2022年李庆扬数值分析第五版第7章习题测验答案 .pdf

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1、第 7 章复习与思考题1.什么是方程的有根区间？它与求根有何关系？P213，若( ) , f xC a b且( )(b)0f a f，根据连续函数性质可知( )0f x在 , a b内至少有一个实根，这时称 , a b为( )0f x的有根区间。2.什么是二分法？用二分法求( )0f x的根，f要满足什么条件？P213一般地，对于函数( )0f x如果存在实数c,当 x=c 时，若( )0f c,那么把x=c 叫做函数( )0f x的零点。解方程即要求( )0f x的所有零点。假定( )0f x在区间（ x，y）上连续，先找到a、b 属于区间（ x， y） ，使(a)(b)0ff，说明在区间(

2、a,b)内一定有零点，然后求(ab) / 2)f,现在假设(a)0,(b)0,ffab果(ab) / 2)0f，该点就是零点， 如果(ab) / 2)0f,则在区间(ab) / 2),b内有零点，从开始继续使用中点函数值判断。如果(ab) /2)0f，则在区间a,(ab) / 2)内有零点，从开始继续使用中点函数值判断。这样就可以不断接近零点。通过每次把f(x)的零点所在小区间收缩一半的方法，使区间的两个端点逐步迫近函数的零点，以求得零点的近似值，这种方法叫做二分法。从以上可以看出，每次运算后，区间长度减少一半，是线形收敛。3.什么是函数( )0 x的不动点？如何确定( )x使它的不动点等价于

3、( )f x的零点P215.将方程( )0f x改写成等价的形式( )xx，若要求*x满足( *)0f x，则*( *)xx；反之亦然，称*x为函数( )x的一个不动点。4.什么是不动点迭代法？( )x满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于( )x的不动点P215精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页求( )0f x的零点就等价于求( )x的不动点， 选择一个初始近似值0 x， 将它代入( )xx的右端，可求得10()xx，如此反复迭代有1(),0,1,2,.kkxxk，( )x称为迭代函数，如果对任何0

4、 , xa b，由1(),0,1,2,.kkxxk得到的序列kx有极限lim*kkxx， 则 称 迭 代 方 程 收 敛 ， 且*( *)xx为( )x的 不 动 点 ， 故 称1(),0,1,2,.kkxxk为不动点迭代法。5. 什 么 是 迭 代 法 的 收 敛 阶 ？ 如 何 衡 量 迭 代 法 收 敛 的 快 慢 ？ 如 何 确 定1()(0,1,2,.)kkxxk的收敛阶P219设 迭 代 过 程1()kkxx收 敛 于( )xx的 根*x， 如 果 当k时 ， 迭 代 误 差*kkexx满足渐近关系式1,0kpkeC Cconste则称该迭代过程是p 阶收敛的，特别点，当p=1 时

5、称为线性收敛，P1时称为超线性收敛，p=2 时称为平方收敛。以收敛阶的大小衡量收敛速度的快慢。6.什么是求解( )0f x的牛顿法？它是否总是收敛的？若( *)0f x，*x是单根，f是光滑，证明牛顿法是局部二阶收敛的。牛顿法：1()()kkkkf xxxfx当|() | 1kfx时收敛。7.什么是弦截法？试从收敛阶及每步迭代计算量与牛顿法比较其差别。在牛顿法的基础上使用2 点的的斜率代替一点的倒数求法。就是弦截法。收敛阶弦截法1.618 小于牛顿法2计算量弦截法 牛顿法（减少了倒数的计算量）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，

6、共 11 页8.什么是解方程的抛物线法？在求多项式全部零点中是否优于牛顿法？P229设已知方程( )0f x的三个近似根，12,kkkxxx， 以这三点为节点构造二次插值多项式p（x） ，并适当选取p2（x）的一个零点1kx作为新近似根，这样确定的迭代过程称为抛物线法。抛物线法的收敛阶1.840 大于弦截法1.618，小于牛顿法2可用于所想是的实根和复根的求解。9.什么是方程的重根？重根对牛顿法收敛阶有何影响？试给出具有二阶收敛的计算重根方法。10.什么是求解n 维非线性方程组的牛顿法？它每步迭代要调用多少次标量函数（计算偏导数与计算函数值相当）11.判断下列命题是否正确：（1）非线性方程（或

7、方程组）的解通常不唯一（正确）（2）牛顿法是不动点迭代的一个特例（正确）（3）不动点迭代法总是线性收敛的（错误）（4）任何迭代法的收敛阶都不可能高于牛顿法（正确）（5）求多项式( )p x的零点问题一定是病态的问题（错误）（7）二分法与牛顿法一样都可推广到多维方程组求解（错误）（8）牛顿法有可能不收敛（正确）（9）不动点迭代法1()kkxx，其中*( *)xx，若|( *) | 1x则对任意处置x0 迭代都收敛。（对）（10）弦截法也是不动点迭代法的特例（正确）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页习题1、用二分法求方

8、程012xx的正根，要求误差05.0。 解 令1)(2xxxf，则1)0(f，1)2(f，所以有根区间为2, 0；又因为1)1(f，所以有根区间为2, 1；25.015 .15.1)5.1(2f，所以有根区间为2,5 .1；0165175.175.1)75.1(2f，所以有根区间为75.1 , 5. 1；06411625.1625.1)625.1(2f，所以有根区间为625.1 , 5. 1；02563111691)1691()1691(2f，所以有根区间为625.1 ,1691；取59375.132191)8511691(21*x，这时它与精确解的距离05.0321)1691625.1 (2

9、1。2. 为求方程0123xx在5 .10 x附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式：1）2/11xx，迭代公式21/11kkxx；2）231xx，迭代公式3211kkxx；3）112xx，迭代公式1/11kkxx；试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似值。 解1 ）设211)(xx，则32)(xx，从而127165 .12)5 .1(3，所以迭代方法局部收敛。2）设321)(xx，则322)1(32)(xxx，从而116916)5.11(5.132)5 .1(3322，所以迭代方法局部收敛。3） 设11)(xx， 则23) 1(21)(x

10、x， 从而12)5 .0(21)5.1 (23，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页所以迭代方法发散。4）设1)(3xx，则2132)1(23)(xxx，从而1389)819(5.123)5 .1(21，所以迭代方法发散。3. 比较求0210 xex的根到三位小数所需的计算量：1）在区间1 , 0内用二分法； 2 ）用迭代法10/)2(1kxkex，取初值00 x。 解1 ）使用二分法，令210)(xexfx，则1)0(f，8)1(ef，有根区间为1 , 0；03)5.0(5.0ef，有根区间为5 .0, 0；05

11、.0)25.0(25. 0ef，有根区间为25.0 , 0；075.0)125.0(125.0ef，有根区间为125.0 ,0；05605.0813)161(161ef，有根区间为81,161；003578.01617)323(323ef，有根区间为323,161；03239)645(645ef，有根区间为323,645；06473)12811(12811ef，有根区间为323,12811；0128141)25623(25623ef，有根区间为323,25623；0256277)51247(51247ef，有根区间为51247,25623；0512559)102493(102493ef，有根区

12、间为102493,25623；从而090332.02048185)10249325623(21*x，共二分 10 次。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页2）使用迭代法1021kxkex，则1 .010201ex，0894829.01021. 02ex，0906391.01020894829.03ex，0905126.01020906391.04ex，即0905126.04*xx，共迭代 4 次。4. 给定函数)(xf，设对一切 x，)(xf存在且Mxfm)(0，证明对于范围M/20内的任意定数，迭代过程)(1kkk

13、xfxx均收敛于( )0f x的根*x。 证明 由)(1kkkxfxx可知，令)()(xfxx，则)(1)(xfx，又因为Mxfm)(0，M20，所以1)(1x，即1)(x，从而迭代格式收敛。5. 用斯特芬森迭代法计算第2 题中（ 2）和（ 3）的近似根，精确到510。斯特芬森迭代法是一种加速的方法。是埃特金加速方法与不动点迭代结合。6. 设2( )( )( )( )( )xxp x f xq x fx，试确定函数( )p x和( )q x，使求解( )0f x且以( )x为迭代函数的迭代法至少三阶收敛。7. 用 下 列 方 法 求013)(3xxxf在20 x附 近 的 根 。 根 的 准

14、确 值87938524.1*x，要求计算结果准确到四位有效数字。（1）牛顿法（2）弦截法，取012,1.9xx（3）抛物线法，取0121,3,2xxx 解1 ）33123313)()(23231kkkkkkkkkkxxxxxxxfxfxx，20 x，888889.1917323122231x，87945.15616105553)917( 31)917(2232x，迭代停止。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页2）31)()()13() 13(13)()()()(211211113133111kkkkkkkkkkkkk

15、kkkkkkkkkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxfxfxfxx，20 x，9. 11x，881094.1841158241.882.153229.19.11)29 .1(29 .1222x879411.1546204321102654244284161.08419 .11582158284142.955814339 .19.18411582)8411582(1)9.18411582(9.18411582222223x，迭代停止。3）,)(4)(2121kkkkkkkxxxfxfxfxx，其中)(,1211kkkkkkkxxxxxfxxf，2, 3, 1210 xxx，故3)(0

16、xf，17)(1xf，1)(2xf，1013)3(17)()(,010110 xxxfxfxxf，1632171)()(,121212xxxfxfxxf，6121016,021021210 xxxxfxxfxxxf，10)32(616，9465745.176101261410101223x，下略。8. 分别用二分法和牛顿法求0tanxx的最小正根。解：0 是函数的一个根， 02时，x 单调递增， tanx 单调递减，趋于负无穷。在此区间内，函数没有根。所以，最小正根大于2. 当 x 接近且大于2时，函数值为正， 当 x 接近且大于32时，函数值为负。 因此，最小正根区间为（2,32）, 选择

17、x1=2,函数值为 -0.1850 按二分法计算，略，493424.4*x。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页按牛顿迭代法，其迭代公式为1tan()()tan1kkkkkkkkxxf xxxxfxxc，取初始值 x=4.6，得493424.4*x9. 研究求a的牛顿公式0),(2101xxaxxkkk，证明对一切,2, 1k，axk且序列,21xx是递减的。证：显 然 ，0kx， 又 因 为02)()(2121kkkkkxaxaxaxax， 所 以,2, 1,kaxk，又02)(2121kkkkkkkxxaxxax

18、xx，所以序列是递减的。10. 对于0)(xf的牛顿公式)(/)(1kkkkxfxfxx，证明2211)/()(kkkkkxxxxR收敛到)(2/()(*xfxf，这里*x为0)(xf的根。证：211211222()/ ()()/()() /()kkkkkkkkkRxxxxfxfxf xfx2111211()/ ()() /()() /()kkkkkkkkkRxxxxf xfxf xfx111221122() /()()/()() /()() /()kkkkkkkkkkf xfxf xfxRRf xfxf xfx11. 用牛顿法（4.13 ） 和求重根迭代法（4.14） 计算方程2( )sin

19、02xf xx的一个近似根，准确到510，初始值02x。牛顿法（ 4.13） ，m=2 。12sin21sincos22()()kkkkkkkkkkxxf xxxmxxfxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页需要计算到510，取3.1415926。(7)*1.8955xx求重根迭代法（ 4.14）22212sin0.52 sin0.5cos0.52 sin0.5cos0.5sin0.52sincos0.()()()()(5)kkkkkkkxxxxxxxxxxxfxfxxxfxf xfxx需要计算到510，取3.1

20、415926。(13)*1.8955xx。注：matlab 编程计算得出的结果。12. 应用牛顿法于方程03ax，导出求立方根3a的迭代公式， 并讨论其收敛性。3122()12()33kkkkkkkkkf xxaaxxxxfxxx12322()12()3333kkkkkkkkkkkkkf xaxxxxxxfxxxaxaxx当30 xa时，31203kkkkaxxxx，说明迭代数列递增。当30 xa时，31203kkkkaxxxx，说明迭代数列递减。因此，迭代公式3122()12()33kkkkkkkkkf xxaaxxxxfxxx是收敛的。13. 应用牛顿法于方程01)(2xaxf，导出求a的

21、迭代公式，并求115的值。21323331()()231322322kkkkkkkkkkkkkaf xxxxxfxaxaxaxxaxaxxa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页令012341010.652210.723110.723810.7238xxxxx14. 应用牛顿法于方程0)(axxfn和01)(nxaxf，分别导出求na的迭代公式，并求21)/()(limknknkxaxa。0)(axxfn的迭代公式：1111()()(1)1nkkkkknkknknkknkf xxaxxxfxnxnxanxnaxnnxn

22、nnknknknknnkknkknnkkknnkknkknknkananannxnannxnxannxnnnxxaxanxanxaxnnaxaxa21)1( 2)1()1( 2)1(lim)1(2)1(lim)(2)(1(lim)()1(lim)(lim11212101)(nxaxf的迭代公式1111()1()(1)11nkkkkknkknknknkkf xaxxxxfxnaxnaxnaxxnxnna精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页nnnnkkknnkkknnkkknnkknkknnkknkknknkanaan

23、nanxnxanaaxnxanaxnanxanaxaxnanaxanaxaxnaxaxa212)1(2)1(lim)(2)(1(lim)(2)1() 1(lim)() 1(lim)()1(lim)(lim1121212115. 证明迭代公式axaxxxkkkk2213)3(是计算a的三阶方法。假定初值0 x充分靠近*x，求21)/()(limkkkxaxa。解：aaaaxaxxaxaaxxaaxxaxaxaaxaxxaxaxakkkkkkkkkkkkkkkkkkkk41)(3131lim)3()()(lim)3()()3()3(lim)(3)3(lim)(lim2223323223223116. 用抛物线法求多项式432( )4101.2551.5p xxxxx的两个零点，再利用降阶求出全部零点。17. 非线性方程组22122312130310 xxx xx在(0.4,0.7)T附近有一个解，构造一个不动点迭代法，使它能收敛到这个解，并计算精确到510（按?） 。18. 用牛顿法解方程组222211xyxy取(0)1.6,1.2Tx。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页