《2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：专项强化练 第6讲 复合函数的导数 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020届高考数学江苏省二轮复习训练习题：专项强化练 第6讲 复合函数的导数 .docx（4页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、第6讲复合函数的导数1.(2019南通通州、海门联考,23)已知函数f1(x)=sinx2,xR,记fn+1(x)为fn(x)的导数,nN*.(1)求f2(x), f3(x);(2)猜想fn(x),nN*的表达式,并证明你的猜想.2.(2019苏州检测,23)(1)设x-1,试比较ln(1+x)与x的大小;(2)是否存在常数aN,使得a1nk=1n1+1kka+1对任意大于1的自然数n都成立?若存在,试求出a的值并证明你的结论;若不存在,请说明理由.答案精解精析1.解析(1)f1(x)=sinx2,f2(x)=12cosx2, f3(x)=-14sinx2.(2)猜想: fn(x)=12n-1
2、sinn-12+x2.下面用数学归纳法证明:当n=1时, f1(x)=sinx2,结论成立;假设n=k(k1且kN*)时,结论成立,即fk(x)=12k-1sink-12+x2.当n=k+1时, fk+1(x)=fk(x)=1212k-1cosk-12+x2=12ksink-12+2+x2=12(k+1)-1sin(k+1)-12+x2.所以当n=k+1时,结论成立.综上,由可知,对任意的nN*,fn(x)=12n-1sinn-12+x2.2.解析(1)设f(x)=x-ln(1+x), f (x)=1-11+x=xx+1,当x(-1,0)时, f (x)0, f(x)单调递增.故函数f(x)有
3、最小值f(0)=0,则ln(1+x)x恒成立.(2)对于1+1mm,取m=1,2,3,4进行验算:1+111=2,1+122=94=2.25,1+133=64272.37,1+144=6252562.44,猜想:21+1mm3,m=2,3,4,5,.存在a=2,使得a1nk=1n1+1kk1,有1+1mm=Cm0+Cm11m+Cm21m2+Cmk1mk+Cmm1mm=1+1+m(m-1)2!1m2+m(m-1)(m-k+1)k!1mk+m(m-1)21m!1mm=2+12!1-1m+1k!1-1m1-2m1-k-1m+1m!1-1m1-m-1m2+12!+13!+1k!+1m!2+121+13
4、2+1k(k-1)+1m(m-1)=2+1-12+12-13+1k-1-1k+1m-1-1m=3-1m0(k=2,3,4,m),所以21+1mm3,从而有2nk=1n1+1kk3n成立,即21nk=1n1+1kk2+1,所以存在a=2,使得a1nk=1n1+1kka+1恒成立.证法二:由(1)知:当x(0,1时,ln(1+x)x,设x=1k,k=1,2,3,4,则ln1+1k1k,所以kln1+1k1,即ln1+1kk1,所以1+1kkeCk0+Ck11k=2,即21+1kk3对任意大于1的自然数k恒成立,从而有2nk=1n1+1kk3n成立,即21nk=1n1+1kk2+1,所以存在a=2,使得a1nk=1n1+1kka+1恒成立.