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1、学习必备欢迎下载高考数学三角函数练习题及答案解析（2010 上海文数） 19. （本题满分12 分）已知02x，化简：2lg(costan12sin)lg2 cos()lg(1sin 2 )22xxxxx. 解析：原式lg(sinx cosx) lg(cosx sinx) lg(sin x cosx)20（2010 湖南文数） 16. （本小题满分12 分）已知函数2( )sin 22sinf xxx（I）求函数( )f x的最小正周期。(II) 求函数( )f x的最大值及( )fx取最大值时x 的集合。（2010 浙江理数） （18）(本题满分l4 分)在 ABC 中,角 A、B、C 所对
2、的边分别为a,b,c，已知1cos24C(I)求 sinC 的值；()当 a=2， 2sinA=sinC 时，求 b 及 c 的长解析：本题主要考察三角变换、正弦定理、余弦定理等基础知识，同事考查运算求解能力。（）解：因为cos2C=1-2sin2C=14，及 0C所以 sinC=104. （）解：当a=2，2sinA=sinC 时，由正弦定理acsin AsinC，得c=4 由 cos2C=2cos2C-1=14，J 及 0C得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 19 页学习必备欢迎下载cosC=64由余弦定理c2=a2+
3、b2-2abcosC，得b26b-12=0 解得b=6或 26所以b=6b=6c=4 或c=4 （2010 全国卷 2 理数） （17）（本小题满分10 分）ABC中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5ADC，求AD【命题意图】 本试题主要考查同角三角函数关系、两角和差公式和正弦定理在解三角形中的应用，考查考生对基础知识、基本技能的掌握情况. 【参考答案】由 cos ADC= 0，知 B . 由已知得cosB=，sin ADC=. 从而 sin BAD=sin（ ADC-B ）=sin ADCcosB-cosADCsinB=. 由正弦定理得，所以=. 【点评】 三角函数与
4、解三角形的综合性问题，是近几年高考的热点，在高考试题中频繁出现.这类题型难度比较低，一般出现在17 或 18 题，属于送分题，估计以后这类题型仍会保留，不会有太大改变. 解决此类问题，要根据已知条件，灵活运用正弦定理或余弦定理，求边角或将边角互化 . （2010 陕西文数） 17. （本小题满分12 分）在 ABC中，已知B=45,D 是 BC边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6 ，求 AB的长 . 解在ADC中， AD=10,AC=14,DC=6, 由余弦定理得cos2222ADDCACAD DC=1003619612 1062, ADC=120 , ADB=60 在 ABD中， A
5、D=10, B=45, ADB=60 ，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 19 页学习必备欢迎下载由正弦定理得sinsinABADADBB, AB=310sin10sin 6025 6sinsin 4522ADADBB.（2010 辽宁文数） （17）（本小题满分12 分）在ABC中，abc、 、分别为内角ABC、 、的对边，且2 sin(2)sin(2)sinaAbcBcbC（）求A的大小；（）若sinsin1BC，试判断ABC的形状 . 解：（）由已知，根据正弦定理得cbcbcba)2()2(22即bccba222由余
6、弦定理得Abccbacos2222故120,21cosAA（）由（）得.sinsinsinsinsin222CBCBA又1sinsinCB，得21sinsinCB因为900 ,900CB，故BC所以ABC是等腰的钝角三角形。（2010 辽宁理数） （17）（本小题满分12 分）在 ABC 中， a, b, c 分别为内角A, B, C 的对边，且2 sin(2)sin(2)sin.aAacBcbC（）求 A 的大小；（）求sinsinBC的最大值 . 解：（）由已知，根据正弦定理得22(2)(2)abc bcb c即222abcb c由余弦定理得2222cosabcbcA故1c o s2A，A
7、=120 6 分（）由（）得：si nsi nsi nsi n ( 6 0BCBB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 19 页学习必备欢迎下载31cossin22sin(60)BBB故当 B=30时， sinB+sinC 取得最大值1。 12 分（2010 全国卷 2 文数） （17）（本小题满分10 分）ABC中，D为边BC上的一点，33BD，5sin13B，3cos5ADC，求AD。【解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。由ADC与B的差求出BAD，根据同角关系及差角公式求出BAD的正弦，在三
8、角形 ABD 中，由正弦定理可求得AD 。（2010 江西理数） 17.（本小题满分12 分）已知函数21cotsinsinsin44fxxxmxx。(1) 当 m=0 时，求fx在区间384，上的取值范围；(2) 当tan2a时，35fa，求 m 的值。【解析】考查三角函数的化简、三角函数的图像和性质、已知三角函数值求值问题。依托三角函数化简，考查函数值域，作为基本的知识交汇问题，考查基本三角函数变换，属于中等题. 解： （1） 当 m=0 时，22cos1cos2sin 2( )(1)sinsinsincossin2xxxf xxxxxx12 sin(2)124x，由已知3,84x，得22
9、,142x从而得：( )f x的值域为120,2（2）2cos( )(1)sinsin()sin()sin44xfxxmxxx化简得：11( )sin 2(1)cos 2 22f xxmx当tan2，得：2222sincos2tan4sin 2sincos1tan5aaaaaaa，3cos25a，代入上式， m=-2. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 19 页学习必备欢迎下载（2010 安徽文数） 16、（本小题满分12 分）ABC的面积是30，内角,A B C所对边长分别为, ,a b c，12cos13A。()求AB
10、 AC；()若1cb，求a的值。【命题意图】本题考查同角三角函数的基本关系，三角形面积公式，向量的数量积，利用余弦定理解三角形以及运算求解能力. 【解题指导】（1）根据同角三角函数关系，由12cos13A得sin A的值，再根据ABC面积公式得156bc；直接求数量积AB AC.由余弦定理2222cosabcbcA，代入已知条件1cb，及156bc求 a 的值 . 解：由12cos13A，得2125sin1()1313A. 又1sin302bcA，156bc. （）12cos15614413AB ACbcA. （）2222cosabcbcA212()2(1cos)12 156 (1)2513c
11、bbcA，5a. 【规律总结】根据本题所给的条件及所要求的结论可知，需求bc的值，考虑已知ABC的面积是 30，12cos13A，所以先求sin A的值，然后根据三角形面积公式得bc的值 .第二问中求 a 的值，根据第一问中的结论可知，直接利用余弦定理即可.（2010 重庆文数） (18).(本小题满分13 分), ( ) 小问 5 分， ( ) 小问 8 分.) 设ABC的内角 A、B、 C的对边长分别为a、 b、c, 且 32b+32c-32a=42bc . ( ) 求 sinA 的值；( ) 求2sin()sin()441 cos2ABCA的值 . 精选学习资料 - - - - - -
12、- - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 19 页学习必备欢迎下载（2010 浙江文数） （18）（本题满分）在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a,b,c,设S为 ABC 的面积，满足2223()4Sabc。（）求角C 的大小；（）求sinsinAB的最大值。（2010 重庆理数） （16）（本小题满分13 分，（ I）小问 7 分，（ II）小问 6 分）设函数22cos2cos,32xfxxxR。（I）求fx的值域；（II ）记ABC的内角 A、B、C 的对边长分别为a，b，c，若fB=1，b=1,c=3，求 a的值。精选学习资料 - - - - - -
13、 - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 19 页学习必备欢迎下载（2010 山东文数） (17) （本小题满分12 分）已知函数2( )sin()coscosf xxxx（0）的最小正周期为，（）求的值；（）将函数( )yf x的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数( )yg x的图像，求函数( )yg x在区间0,16上的最小值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 19 页学习必备欢迎下载（2010 北京文数） （15）（本小题共13 分）已知函数2( )2cos 2s
14、inf xxx（）求()3f的值；（）求( )f x的最大值和最小值解：（）22()2cossin333f=31144（）22( )2(2cos1)(1cos)f xxx23cos1,xxR因为cos1,1x, 所以，当cos1x时( )f x取最大值2；当cos0 x时，( )f x去最小值 -1。（2010 北京理数） （15）（本小题共13 分）已知函数(x)f22cos 2sin4cosxxx。（）求()3f的值；（）求(x)f的最大值和最小值。解：（ I）2239()2cossin4cos1333344f（ II）22( )2(2cos1)(1cos)4cosf xxxx=23cos
15、4cos1xx=2273(cos)33x,xR因为cosx 1,1，所以，当cos1x时，( )f x取最大值6； 当2c o s3x时，( )fx取最小值73（2010 四川理数） （19）（本小题满分12 分）（）1证明两角和的余弦公式C: cos()coscossinsin；2由C推导两角和的正弦公式S: sin()sincoscossin. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 19 页学习必备欢迎下载（）已知 ABC 的面积1,32SABAC，且35cosB，求 cosC. 本小题主要考察两角和的正、余弦公式、 诱导
16、公式、 同角三角函数间的关系等基础知识及运算能力。解： ( 1)如图，在执教坐标系xOy 内做单位圆O，并作出角 、与 ，使角 的始边为Ox，交 O 于点 P1，终边交 O 于 P2；角 的始边为 OP2，终边交 O 于 P3；角 的始边为 OP1，终边交 O 于 P4.则 P1( 1, 0), P2( cos , sin ) P3( cos( ), sin( ), P4( cos( ), sin( )由 P1P3P2P4及两点间的距离公式，得 cos( ) 12sin2( ) cos( ) cos 2 sin( )sin 2展开并整理得：22cos( ) 22( coscossin sin
17、) cos( ) coscossin sin .4分由易得cos(2 ) sin , sin(2 ) cossin( ) cos2( ) cos(2 ) ( ) cos(2 ) cos( ) sin(2 ) sin( ) sin coscossin 6 分( 2) 由题意，设ABC 的角 B、C 的对边分别为b、c则 S12bcsinA12ABACbccosA3 0 A( 0, 2), cosA3sinA又 sin2Acos2A1， sinA1010, cosA3 1010由题意， cosB35, 得 sinB45cos( AB) cosAcosBsinAsinB1010故 cosCcos (
18、 AB) cos( AB) 101012 分（2010 天津文数） （17）（本小题满分12 分）在ABC 中，coscosACBABC。（）证明B=C：（）若cosA=-13，求 sin4B3的值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 19 页学习必备欢迎下载【解析】本小题主要考查正弦定理、两角和与差的正弦、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，考查基本运算能力. 满分 12 分. （ ） 证 明 ： 在 ABC 中 ， 由 正 弦 定 理 及 已 知 得sin Bsin C=cosBcosC. 于 是sin
19、BcosC-cosBsinC=0 ，即 sin （ B-C） =0.因为BC，从而 B-C=0. 所以 B=C. （）解：由A+B+C= 和（）得A=-2B, 故 cos2B=-cos （-2B）=-cosA=13. 又 02B,ACOCOC ACAC故且对于线段上任意点 P 有OP OC，而小艇的最高航行速度只能达到30 海里 / 小时，故轮船与小艇不可能在A、C （包含 C ）的任意位置相遇，设COD=(0 90 ),103tanRt CODCD则在中，OD=10 3cos，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为1010 3 tan30t和10 3costv，所以10103 tan
20、3010 3cosv，解得15 33,30,sin( +30 )sin( +30 )2vv又故，从而3090 ,30tan由于时，取得最小值，且最小值为33，于是当30 时，10103 tan30t取得最小值，且最小值为23。此时，在OAB中，20OAOBAB，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30，航行速度为30 海里 / 小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。（2010 安徽理数） 16、（本小题满分12 分）设ABC是锐角三角形，, ,a b c分别是内角,A B C所对边长，并且22sinsin() sin() sin33ABBB。()求角A的值；()若12,2 7AB ACa，求,
21、b c（其中bc）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 19 页学习必备欢迎下载（2010 江苏卷） 17、（本小题满分14 分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度 H( 单位： m） ， 如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度 h=4m，仰角 ABE=， ADE=。(1)该小组已经测得一组、的值， tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位： m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问 d 为多少时，-最大？
22、解析 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。（1）tantanHHADAD，同理：tanHAB，tanhBD。AD AB=DB ，故得tantantanHHh，解得：tan4 1.24124tantan1.241.20hH。因此，算出的电视塔的高度H 是 124m。（2）由题设知dAB，得tan,tanHHhHhdADDBd，2tantantan()()1tantan()1HHhhdhddHHhH HhdH Hhdddd精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 19 页学习必备欢迎下载()2()H HhdH H
23、hd，（当且仅当()125 121 55 5dH Hh时，取等号）故当55 5d时，tan()最大。因为02，则02，所以当55 5d时，-最大。故所求的d是55 5m。（2010 江苏卷） 23.（本小题满分10 分）已知 ABC 的三边长都是有理数。1、求证 cosA 是有理数；（ 2）求证：对任意正整数n，cosnA 是有理数。解析 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。满分10 分。（方法一）（ 1）证明：设三边长分别为, ,a b c，222cos2bcaAbc，, ,a b c是有理数，222bca是有理数，分母2bc为正有理数，
24、又有理数集对于除法的具有封闭性，2222bcabc必为有理数，cosA 是有理数。（2）当1n时，显然cosA 是有理数；当2n时，2cos22cos1AA，因为 cosA 是有理数，cos2 A也是有理数；假设当(2)nk k时，结论成立，即coskA 、cos(1)kA均是有理数。当1nk时，cos(1)coscossinsinkAkAAkAA，1cos(1)coscoscos()cos()2kAkAAkAAkAA，11cos(1)coscoscos(1)cos(1)22kAkAAkAkA，解得：cos(1)2coscoscos(1)kAkAAkAcosA，coskA，cos(1)kA均是
25、有理数，2coscoscos(1)kAAkA是有理数，cos(1)kA是有理数。即当1nk时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosnA 是有理数。（方法二）证明：（1）由 AB、BC、AC 为有理数及余弦定理知222cos2ABACBCAAB AC是有理数。（2）用数学归纳法证明cosnA 和sinsinAnA都是有理数。当1n时，由（ 1）知cosA是有理数，从而有2sinsin1cosAAA也是有理数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 19 页学习必备欢迎下载假设当(1)nk k时，coskA和sinsinAkA都是有理数。当1nk时，由cos(1)coscossinsinkAAkAAkA，sinsin(1)sin(sincoscossin)(sinsin ) cos(sinsin) cosAkAAAkAAkAAAkAAkAA，及和归纳假设，知cos(1)kA和sinsin(1)AkA都是有理数。即当1nk时，结论成立。综合、可知，对任意正整数n， cosnA 是有理数。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 19 页