《2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第4章 第6节 正弦定理、余弦定理 .doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021高三数学北师大版（理）一轮教师用书：第4章 第6节 正弦定理、余弦定理 .doc（12页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第六节正弦定理、余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题1正弦、余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容2R.a2b2c22bccos_A；b2c2a22cacos_B；c2a2b22abcos_C变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)abcsin Asin Bsin C；(3)2R.cos A；cos B；cos C2三角形常用面积公式(1)Saha(ha表示边a上的高)；(2)Sabsin Cacsin Bbcsin A；(3)Sr(abc)(r为内切圆半径
2、)1在ABC中，ABabsin Asin B.2三角形中的射影定理在ABC中，abcos Cccos B；bacos Cccos A；cbcos Aacos B.3内角和公式的变形(1)sin(AB)sin C；(2)cos(AB)cos C.4角平分线定理：在ABC中，若AD是角A的平分线，如图，则.一、思考辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比()(2)在ABC中，若sin Asin B，则AB.()(3)在ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素()(4)当b2c2a20时，ABC为锐角三角形；当b2c2a20时，ABC为直角三角形；当b2
3、c2a20时，ABC为钝角三角形()答案(1)(2)(3)(4)二、教材改编1已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A，B，a1，则b()A2B1CDD由得b2.2在ABC中，若a18，b24，A45，则此三角形有()A无解B两解C一解D解的个数不确定Bbsin A24sin 4512，121824，即bsin Aab.此三角形有两解3在ABC中，acos Abcos B，则这个三角形的形状为_等腰三角形或直角三角形由正弦定理，得sin Acos Asin Bcos B，即sin 2Asin 2B，所以2A2B或2A2B，即AB或AB，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形4在
4、ABC中，A60，AC4，BC2，则ABC的面积等于_2因为，所以sin B1，所以 B90，所以AB2，所以SABC222.考点1利用正、余弦定理解三角形问题解三角形的常见题型及求解方法(1)已知两角A，B与一边a，由ABC及，可先求出角C及b，再求出c.(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2b2c22bccos A，先求出a，再求出角B，C.(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理可求出另一边b的对角B，由C(AB)，可求出角C，再由可求出c，而通过求角B时，可能有一解或两解或无解的情况(1)(2019全国卷)ABC的内角A
5、，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin Absin B4csin C，cos A，则()A6B5C4D3(2)(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin Bsin C)2sin2Asin Bsin C.求A；若ab2c，求sin C.(1)Aasin Absin B4csin C，由正弦定理得a2b24c2，即a24c2b2.由余弦定理得cos A，6.故选A.(2)解由已知得sin2Bsin2Csin2Asin Bsin C，故由正弦定理得b2c2a2bc.由余弦定理得cos A.因为0A180，所以A60.由知B120C，由题设及正弦定理得sin As
6、in(120C)2sin C，即cos Csin C2sin C，可得cos(C60).由于0C120，所以sin(C60)，故sin Csin(C6060)sin(C60)cos 60cos(C60)sin 60.解三角形问题，关键是利用正、余弦定理实施边和角的转化，三角变换的相关公式如两角和与差的正、余弦公式，二倍角公式等，作为化简变形的重要依据教师备选例题(2018天津高考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsin Aacos.(1)求角B的大小；(2)设a2，c3，求b和sin(2AB)的值解(1)在ABC中，由正弦定理，可得bsin Aasin B，又由bsi
7、n Aacos，得asin Bacos，即sin Bcos，可得tan B.又因为B(0，)，可得B.(2)在ABC中，由余弦定理及a2，c3，B，有b2a2c22accos B7，故b.由bsin Aacos，可得sin A.因为ac，故cos A.因此sin 2A2sin Acos A，cos 2A2cos2A1，所以，sin(2AB)sin 2Acos Bcos 2Asin B.1.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsin Aacos B0，则B_.bsin Aacos B0，.由正弦定理，得cos Bsin B，tan B1.又B(0，)，B.2在A
8、BC中，AB4，AC7，BC边上中线AD，则BC_.9设BDDCx，ADC，ADB，在ADC中，72x222xcos ，在ABD中，42x222xcos()，得x，BC9.3(2019贵阳模拟)在ABC中，内角A，B，C的对边a，b，c成公差为2的等差数列，C120.(1)求边长a；(2)求AB边上的高CD的长解(1)由题意得ba2，ca4，由余弦定理cos C得cos 120，即a2a60，所以a3或a2(舍去)，所以a3.(2)法一：由(1)知a3，b5，c7，由三角形的面积公式得absinACBcCD，所以CD，即AB边上的高CD.法二：由(1)知a3，b5，c7，由正弦定理得，即sin
9、 A，在RtACD中，CDACsin A5，即AB边上的高CD.考点2与三角形面积有关的问题三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式Sabsin Cacsin Bbcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)一题多解设D为BC边上一点，且ADAC，求ABD的面积解(1)由已知条件可得tan A，A(0，)，所以A，在ABC中，由余弦定理得284c24ccos ，即c22c240，解得c6(舍去)，或c4.(2)法一：如
10、图，由题设可得CAD，所以BADBACCAD，故ABD面积与ACD面积的比值为1，又ABC的面积为42sinBAC2，所以ABD的面积为.法二：由余弦定理得cos C，在RtACD中，cos C，所以CD，所以AD，DBCD，所以SABDSACD2sin C.法三：BAD，由余弦定理得cos C，所以CD，所以AD，所以SABD4sinDAB.(1)若已知一个角(角的大小或该角的正弦值、余弦值)，一般结合题意求夹这个角的两边或两边之积，再代入公式求解；(2)若已知三边，可先求一个角的余弦值，再求正弦值，最后代入公式得面积；(3)若求面积的最值，一般表示为一个内角的三角函数，利用三角函数的性质求
11、解，也可结合基本不等式求解教师备选例题已知ABC的面积为3，AC2，BC6，延长BC至D，使ADC45.(1)求AB的长；(2)求ACD的面积解(1)因为SABC62sinACB3，所以sinACB，ACB30或150，又ACBADC，且ADC45，所以ACB150，在ABC中，由余弦定理得AB21236226cos 15084，所以AB2.(2)在ACD中，因为ACB150，ADC45，所以CAD105，由正弦定理得，所以CD3，又ACD18015030，所以SACDACCDsinACD2(3).1.(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC
12、的面积为_6法一：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以ABC的面积Sacsin B42sin 6.法二：因为a2c，b6，B，所以由余弦定理b2a2c22accos B，得62(2c)2c222cccos ，得c2，所以a4，所以a2b2c2，所以A，所以ABC的面积S266.2在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bc2acos B.(1)证明：A2B；(2)若ABC的面积S，求角A的大小解(1)证明：由正弦定理得sin Bsin C2sin Acos B，故2sin Acos Bsi
13、n Bsin(AB)sin Bsin Acos Bcos Asin B，于是sin Bsin(AB)又A，B(0，)，故0AB，所以B(AB)或BAB，因此A(舍去)或A2B，所以A2B.(2)由S，得absin C，故有sin Bsin Csin Asin 2Bsin Bcos B，由sin B0，得sin Ccos B.又B，C(0，)所以CB.当BC时，A；当CB时，A.综上，A或A.考点3判断三角形的形状判断三角形形状的2种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状(2)化角：通过三角恒等变形，得出内角的关系，从而判断三角形的形状此时要注意应用ABC这个
14、结论设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定B由正弦定理得sin Bcos Csin Ccos Bsin2A，sin(BC)sin2A，即sin(A)sin2A，sin Asin2A.A(0，)，sin A0，sin A1，即A，ABC为直角三角形母题探究1(变条件)本例中，若将条件变为2sin Acos Bsin C，判断ABC的形状解2sin Acos Bsin Csin(AB)，2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，sin(AB)0.又A，B为ABC
15、的内角AB，ABC为等腰三角形2(变条件)本例中，若将条件变为a2b2c2ab，且2cos Asin Bsin C，判断ABC的形状解a2b2c2ab，cos C，又0C，C，又由2cos Asin Bsin C得sin(BA)0，AB，故ABC为等边三角形在判断三角形的形状时，一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应提取公因式，以免漏解1.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，(bca)(bca)3bc，则ABC的形状是()A直角三角形B等腰非等边三角形C等边三角形D钝角三角形C因为，所以.所以bc.又(bca)(bca)3bc，所以b2c2a2bc，所以cos A.因为A(0，)，所以A.所以ABC是等边三角形2已知ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2c，则ABC的形状是()A等边三角形B锐角三角形C等腰直角三角形D钝角三角形C因为2c，所以由正弦定理可得2sin C，而22，当且仅当sin Asin B时取等号所以2sin C2，即sin C1.又sin C1，故可得sin C1，所以C90.又因为sin Asin B，所以AB.故三角形为等腰直角三角形故选C.