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1、线性代数期末考试试题一、 （32分）填空（ 2 分16）1、设四阶行列式ijDa的展开式中有一项21431234a a a a ，此项前面应带的符号为；又设三阶行列式31 0 23 4 50 1 1D，其第二行元素的代数余子式之和212223AAA 。2、当 t 时，矩阵131 2132 126 2At的秩 rA 2，此时若令矩阵A1234，则A的列向量组的一个极大无关组为。3、设A为四阶方阵，且A =2，则1A= ，*132AA= ， （其中*A为矩阵A的伴随矩阵）。4、设38 6 ，3 2 1 ，则AT，200A。5、 n阶矩阵A为可逆矩阵的充要条件是A的列向量组线性关；又A为正交矩阵的充
2、要条件是A的行向量组是向量组。6、1010 1 02 11 01 0 0312 10 0 142，111 0 00 1 02 0 1。7 、 设 二 阶 矩 阵123 2A， 矩 阵1BCAC， 则 矩 阵B的 对 角 标 准 形为，1BI = 。8、A为三阶实对称矩阵，且AI，2AI不可逆， A 1，则A的三个特征值为； 以A为 系 数 矩 阵 的 二 次 型123TfxxxX AX 的 规 范 形为。共6 页第 2 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页二、 （21分）计算（要求写出计算过程） （6 分+7分+8
3、 分）1、计算四阶行列式：1 1 11 1111 11 1 1aaDaa2、设矩阵01 13 4 111 1A与0 12 11 0B满足1*2AXA BX（其中*A为矩阵A的伴随矩阵），化简此矩阵方程并求矩阵X。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页共 6 页第 3 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页3、设12 1 01T，21 11 0T，31 211T为线性方程组AXB的三个解，2rA求：此方程组的导出组0AX的一个基础解系，使它构成
4、一个标准正交向量组。三、 （13分）设线性方程组123412341242233484484xxxxxxxxtxxx，求：当 t取何值时，方程组有解；有解时求出方程组的通解。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页共6 页第 4 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页四、 （14分）设二次型232221231235446fx xxxxxx x1、写出此二次型的系数矩阵A。2、正交变换XTY下，此二次型化为标准形232221555fyyy ，求该正
5、交变换XTY。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页共6 页第 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页五、 （10分）设矩阵1 0121 0 1Aab1、若A能与对角形矩阵相似，则a ，b应满足什么条件，并说明理由。2、若A能正交相似于对角形矩阵，则a，b应满足什么条件。（只需写出结果）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页共6 页第 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页六、 （10分）证明题（ 5 分+5分）1、已知A、B均为 53 矩阵，证明：矩阵TAB不是可逆矩阵。2、设A为 n 阶实对称矩阵，且3AI，求:矩阵A并说明理由。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页