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1、1 习题五1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X.估计 P10 X18. 【解】设iX表每次掷的点数，则41iiXX22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666iiE XE X从而22291735()()().6212iiiD XE XE X又 X1,X2,X3,X4独立同分布 . 从而44117()()()414,2iiiiE XEXE X44113535()()()4.123iiiiD XDXD X所以235/31018|14 | 410.271,4PXPX2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率到达
2、在76%与 84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？【解】 令1,0,iiX若第 个产品是合格品其他情形 .而至少要生产n 件，则 i=1,2, , n,且X1，X2， Xn独立同分布，p=PXi=1=0.8. 现要求 n,使得10.760.840.9.niiXPn即10.80.760.80.840.80.90.80.20.80.20.80.2niiXnnnnnPnnn由中心极限定理得0.840.80.760.80.9,0.160.16nnnnnn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2 整理得0.95
3、,10n查表1.64,10nn 268.96, 故取 n=269. 3. 某车间有同型号机床200 部，每部机床开动的概率为0.7， 假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15 个单位 .问至少供给多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】 要确定最低的供给的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m，而m要满足 200 部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,于是我们只要供给15m 单位电能就可满足要求.令 X 表同时开动机床数目，则XB200， , ()140,()42,E XD X1400.950().42mPXmP Xm查表知14
4、01.64,42m,m=151. 所以供电能151 15=2265单位 . 4. 一加法器同时收到20 个噪声电压VkkV=201kkV，求 PV 105的近似值 . 【解】 易知 :E(Vk)=5,D(Vk)=10012,k=1,2, ,20由中心极限定理知，随机变量201205205(0,1).10010020201212kkVVZN近似的于是20 510520 51051010020201212VP VP1000.3871(0.387)0.348,102012VP即有PV5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30 根短于
5、3m 的概率是多少？【解】 设 100 根中有 X 根短于 3m，则 XB100， 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 从而30 100 0.2301301100 0.2 0.8P XP X1(2.5)10.99380.0062.6. 某药厂断言， 该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100 个服用此药品的病人，如果其中多于75 人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言. 1 假设实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？ 2 假设实际上此药品对
6、这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？【解】1,1,2,100.0,.iiXi第 人治愈其他令1001.iiXX(1) XB(100,0.8)，100175100 0.8751751100 0.8 0.2iiPXP X1( 1.25)(1.25)0.8944.(2) XB(100,0.7)，100175 100 0.7751751100 0.7 0.3iiPXP X51()1(1.09)0.1379.217. 用 Laplace 中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05 的产品中，任取1000 件，其中有20 件废品的概率 . 【解】 令 1000 件中废品数X，则p=0.0
7、5,n=1000,XB(1000,0.05)，E(X)=50，D(X)=47.5. 故12050130206.8956.89547.547.5P X61304.5 10 .6.8956.8958. 设有 T1， ，T30服从参数T为 30 个器件使用的总计时间，求T超过 350 小时的概率 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 【解】11()10,0.1iE T21()100,iD T()1030300,E T( )3000.D T故3503005350111(0.913)0.1814.300030P T9. 上
8、题中的电子器件假设每件为a 元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用假定一年有306 个工作日，每个工作日为8 小时 . 【解】 设至少需n 件才够用 .则 E(Ti)=10，D(Ti)=100，E(T)=10n，D(T)=100n. 从而130680.95,niiPT即306 8100.05.10nn故102448244.80.95,1.64,272.10nnnnn所以需 272a 元. 10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1 名家长、 2 名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.假设学校共有400 名学生，设
9、各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布. 1 求参加会议的家长数X 超过 450 的概率？2 求有 1 名家长来参加会议的学生数不多于340 的概率 . 【解】 1 以 Xi(i=1,2, ,400) 记第 i 个学生来参加会议的家长数.则 Xi的分布律为Xi0 1 2 P易知 EXi,D(Xi)=0.19,i=1,2, ,400.而400iiXX,由中心极限定理得400400 1.14001.1(0,1).4000.194 19iiXXN近似地于是450400 1.1450145014 19P XP X1(1.147)0.1357.(2) 以 Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则
10、YB(400,0.8)由拉普拉斯中心极限定理得340400 0.8340(2.5)0.9938.400 0.8 0.2P Y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 11. 设男孩出生率为0.515，求在 10000 个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？【解】 用 X 表 10000 个婴儿中男孩的个数，则XB10000， 要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求PX 5000. 由中心极限定理有5000 10000 0.5155000( 3)1(3)0.00135.10000 0.515 0.485P X12. 设有 10
11、00 个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以 95%概率估计，在一次行动中：1至少有多少个人能够进入？2至多有多少人能够进入？【解】 用 Xi表第 i 个人能够按时进入掩蔽体i=1,2, ,1000 . 令Sn=X1+X2+ X1000. (1) 设至少有m 人能够进入掩蔽体，要求Pm Sn，事件9001000 0.9.1000 0.9 0.190nnSmmS由中心极限定理知：1000 0.9110.95.1000 0.9 0.1nnmP mSP Sm从而9000.05,90m故9001.65,90m所以m=900-15.65=884.35 884 人(2) 设至多有M 人能
12、进入掩蔽体，要求P0 Sn M 0.95.9000.95.90nMP SM查表知90090M=1.65,M=900+15.65=915.65 916人. 13. 在一定保险公司里有10000 人参加保险，每人每年付12 元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000 元赔偿费 .求：1保险公司没有利润的概率为多大；2保险公司一年的利润不少于60000 元的概率为多大？【解】 设 X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则XB10000，0.006. (1) 公司没有利润当且仅当“1000 X=10000 12”即 “ X=120”.于是所求概率为精选学习资料
13、- - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 1120 10000 0.00612010000 0.006 0.99410000 0.006 0.994P X21(60/59.64)230.181116011e59.6459.64259.640.0517 e0(2) 因为 “ 公司利润 60000 ”当且仅当 “ 0X 60”于是所求概率为6010000 0.0060 10000 0.00606010000 0.006 0.99410000 0.006 0.994PX60(0)0.5.59.64P| X-Y| 6的估计 . 2001 研考
14、【解】 令 Z=X-Y，有( )0,()()()( )2()( )3.XPE ZD ZD XYD XD YD XD Y所以2()31|() | 6| 6.63612D XYPZE ZPXY15. 某保险公司多年统计资料说明，在索赔户中， 被盗索赔户占20%，以 X 表示在随机抽查的 100 个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数. 1 写出 X 的概率分布；2 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14 户且不多于30 户的概率近似值. 1988 研考【解】 1 X 可看作 100 次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此， XB(100,0.2)，故
15、X 的概率分布是100100C0.2 0.8,1,2,100.kkkP Xkk(2) 被盗索赔户不少于14 户且不多于30 户的概率即为事件14 X 30的概率 .由中心极限定理，得30 100 0.214 100 0.21430100 0.2 0.8100 0.2 0.8PX(2.5)( 1.5)0.994 9.330.927.16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50 千克，标准差为 5 千克，假设用最大载重量为5 吨的汽车承运， 试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977. 【解】 设 Xii=1,2, ,n是装运i
16、箱的重量单位：千克，n 为所求的箱数，由条件知，可把 X1，X2，Xn视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总重量Tn=X1+X2+ Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 ()50,iE X()5,iD X()50 ,nE Tn()5.nD Tn依中心极限定理，当n 较大时，50(0,1)5nTnNn近似地,故箱数 n 取决于条件505000 50500055nnTnnP TPnn1000 100.977(2).nn因此可从1000102nn解出 n98.0199, 即最多可装98 箱. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页