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1、线性代数期末考试试题B 及解答一、填空:(每空 2 分,共 34分)1、n阶行列式ijaD按照定义的完全展开式为; 该行列式的展开式中共项。2、设向量组123,12,11321aa线性相关,则 a,向量组的一个极大线性无关组为。3、A为三阶矩阵,且31A,*A为A的伴随矩阵,则32A,1*6AA。4、 n阶矩阵A不可逆,且A的伴随矩阵*A0,则线性方程组bAX的一个基础解系中含有个解向量。5、设矩阵4321A,矩阵B43322121322,且52A,则1B= ,BA。6、A为三阶矩阵,将A的第二列与第三列交换得到矩阵B,再把矩阵B的第一列加到第二列得到矩阵C,则满足CAQ的可逆矩阵Q。7、设向
2、量,)211(,) 101 (TT则矩阵A_T,100A。8、若矩阵A3222与对角形矩阵B相似,则B,且IA3。9、设矩阵A的秩为 2,且IA2,AI均不可逆,则A的特征值为,实对称矩阵B与A相似,则二次型BXXxxxfT321,的规范形是,此二次型(填是或不是)正定二次型。二、计算题(要求写出计算过程)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页1、计算行列式1331133113311331aaaaD2、求齐次线性方程组079311813321115114321xxxx的一个标准正交的基础解系。3、设矩阵100021012
3、A,矩阵X满足方程IXAAXA*2,其中*A为A的伴随矩阵,求矩阵X。4、设矩阵51341321aA有一个二重特征值4,求参数 a的值,并判断矩阵A能否与对角形矩阵相似,说明理由。三、设线性方程组axxxxxxxxxxxx43214321432133215341,问a取何值时,方程组有解;有解时求出方程组的通解。四、 (14分)已知二次型),(321xxxf323121232221844141417xxxxxxxxx1、写出二次型的矩阵A2、 用正交变换法将二次型化为标准形,并写出所做正交变换TYX及二次型标准形。五、证明题:1、设矩阵A满足0522IAA,证明:A可逆,并求1A。2、设1与2
4、是非齐次线性方程组bAX的两个不同解, 其中A为nm矩阵,是对应的齐次线性方程组0AX的一个非零解,证明:精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 6 页(1)向量组211,线性无关;(2)若矩阵的秩1)(nAr,则向量组21,线性相关。一、填空(每空2 分,共 34 分)1、)(1)(111)1(nnnjjnjjjjaa;! n2、21;21,3、278;3 4、1 5、2;0 6、0101000117、211000211;A8、21;149、1,21,0;2221zz;不是二、计算题1、解:1332133213321332aa
5、aaaaaD-2 分1331133113311331)2(aaaa0001001001001)2(aaaa-4 分)2(3aa-7 分2、解:000010001112111212241112A-2 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页所以方程组的一个基础解系为0110,002121-4 分标准正交化得一标准正交的基础解系为:0512301,00215121qq-7 分3、解:因为3A,由IXAAXA*2可得AXAX63,所以AIAX1)2(3-4 分1000010102IA,100001010)2(1IA-6 分30
6、0036063X-8 分4、解:由32064113013234aaaAI-4 分因为0003103011321301323)4(AI,2)4(AIr,只有一个线性无关的特征向量 ,所以矩阵不能与对角形矩阵相似。-8 分三、解:aA33121153411111100003511011111251103511011111aa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页所以1a时,方程组有解 -2分方程组为3514324321xxxxxxx,则一般解为43434353422xxxxxxX-4 分方程组特解为:T00320,导出组的一
7、个基础解系为T01121,T10542-10 分所以方程组的通解为:22110kkX,21, kk为任意常数 -12 分四、1、144241422217A-2 分2、)9()18(2AI,所以9,18321-5 分对于,1821可得两个线性无关的特征向量TT102,01221,施 密 特 正 交 化 可 得 两 个 标 准 正 交 的 特 征 向 量Tq012511,Tq5425312-9 分对于93,可得T2213,标准化得Tq221313-11 分令321qqqT,则在TYX下,二次型化为23222191818yyyf-14 分五、证明题精选学习资料 - - - - - - - - - 名
8、师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页1、证明:因为IIAIA)5)(-3 分所以A可逆,且IAIA5)(1。-5 分2、证明: (1)设0)(21211kk,则0)(21211AkAk-1 分即0)(21bbkbk,所以01k,从而0)(212k,由21推出02k所以1和21线性无关 -3 分(2)因为1)(Arn,所以和21线性相关,即存在不全为零的21, kk使得0)(2121kk,01k,否则必有02k与21, kk不全为零矛盾。所以212112kkkk,即21,线性相关。 -5 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页