线交BC于点F,连接PF,则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.因为PD平面PBC,故PF为DF在平面PBC上的射影,所以DFP为直线DF和平面PBC所成的角.由于ADBC,DFAB,故BF=AD=1,由已知,得CF=BC-BF=2.又ADDC,故BCDC,在RtDCF中,DF=CD2+CF2=25,在RtDPF中,可得sinDFP=PDDF=55.所以,直线AB与平面PBC所成角的正弦值为55.方法点拨1.求异面直线所成角的步骤:(1)作:通过作平行线得到相交直线;(2)证:证明所作角(或其补角)为异面直线所成的角;(3)求:解三角形,求出所作的角,如果
28、求得的角是锐角或直角,则它就是所求的角,如果求出的角是钝角,则它的补角为所求的角.2.求直线与平面所成角的方法:(1)定义法:关键是找出斜线在平面内的射影;(2)公式法:sin =hl(其中为直线与平面所成角,h为斜线上一点到平面的距离,l为该点到斜足的距离).5.(2017山东,18,12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.证明本题考查线面平行与面面垂直.(1)取B1D
29、1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD,所以A1EBD,因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1,又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.方法总结证明面面垂直的方法:1.面面垂直的定义;2.面面垂直的判
30、定定理(a,a).易错警示ab,a/ b.6.(2017江苏,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.证明(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因为A
31、C平面ABC,所以ADAC.方法总结立体几何中证明线线垂直的一般思路:(1)利用两平行直线垂直于同一条直线(ab,acbc);(2)线面垂直的性质(a,bab).C组教师专用题组1.(2015福建,20,12分)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.(1)若D为线段AC的中点,求证:AC平面PDO;(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;(3)若BC=2,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.解析(1)证明:在AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以AC DO.又PO垂直于圆O所在的平面,所以POAC.因为DOPO=O,DO,PO
32、平面PDO,所以AC平面PDO.(2)因为点C在圆O上,所以当CO AB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.又AB=2,所以ABC面积的最大值为1221=1.又因为三棱锥P-ABC的高PO=1,故三棱锥P-ABC体积的最大值为1311=13.(3)解法一:在POB中,PO=OB=1,POB=90,所以PB=12+12=2.同理,PC=2,所以PB=PC=BC.在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在的直线旋转至平面BCP,使之与平面ABP共面,如图所示.当O,E,C共线时,CE+OE取得最小值.又因为OP=OB,CP=CB,所以OC垂直平分PB,即E为PB的中点.从而OC=OE+EC=2
33、2+62=2+62,亦即CE+OE的最小值为2+62.解法二:在 POB中,PO=OB=1, POB=90,所以OPB=45,PB=12+12=2.同理,PC=2.所以PB=PC=BC,所以CPB=60.在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB所在的直线旋转至平面BCP,使之与平面ABP共面,如图所示.当O,E,C共线时,CE+OE取得最小值.所以,在OCP中,由余弦定理,得OC2=1+2-212cos(45+60)=1+2-222212-2232=2+3.从而OC=2+3=2+62.所以CE+OE的最小值为2+62.评析本题主要考查直线与平面的位置关系、锥体的体积等基础知识,考查学生的空间想
34、象能力、推理论证能力、运算求解能力,以及数形结合思想、转化与化归思想.2.(2016课标全国,18,12分)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点;(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.解析(1)证明:因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.又PDDE=D,所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(2)在平面P
35、AB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC,又PAPC=P,因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心,由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=23CG.由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB,所以DEPC,因此PE=23PG,DE=13PC.由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PE=22.在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2,所以四面体PDEF的体积V=131
36、2222=43.易错警示推理不严谨,书写不规范是造成失分的主要原因.评析本题考查了线面垂直的判定和性质;考查了锥体的体积的计算;考查了空间想象能力和逻辑推理能力.属中档题.3.(2015重庆,20,12分)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC=2,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EFBC.(1)证明:AB平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.解析(1)证明:如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰PDC中DC边的中点,故PEAC.又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,
37、PEAC,所以PE平面ABC,又AB平面ABC,从而PEAB.因为ABC=2,EFBC,故ABEF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.(2)设BC=x,则在直角ABC中,AB=AC2-BC2=36-x2,从而SABC=12ABBC=12x36-x2.由EFBC知,AFAB=AEAC=23,得AFEABC,故SAFESABC=232=49,即SAFE=49SABC.由AD=12AE,SAFD=12SAFE=1249SABC=29SABC=19x36-x2,从而四边形DFBC的面积为SDFBC=SABC-SAFD=12x36-x2-19x36-x2=718x3
38、6-x2.由(1)知,PE平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角PEC中,PE=PC2-EC2=42-22=23.体积VP-DFBC=13SDFBCPE=13718x36-x223=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x0,可得x=3或x=33,所以,BC=3或BC=33.评析本题考查了线面垂直的判定,棱锥体积的计算;考查了推理论证能力及空间想象能力;体现了函数与方程的思想.4.(2015课标,18,12分)如图,四边形ABCD为菱形,ABC=120,E,F是平面ABCD同一侧的两点,BE平面ABCD,DF平面ABCD,BE=2DF,AEEC.(1)
39、证明:平面AEC平面AFC;(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值.解析(1)证明:连接BD.设BDAC=G,连接EG,FG,EF.在菱形ABCD中,不妨设GB=1.由ABC=120,可得AG=GC=3.由BE平面ABCD,AB=BC,可知AE=EC.又AEEC,所以EG=3,且EGAC.在RtEBG中,可得BE=2,故DF=22.在RtFDG中,可得FG=62.在直角梯形BDFE中,由BD=2,BE=2,DF=22,可得EF=322.从而EG2+FG2=EF2,所以EGFG.又ACFG=G,可得EG平面AFC.因为EG平面AEC,所以平面AEC平面AFC.(6分)(2)如图,以G为坐标原点
40、,分别以GB,GC的方向为x轴,y轴正方向,|GB|为单位长,建立空间直角坐标系G-xyz.由(1)可得A(0,-3,0),E(1,0,2),F-1,0,22,C(0,3,0),所以AE=(1,3,2),CF=-1,-3,22.(10分)故cos=AECF|AE|CF|=-33.所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为33.(12分)【三年模拟】一、选择题(共5分)1.(2018北京顺义二模,5)已知直线a,b,m,其中a,b在平面内,则“ma,mb”是“m”的() A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案B二、解答题(共95分)2.(2019北京丰台一
41、模文,18)三棱柱ABC-A1B1C1被平面A1B1C截去一部分后得到如图所示几何体,BB1平面ABC,ABC=90,BC=BB1,E为棱B1C上的动点(不包含端点),平面ABE交A1C于点F.(1)求证:AB平面B1BC;(2)求证:EFAB;(3)是否存在点E,使得平面ABE平面A1B1C?并说明理由.解析(1)证明:因为BB1平面ABC,AB平面ABC,所以BB1AB.因为ABC=90,所以BCAB.因为BB1BC=B,B1B平面B1BC,BC平面B1BC,所以AB平面B1BC.(2)证明:由题意可得ABA1B1.因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A1B1C.因
42、为AB平面ABEF,平面ABEF平面A1B1C=EF,所以EFAB.(3)当点E为B1C的中点时,平面ABE平面A1B1C.理由:因为BC=BB1,E为B1C的中点,所以BEB1C.因为AB平面B1BC,BE平面B1BC,所以ABBE.因为ABA1B1,所以BEA1B1.因为A1B1B1C=B1,A1B1,B1C平面A1B1C,所以BE平面A1B1C.因为BE平面ABE,所以平面ABE平面A1B1C.3.(2019北京东城一模文,18)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA平面ABCD,PA=3,ABCD,ABAD,AD=DC=1,AB=2,E为侧棱PA上一点.(1)若PE=13PA,求证:PC平
43、面EBD;(2)求证:平面EBC平面PAC;(3)在侧棱PD上是否存在点F,使得AF平面PCD?若存在,求出线段PF的长;若不存在,请说明理由.解析(1)证明:设ACBD=G,连接EG.由ABCD,DC=1,AB=2,得AGGC=ABDC=2.由PE=13PA,得AEEP=2.在PAC中,由AEEP=AGGC=2,得EGPC.因为EG平面EBD,PC平面EBD,所以PC平面EBD.(2)证明:因为PA平面ABCD,BC平面ABCD,所以BCPA.由已知得AC=2,BC=2,所以AC2+BC2=AB2,所以BCAC.又PAAC=A,PA,AC平面PAC,所以BC平面PAC.因为BC平面EBC,所以平面EBC平面PAC.(3)存在.在平面PAD内作AFPD于点F.因为PA平面ABCD,CD平面ABCD,所以PACD.因为ABCD,ABAD,所以ADCD.又PAAD=A,PA,AD平面PAD,所以CD平面PAD.因为AF平面PAD,所以CD