2022年概率统计专题复习 .pdf

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1、学习必备欢迎下载概率、统计专题复习（理科）例 1、世界大学生夏季运动会期间, 为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12 名男志愿者和 18 名女志愿者。 将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位 :cm） ：若身高在175cm以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”. （）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5 人, 再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（）若从所有“高个子”中选3 名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人

2、数，试写出的分布列 . 例 2、红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对 B，丙对 C 各一盘，已知甲胜A，乙胜 B，丙胜 C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E. 例 3. 从装有 6 个白球、 4 个黑球和2 个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢 2 元，而每取出一个白球输1 元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，则随机变量X可以取哪些值？求X的概率分布 . 例 41 （2012 年高考（天津理） ）现有 4 个人去参加某娱乐活动, 该

3、活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择 . 为增加趣味性 , 约定 : 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏, 掷出点数为1 或 2 的人去参加甲游戏, 掷出点数大于2 的人去参加乙游戏. ( ) 求这 4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率: ( ) 求这 4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: ( ) 用,X Y分别表示这4 个人中去参加甲、乙游戏的人数, 记=|XY, 求随机变量的分布列与数学期望E. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页学习必备欢迎下载作业：1. 把一枚硬币掷两次

4、, 事件 A=第一次出现正面, 事件 B=第二次出现正面, 则P(B|A) 等于( )A.14 B. 12 C. 16 D.1822 （2012 陕西理）从甲乙两个城市分别随机抽取16 台自动售货机 , 对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示( 如图所示 ), 设甲乙两组数据的平均数分别为x甲,x乙, 中位数分别为m甲,m乙, 则 （）Axx甲乙,m甲m乙 Bxx甲乙,m甲m乙Cxx甲乙,m甲m乙 Dxx甲乙,m甲m乙3. 已知随机变量 的分布列为P（=k）=k21，k=1，2，则P（2 4）等于（）A.163B.41C.161D.514随机变量X的分布列为X 124 P 0.40.30.3

5、 则E(5X4)等于 ( ) A 15 B 11 C2.2 D2.3 5一个篮球运动员投篮一次得3 分的概率为a，得 2 分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a13b的最小值为 ( ) A.323B.283 C.143 D.1636. 一袋中有5 个白球， 3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10 次时停止，设停止时共取了 次球，则P（=12）等于 ( ) A.C1012（83）10 （85）2 B.C911（83）9（85）283C.C911（85）9 （83）2 D.C911（83）9 （85）27. 如

6、图 4，EFGH 是以 O 为圆心，半径为1 的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该图内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内” ， B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内” ，则（ 1）P （A）= _; （2）P （B|A）= 8.袋中有相同的5 个球，其中3 个红球， 2 个黄球，现从中随机且不放回地摸球，每次摸 1 个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，则随机变量 的期望是9. 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40 名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1200 编号，并按编号顺序平均分为40 组（ 1 5

7、号， 610 号， 196200 号） 若第5 组抽出的号码为23，则第8 组抽出的号码应是。若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取人。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12 页学习必备欢迎下载频率组距20 25 30 35 40 45 年龄岁10甲罐中有5 个红球， 2 个白球和3 个黑球， 乙罐中有4 个红球， 3 个白球和3 个黑球 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件； 再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的是

8、 _( 写出所有正确结论的编号) P(B) 25；P(B|A1) 511；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两两互斥的事件三、解答题11为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者. 从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示（） 频率分布表中的、 位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在30 35，）岁的人数；（）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X

9、，求X的分布列12. 甲、乙两人进行投篮比赛，两人各投3 球，谁投进的球数多谁获胜，已知每次投篮甲投进的概率为54, 乙投进的概率为21，求： （ 1）甲投进2 球且乙投进1 球的概率；（ 2）在甲第一次投篮未投进的条件下，甲最终获胜的概率. 分组（单位：岁）频数频率20,255050.025,30200.030,353535,4030300.040,4510100.0合计10000.1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页学习必备欢迎下载13. 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二

10、等品通过检测的概率为23.现有 10 件产品，其中6 件是一等品， 4 件是二等品 . ( ) 随机选取1 件产品，求能够通过检测的概率；( ) 随机选取3 件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列；( ) 随机选取3 件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率. 14. 某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4 位申请人中：（）恰有2 人申请 A片区房源的概率；（）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共

11、 12 页学习必备欢迎下载概率、统计专题复习（理科答案）例 1、世界大学生夏季运动会期间, 为了搞好接待工作，组委会在某学院招募了12 名男志愿者和 18 名女志愿者。 将这 30 名志愿者的身高编成如右所示的茎叶图（单位 :cm） ：若身高在175cm以上（包括175cm ）定义为“高个子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定义为“非高个子”, 且只有“女高个子”才担任“礼仪小姐”. （）如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中中提取5 人, 再从这 5 人中选 2 人，那么至少有一人是“高个子”的概率是多少？（）若从所有“高个子”中选3 名志愿者，用表示所选志愿者中能担任“

12、礼仪小姐”的人数，试写出的分布列 . 【解析】（）根据茎叶图，有“高个子”12 人， “非高个子” 18 人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是61305，所以选中的“高个子”有26112人， “非高个子”有36118人用事件A表示“至少有一名“高个子”被选中”，则它的对立事件A表示“没有一名“高个子”被选中” ，则()P A12523CC1071031因此，至少有一人是“高个子”的概率是107（）依题意，的取值为0,1, 2, 35514CC)0(31238P，5528CCC) 1(3122814P，5512CCC)2(3121824P，551CC)3(31234P因此，的分布列如下：0

13、123p551455285512551例 2、红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行围棋比赛，甲对A，乙对 B，丙对 C 各一盘，已知甲胜A，乙胜 B，丙胜 C 的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立。（）求红队至少两名队员获胜的概率；（）用表示红队队员获胜的总盘数，求的分布列和数学期望E. 解： （I ）设甲胜A的事件为 D，乙胜 B的事件为E，丙胜 C的事件为F，则,D E F分别表示甲不胜A、乙不胜 B，丙不胜C的事件。因为()0.6,()0.5,()0.5,P DP EP F由对立事件的概率公式知()0.4,()0.5,()0.5,P DP EP F精选学习资

14、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页学习必备欢迎下载红队至少两人获胜的事件有：,.DEFDEFDEF DEF由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为()()()()0.6 0.5 0.50.6 0.5 0.50.4 0.5 0.50.6 0.5 0.50.55.PP DEFP DEFP DEFP DEF（II ）由题意知可能的取值为0，1，2，3。又由（ I ）知,DEF DEFDEF是两两互斥事件，且各盘比赛的结果相互独立，因此(0)()0.40.50.50.1,PP DEF(1)()(

15、)()PP DEFP DEFP DEF0.4 0.5 0.50.4 0.5 0.50.6 0.5 0.50.35(3)()0.60.50.50.15.PP DEF由对立事件的概率公式得(2)1(0)(1)(3)0.4,PPPP所以的分布列为：0 1 2 3 P 01 035 04 015 因此00.11 0.3520.430.151.6.E例 3. 从装有 6 个白球、 4 个黑球和2 个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢 2 元，而每取出一个白球输1 元，取出黄球无输赢，以X表示赢得的钱数，则随机变量X可以取哪些值？求X的概率分布 . 【解析】：从箱中取两个球的情形有以下六种：

16、2 白， 1 白 1 黄 ，1 白 1 黑 ，2 黄 ，1 黑 1 黄 ，2 黑. 当取到 2 白时，结果输2 元，则 X=-2；当取到 1 白 1 黄时，输1 元，记随机变量X=-1；当取到 1 白 1 黑时，随机变量X=1 ；当取到 2 黄时， X=0；当取到1 黑 1 黄时， X=2；当取到 2 黑时， X=4. 则 X的可能取值为-2，-1 ，0，1， 2，4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页学习必备欢迎下载P（X=-2） =225CC21226，P（X=-1）=112CCC2121216，P（X=0）

17、=661CC21222，P（X=1 ） =114CCC2121416，P（X=2）=334CCC2121214，P（ X=4 ）=111CC21224. 从而得到X的概率分布如下：X -2 -1 0 1 2 4 P 225112661114334111例 43 （2012 年高考（天津理） ）现有 4 个人去参加某娱乐活动, 该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择 . 为增加趣味性 , 约定 : 每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加个游戏, 掷出点数为1 或 2 的人去参加甲游戏, 掷出点数大于2 的人去参加乙游戏. ( ) 求这 4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率: ( ) 求这

18、4 个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率: ( ) 用,X Y分别表示这4 个人中去参加甲、 乙游戏的人数 , 记=|XY, 求随机变量的分布列与数学期望E. 【解析】：依题意 ,这 4 个人中 , 每个人去参加甲游戏的概率为13, 去参加乙游戏的概率为23.设 “这 4 个人中恰有i人去参加甲游戏” 为事件(0,1,2,3,4)iA i, 则4412()( ) ( )33iiiiP AC. (1) 这 4 个人中恰有2 人去参加甲游戏的概率为22224128()( ) ( )3327P AC. (2) 设 “这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”不事件B, 则

19、34BAA,由于3A与4A互斥 , 故334434441211()()()( ) ( )( )3339P BP AP ACC所以这 4 人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19. (3)的所有可能的取值为0,2,4, 由于1A与3A互斥 ,0A与4A互斥 , 故2130484017(0)(),(2)()(),(4)()()278181PP APP AP APP AP A所以的分布列为0 2 4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页学习必备欢迎下载p82740811781作业：2. 把一枚硬币掷两次,

20、事件 A=第一次出现正面, 事件 B=第二次出现正面, 则P(B|A) 等于(B) A.14 B. 12 C. 16 D.1824 （2012 陕西理）从甲乙两个城市分别随机抽取16 台自动售货机 , 对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表示( 如图所示 ), 设甲乙两组数据的平均数分别为x甲,x乙, 中位数分别为m甲,m乙, 则 （）Axx甲乙,m甲m乙Bxx甲乙,m甲m乙Cxx甲乙,m甲m乙Dxx甲乙,m甲m乙3. 已知随机变量 的分布列为P（=k）=k21，k=1，2，则P（2 4）等于（ A）A.163B.41C.161D.514随机变量X的分布列为X 124 P 0.40.30.3

21、则E(5X4)等于 ( ) A 15 B 11 C2.2 D2.3 5一个篮球运动员投篮一次得3 分的概率为a，得 2 分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c(0,1)，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a13b的最小值为 ( D ) A.323B.283 C.143 D.163【答案】：选 D 【解析】：3a+2b+0=2, 21121120412016()(32 )()(4)32323233baabababab6. 一袋中有5 个白球， 3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10 次时停止，设停止时共取了 次球，则P（=12）等于 (B) A.C1012

22、（83）10 （85）2 B.C911（83）9（85）283C.C911（85）9 （83）2 D.C911（83）9 （85）27. 如图 4，EFGH 是以 O 为圆心，半径为1 的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页学习必备欢迎下载扔到该图内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内” ， B 表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内” ，则（1）P（A ） = _; （2）P（ B|A）= 【答案】：21(1)(2)48. 袋中有相同的5 个球，其中3 个红球， 2 个黄球

23、，现从中随机且不放回地摸球，每次摸1个，当两种颜色的球都被摸到时，即停止摸球，记随机变量为此时已摸球的次数，则随机变量 的期望是解析 : 随机变量 可取的值为2,3,4 ，11123211543(2)5c c cPc c;2121233211 154 33(3)10A cA cPc c c; ;31321 1115 4321(4)10A cPc c c c所以随机变量 的概率分布列为：234 P 35310110随机变量 的数学期望E( ) 235 3310 411052；9. 某单位 200 名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40 名职工作样本， 用系统抽样法，将全体职工随机按1 200

24、 编号，并按编号顺序平均分为40 组（ 15 号， 610 号， 196200号） 若第 5 组抽出的号码为23，则第 8 组抽出的号码应是。若用分层抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取人。A B 38，20 10甲罐中有5 个红球， 2 个白球和3个黑球，乙罐中有4 个红球， 3 个白球和 3 个黑球先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的是_( 写出所有正确结论的编号) P(B) 25；P(B|A1) 511；事件B与事件A1相互独立；A1，A2，A3是两

25、两互斥的事件【答案】 : 【解析】：由题意知P(B) 的值是由A1，A2，A3中某一个事件发生所决定的，故错误；P(B|A1) PA1BPA11251112511，故正确；由互斥事件的定义知正确，故正确结论的编号是. 三、解答题11为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者. 从符合条件的500名志愿者中随机抽样100名志愿者的年龄情况如下表所示（） 频率分布表中的、 位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在30 35，）岁的人数；（）在抽出的100名志愿者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传活精选

26、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页学习必备欢迎下载频率组距20 25 30 35 40 45 年龄岁频率组距20 25 30 35 40 45 年龄岁动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列【解析】（）处填20，处填35. 0；补全频率分布直方图如图所示. 500名志愿者中年龄在35,30的人数为0.35500175人（）用分层抽样的方法，从中选取20人, 则其中“年龄低于30岁”的有5人，“年龄不低于30岁”的有15人故X的可能取值为0，1，2；2152

27、2021(0)38CP XC，1115522015(1)38C CP XC，252202(2)38CP XC，所以X的分布列为：X012P 2138153823812. 甲、乙两人进行投篮比赛，两人各投3 球，谁投进的球数多谁获胜，已知每次投篮甲投进的概率为54, 乙投进的概率为21，求：（ 1）甲投进2 球且乙投进1 球的概率；（ 2）在甲第一次投篮未投进的条件下，甲最终获胜的概率. 解（1）甲投进2 球的概率为23C25451=12548，乙投进 1 球的概率为13C22121=83，甲投进 2 球且乙投进1 球的概率为1254883=12518. 分组（单位：岁）频数频率20,25505

28、0.025,30200.030,353535,4030300.040,4510100.0合计10000.1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页学习必备欢迎下载(2) 在甲第一次投篮未进的条件下, 甲获胜指甲后两投两进且乙三投一进或零进(记为A),或甲后两投一进且乙三投零进( 记为 B), P(A)=22C254 13C121221+03C321 =251621=258, P(B)=12C545103C321=25881=251, 故所求概率为P(A+B)= 259. 13. 某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每

29、一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有 10 件产品，其中6 件是一等品， 4 件是二等品 . ( ) 随机选取1 件产品，求能够通过检测的概率；( ) 随机选取3 件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列；( ) 随机选取3 件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率. 【解析】 :（）设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A事件A等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”151332104106)(Ap( ) 由题可知X可能取值为0,1,2,3. 30463101(0)30C CP XC,21463103(1)10C CP XC, 12463101

30、(2)2C CP XC,03463101(3)6C CP XC. 故X的分布列为( ) 设随机选取3 件产品都不能通过检测的事件为B事件B等于事件“随机选取3 件产品都是二等品且都不能通过检测”所以，3111( )( )303810P B. 14. 某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的求该市的任4 位申请人中：（）恰有2 人申请 A片区房源的概率；（）申请的房源所在片区的个数的分布列与期望【解析】：这是等可能性事件的概率计算问题. （I ） 解法一：所有可能的申请方式有34 种， 恰有 2 人申请 A片区房源的申请方

31、式2242C种，从而恰有2 人申请 A片区房源的概率为X0 1 2 3 P3011032161精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页学习必备欢迎下载224428.273C解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4 次独立重复试验. 记“申请A片区房源”为事件A ，则1().3P A从而，由独立重复试验中事件A恰发生 k 次的概率计算公式知，恰有 2 人申请 A片区房源的概率为22244128(2)( ) ().3327PC（II ） 的所有可能值为1， 2，3. 又421322243244234431(1),273()(22)1414(2)(2)272733PCC CC CCPP或12123342434444(3)(3).9933C C CC APP或综上知， 有分布列 1 2 3 P 127142749从而有114465123.2727927E精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页