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1、第8章 向量的数量积与三角恒等变换平面向量的数量积平面向量的数量积是由物理问题中的做功问题引入的，向量数量积的结果是一个数量，根据定义式可知，当向量夹角为锐角、钝角和直角时，其结果分别为正值、负值和零，零向量与任何一个向量的数量积均为零平面向量的数量积是向量的核心内容，通过向量的数量积考查向量的平行、垂直等关系，利用向量的数量积可以计算向量的夹角和长度【例1】非零向量a，b满足(ab)(2ab)，(a2b)(2ab)，求a，b的夹角的余弦值思路探究解由(ab)(2ab)，(a2b)(2ab)，得解得所以|a|b|ab，所以cos .1.如果等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC1，则(
2、)ABCDC设D是BC的中点，等腰三角形ABC的周长是底边长BC的5倍，BC1，在RtABD中，cosABC，|cos(ABC)21.故选C向量的坐标运算1.向量的坐标表示实际上是向量的代数表示引入向量的坐标表示后，向量的运算完全化为代数运算，实现数与形的统一2.向量的坐标运算是将几何问题代数化的有力工具，它是转化思想、函数与方程、分类讨论、数形结合等思想方法的具体体现3.通过向量坐标运算主要解决求向量的坐标、向量的模、夹角判断共线、平行、垂直等问题【例2】已知向量(4,3)，(3，1)，点A(1，2)(1)求线段BD的中点M的坐标；(2)若点P(2，y)满足(R)，求y与的值思路探究(1)先
3、求B，D点的坐标，再求M点坐标；(2)由向量相等转化为y与的方程求解解(1)设点B的坐标为(x1，y1)(4,3)，A(1，2)，(x11，y12)(4,3)，B(3,1)同理可得D(4，3)设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，则x2，y21，M.(2)由已知得(3,1)(2，y)(1,1y)，(4，3)(3,1)(7，4)又，(1,1y)(7，4)(7，4)，则2.已知ABC中，A(2，1)，B(3,2)，C(3，1)，BC边上的高为AD，求.解设D(x，y)，则(x2，y1)，(x3，y2)，(6，3)，0，则有6(x2)3(y1)0，则有3(x3)6(y2)0，解由构成的方程组得则
4、D点坐标为(1,1)，所以(1,2).平面向量的应用1.向量在平面几何中的应用，向量的加减运算遵循平行四边形法则或三角形法则，数乘运算和线段平行之间、数量积运算和垂直、夹角、距离问题之间联系密切，因此用向量方法可以解决平面几何中的相关问题2.向量在解析几何中的应用，主要利用向量平行与垂直的坐标条件求直线的方程3.在物理中的应用，主要解决力向量、速度向量等问题【例3】已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BECF；(2)APAB证明如图建立直角坐标系，其中A为原点，不妨设AB2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)(1
5、)(1,2)(2,0)(1,2)，(0,1)(2,2)(2，1)1(2)2(1)0，即BECF.(2)设P(x，y)，则(x，y1)，(2，1)，x2(y1)，即x2y2.同理，由，得y2x4，代入x2y2.解得x，y，即P.|24|2，|，即APAB3.已知三个点A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)(1)求证：ABAD；(2)要使四边形ABCD为矩形，求点C的坐标，并求矩形ABCD的两对角线所夹的锐角的余弦值解(1)证明：A(2,1)，B(3,2)，D(1,4)，(1,1)，(3,3)，1(3)130，即ABAD(2)四边形ABCD为矩形，.设C点的坐标为(x，y)，则(1,1)，(x1
6、，y4)，解得C点的坐标为(0,5)从而(2,4)，(4,2)，|2，|2，8816.设与的夹角为，则cos ，矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.给值求值问题给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”使其角相同或具有某种关系，解题的基本方法是：将待求式用已知三角函数表示将已知条件转化而推出可用的结论其中“凑角法”是解决此类问题的常用技巧解题时首先是分析已知式与待求式之间角、函数、结构间的差异，有目的的将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求出待求式的值【例4】已知，tan .(1)求tan 的值；(2)求的值思路探究(1)结合的
7、取值范围，求解tan 的值；(2)利用降幂公式和诱导公式先统一角，通过三角变换转化成关于tan 的式子代入求值即可解(1)由tan ，得3tan210tan 30，即tan 3或tan .又，所以tan .(2)原式.4已知sin，cos，且0，求cos()的值解0，0.又sin，cos，cos.sin.cos()sinsinsincoscossin.三角恒等变形的综合应用与三角恒等变形有关的综合问题一般有以下两种类型：(1)以三角恒等变形为主要的化简手段，考查三角函数的性质当给出的三角函数关系式较为复杂，我们要先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，将函数表达式变形为yAsin(x)
8、k或yAcos(x)k等形式，然后再根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质(2)以向量运算为载体，考查三角恒等变形这类问题往往利用向量的知识和公式，通过向量的运算，将向量条件转化为三角条件，然后通过三角变换解决问题；有时还从三角与向量的关联点处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查【例5】已知向量a(1，)，b(sin x，cos x)，f(x)ab.(1)若f()0，求的值；(2)当x0，时，求函数f(x)的值域思路探究(1)可先由f()0求tan ，再化简后，由tan 值代入求值；(2)先化简成f(x)Asin(x)的形式，再据x范围求x范围，进而求得f(x)的值域解(1
9、)a(1，)，b(sin x，cos x)，f(x)absin xcos x，f()0，即sin cos 0，tan ，2.(2)f(x)sin xcos x2sin，x0，x，当x，即x0时，取最小值，当x，即x时，取最大值2，当x0，时，函数f(x)的值域为，25已知向量m(sin A，cos A)，n(，1)，且mn1，且A为锐角(1)求角A的大小；(2)求函数f(x)cos 2x4cos Asin x(xR)的值域解(1)由题意得mnsin Acos A1，2sin1，sin.由A为锐角得A，A.(2)由(1)知cos A，所以f(x)cos 2x2sin x12sin2x2sin x
10、2.因为xR，所以sin x1,1，因此，当sin x时，f(x)有最大值，当sin x1时，f(x)有最小值3，所以所求函数f(x)的值域为.转化与化归的思想三角式的恒等变换是解三角函数问题的方法基础，所谓三角式的恒等变换，就是运用有关概念和公式把给定的三角式化为另一等价形式转化与化归的思想是三角恒等变换应用最广泛的，也是最基本的数学思想，它贯穿于三角恒等变换的始终，要认真体会理解，在解题过程中学会灵活应用【例6】已知sin，cos，且和分别为第二、第三象限角，求tan的值思路探究先根据，的范围求得其正、余弦再求正切值，最后由求解解sin，且为第二象限角，cos.又cos，且为第三象限角，s
11、in.tan，tan，tantan.6已知sin cos ，sin，.(1)求sin 和cos 的值；(2)求cos的值解(1)由题意得(sin cos )2，即1sin 2，sin 2.又2，cos 2，cos2 ，cos ，sin .(2)，cos，coscoscos cossin sin.数形结合思想平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运算法则、运算律的推导中都渗透了数形结合思想向量的坐标表示的引入，使向量运算完全代数化，将数和形紧密地结合在一起运用数形结合思想可解决三点共线，两条线段(或射线、直线)平行、垂直，夹角、距离、面积等问题【例7】已知向量(2,0)，(0,2)，(cos ，
12、sin )，则与夹角的范围是()ABC D思路探究计算向量的模长，得到点A在以C(0,2)为圆心，为半径的圆上，利用数形结合，由图来分析其夹角的最大值、最小值点，结合解三角形的有关知识进而得到答案D(2,0)，(0,2)，(cos ，sin )，|，A的轨迹是以C(0,2)为圆心，以为半径的圆，在COD中，OC2，CD，CDO，所以COD，所以当A在D处时，则与夹角最小为，当A在E处时与夹角最大为，与夹角的取值范围是，故选D7已知a，b是单位向量，ab0.若向量c满足|cab|1，则|c|的最大值为()A1BC1D2C|a|b|1，且ab0，可设a(1,0)，b(0,1)，c(x，y)cab(x1，y1)|cab|1，1，即(x1)2(y1)21.又|c|，如图所示由图可知，当c对应的点(x，y)在点C处时，|c|有最大值且|c|max11.