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1、学习必备欢迎下载高中不等式的知识要点1.不等式的基本概念（1）不等（等）号的定义：.0;0;0babababababa（2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2. 不等式的基本性质（1）abba（对称性）（2）cacbba,（传递性）（3）cbcaba（加法单调性）（4）dbcadcba,（同向不等式相加）（5）dbcadcba,（异向不等式相减） （6）bcaccba0,.（7）bcaccba0,（乘法单调性）（8）bdacdcba0,0（同向不等式相乘）(9)0,0ababcdcd（异向不等式相除）11
2、(10),0ab abab（倒数关系）（11）) 1,(0nZnbabann且（平方法则）（12）)1,(0nZnbabann且（开方法则）3. 几个重要不等式（1）0,0|,2aaRa则若（2）)2|2(2,2222ababbaabbaRba或则、若（当仅当a=b 时取等号）（3）如果a,b都是正数，那么.2abab（当仅当a=b 时取等号）极值定理：若,x yRxyS xyP则：1 如果 P是定值, 那么当x=y时， S的值最小；2 如果 S是定值 , 那么当x=y时， P的值最大 . 利用极值定理求最值的必要条件：一正、二定、三相等. 3,3abcabcRabc(4) 若 、 、则（当仅
3、当a=b=c 时取等号）0,2baabab(5) 若则（当仅当a=b 时取等号）2222(6)0|;|axaxaxaxaxaxaaxa时，或（7）|,bababaRba则、若精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载4. 几个著名不等式（1）平均不等式：如果a,b都是正数，那么222.1122abababab（当仅当a=b 时取等号）（2）柯西不等式：时取等号当且仅当（则若nnnnnnnnbababababbbbaaaababababaRbbbbRaaaa332211223222122322212332211
4、321321)();,（3）琴生不等式（特例）与凸函数、凹函数若定义在某区间上的函数f(x),对于定义域中任意两点1212,(),x xxx有12121212()()()()()().2222xxf xf xxxf xf xff或则称 f(x) 为凸（或凹）函数. 5. 不等式证明的几种常用方法比较法、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法、构造法. 6. 不等式的解法（1）整式不等式的解法（标根法）. 步骤：正化，求根，标轴，穿线（奇穿偶不穿），定解 . 特例一元一次不等式axb解的讨论；一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)解的讨论 . （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则( )
5、 ( )0( )( )0( ) ( )0;0( )0( )( )f x g xf xf xf x g xg xg xg x（3）无理不等式：转化为有理不等式求解1( )0( )( )( )0( )( )f xf xg xg xf xg x定义域20)(0)()()(0)(0)()()(2xgxfxgxfxgxfxgxf或32)()(0)(0)()()(xgxfxgxfxgxf（4）. 指数不等式：转化为代数不等式()()()( )()(1)( )( );(01)( )( )(0,0)( ) lglgfxg xfxg xfxaaaf xg xaaaf xg xab abf xab（5）对数不等式
6、：转化为代数不等式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载( )0( )0log( )log( )(1)( )0;log( )log( )(01)( )0( )( )( )( )aaaaf xfxf xg x ag xf xg xag xf xg xfxg x（6）含绝对值不等式1 应用分类讨论思想去绝对值；2 应用数形思想；3 应用化归思想等价转化)()()()(0)()0)(),(0)()(|)(|)()()(0)()(|)(|xgxfxgxfxgxgxfxgxgxfxgxfxgxgxgxf或或不同时为
7、考点一：不等式的性质1、(2012 辽宁 )若ba，则下列不等式正确的是( ) A、ba11B、33baC、22baD、ba考点二：均值不等式(基本不等式 ) 1、(2011 陕西 )设ba0，则下列不等式中正确的是( ) A、2baabbaB、bbaaba2C、2bababaD、bbaaab22、 (2010 安徽 )若0a，0b， 且2ba， 则下列不等式对一切满足条件的a、b恒成立的是. (1)1ab；(2)2ba；(3)222ba；(4)333ba；(5)211ba. 3、(2012 太原 )若正实数ba，满足1ba，则 ( ) A、ba11有最大值4B、ab有最小值41C、ba有最大
8、值2D、22ba有最小值224、(2011 湖北 )已知0a，0b，且1ab，aa4，bb4，则的最小值为 ( ) A、8B、9C、10D、125、(2012 郑州 )把一段长16 米的铁丝截成两端，分别围成正方形，则两个正方形面积之和的最小值为( ) A、4B、8C、16D、32考点三：互为倒数型(均值不等式运用) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载1、(2012 东北 )若042aRaaaM，则M的取值范围为( ) A、，44B、4，C、，4D、44，2、(2011 重庆 )若函数21xxxf2x
9、在ax处取得最小值，则a( ) A、21B、31C、3D、4考点四：巧用“1”型 (均值不等式运用) 1、(2011 湖南 )设Ryx，且0 xy，则2222411yxyx的最小值为；2、(2012 太原 )已知0ba、，13ba，则ba13的最小值为；3、(2012 湖北 )若10 x，则xx194的最小值为 ( ) A、24B、25C、26D、14、(2012 海南 )若直线0002babyax，被圆014222yxyx截得的弦长为4，则ba11的最小值是 ( ) A、232B、322C、3D、31考点五：换元型(均值不等式运用) 1、(2010 重庆 )已知0yx、，822xyyx，则y
10、x2的最小值是 ( ) A、3B、4C、29D、2112、(2011 浙江 )若实数yx、满足122xyyx，则yx的最大值是；考点六：一元多次不等式1、不等式0243132xxxx的解集为； 2、不等式42xx的解集为；3 、 (2012东 北 ) 已 知 函 数xf是 奇 函 数 ， 且 在,上 为 增 函 数 ， 若nm，满 足 等 式022nfmmf，则nm2的最大值是 ( ) A、0B、1C、4D、12考点七：不等式的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载1231230yxA(第 20 题)
11、 12 31230yx(第 20 题) 1、(2012 银川 )对于问题： “已知关于x的不等式02cbxax的解集为2, 1，解关于x的不等式02cbxax” ，给出了如下一种解法：解析：由02cbxax的解集为2 ,1，得02cxbxa的解集为1 ,2，即关于x的不等式02cbxax的解集为1 ,2. 参考上述解法，若关于x的不等式0cxbxaxk的解集为1 ,2131, 1，则关于x的不等式0111cxbxaxkx的解集为；考点八：线性规划1、(2010 三明 )已知已知x、y满足约束条件22075yxyx，则目标函数0kykxz .( ) A、有最小值，无最大值B、有最大值，无最小值C
12、、既无最大值，又无最小值D、既有最大值，又有最小值2、(2010 三明 )如图所示，x、y的可行解区域为阴影部分（包括边界部分），已知yaxz的最优解当且仅当在A处取得，则a的取值范围为；3、(2009 三明 )如图所示，x、y的可行解区域为阴影部分（包括边界部分），若yaxz取得最优解时的可行解的个数为无穷个时，则a的值为；4、(2011 三明 )已知x、y满足约束条件03203032yxyxyx，则xy1的取值范围为；5、(2012 福建 .文)若直线xy2上存在点yx,满足约束条件,032, 03mxyxyx则实数m的最大值为 ( ) .A1.B 1.C23.D 2精选学习资料 - -
13、- - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载6、(2012 福建 .理)若函数xy2图像上存在点yx,，满足约束条件, 032,03mxyxyx则实数m的最大值为.A21.B 1.C23.D 2考点九分式不等式的解法分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 如（1）解不等式25123xxx（答：( 1,1)(2,3)） ；（ 2 ） 关 于x的 不 等 式0bax的 解 集 为), 1
14、(， 则 关 于x的 不 等 式02xbax的 解 集 为_（答：),2() 1,(）.考点十绝对值不等式的解法：（1）分段讨论法（最后结果应取各段的并集） ：如 解不等式|21|2|432|xx（答：xR） ；（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式|1|3xx（答：(, 1)(2,)）（4）两边平方：如若不等式|32 | | 2|xxa对xR恒成立，则实数a的取值范围为 _。 （答：43）考点十一含参不等式的解法精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基
15、础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是” 。注意 ：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集 .（1）若2log13a，则a的取值范围是_（答：1a或203a） ；（2） 解不等式2()1axx aRax（答：0a时，|x0 x；0a时，1|x xa或0 x；0a时，1|0 xxa或0 x）提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。如关于x的不等式0bax的解集为)1 ,(，则不等式02baxx的解集为 _（答：（1,2） ）考点十二含绝
16、对值不等式的性质：ab、同号或有0| |abab| |abab；ab、异号或有0| |abab| |abab . 如设2( )13f xxx，实数a满足| 1xa，求证：|( )( )|2(| 1)f xf aa考点十三不等式的恒成立, 能成立 , 恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1). 恒成立问题若不等式Axf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上minfxA若不等式Bxf在区间D上恒成立 , 则等价于在区间D上maxfxB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
17、纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页学习必备欢迎下载（1） 设实数, x y满足22(1)1xy， 当0 x y c时，c的取值范围是_ （答：21,） ；（2） 不等式axx34对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围 _（答：1a） ；（3） 若不等式)1(122xmx对满足2m的所有m都成立，则x的取值范围 _ （答： （712,312） ） ；（4）若不等式nann1)1(2)1(对于任意正整数n恒成立，则实数a的取值范围是 _ （5）（答：3 2, )2） ；（5） 若不等式22210 xmxm对01x的所有实数x都成立，求m的取值范围 . （答：12m）2).能成
18、立问题若在区间D上存在实数x使不等式Axf成立 , 则等价于在区间D上maxfxA；若在区间D上存在实数x使不等式Bxf成立 , 则等价于在区间D上的minfxB. 如已知不等式axx34在实数集R上的解集不是空集，求实数a的取值范围（答：1a）3).恰成立问题若不等式Axf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Axf的解集为D；若不等式Bxf在区间D上恰成立 , 则等价于不等式Bxf的解集为D. 考点十四柯西不等式1已知 x2y1，求22xy 的最小值2若1401,( ),1xfxxx求( )f x的最小值，并求此时x的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载3已知, ,x y zR，且3xyz，求222xyz的最小值4已知 a2+b2+c2=1(a，b，cR)，求 a+b+c 的最大值5已知实数, , ,a b c d满足22223,2365abcdabcd，求a的最大值和最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页