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1、立身以立学为先，立学以读书为本高等数学公式篇 平方关系：sin2()+cos2( )=1 tan2( )+1=sec2( ) cot2( )+1=csc2() 积的关系：sin =tan *cos cos=cot *sin tan =sin *sec cot =cos*csc sec=tan *csc csc=sec*cot 倒数关系：tan cot =1 sin csc=1 cos sec=1 直角三角形ABC 中, 角 A 的正弦值就等于角A 的对边比斜边 , 余弦等于角A 的邻边比斜边正切等于对边比邻边, 三角函数恒等变形公式 两角和与差的三角函数：cos( +)=cos cos-sin
2、 sin cos( -)=cos cos+sin sin sin( )=sin cos cos sin tan( +)=(tan+tan )/(1-tan tan ) tan( -)=(tan-tan )/(1+tan tan ) 三角和的三角函数：sin( +)=sin cos cos+cos sin cos+cos cos sin -sin sin sin cos( +)=cos cos cos-cos sin sin -sin cos sin -sin sin cos tan( +)=(tan+tan +tan -tan tan tan )/(1-tan tan -tan tan -ta
3、n tan ) 辅助角公式：Asin +Bcos=(A2+B2)(1/2)sin(+t)，其中sint=B/(A2+B2)(1/2) cost=A/(A2+B2)(1/2) tant=B/A Asin +Bcos=(A2+B2)(1/2)cos(-t)，tant=A/B 倍角公式：sin(2 )=2sin cos=2/(tan+cot ) cos(2 )=cos2( )-sin2()=2cos2( )-1=1- 2sin2() tan(2 )=2tan /1-tan2( ) 三倍角公式：sin(3 )=3sin -4sin3( ) cos(3 )=4cos3( )-3cos 半角公式：sin(
4、 /2)= (1-cos)/2) cos( /2)= (1+cos )/2) tan( /2)= (1-cos)/(1+cos)=sin/(1+cos )=(1-cos)/sin 降幂公式sin2()=(1-cos(2 )/2=versin(2)/2 cos2( )=(1+cos(2)/2=covers(2)/2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页立身以立学为先，立学以读书为本tan2( )=(1 -cos(2 )/(1+cos(2) 万能公式：sin =2tan( /2)/1+tan2(/2) cos=1 -ta
5、n2( /2)/1+tan2(/2) tan =2tan( /2)/1-tan2( /2) 积化和差公式：sin cos=(1/2)sin(+)+sin(-) cos sin =(1/2)sin(+)-sin( -) cos cos=(1/2)cos(+)+cos( -) sin sin =-(1/2)cos(+)-cos( -) 和差化积公式：sin +sin =2sin(+)/2cos(-)/2 sin -sin =2cos( +)/2sin(-)/2 cos+cos=2cos( +)/2cos(-)/2 cos -cos=-2sin(+)/2sin(-)/2 推导公式tan +cot =
6、2/sin2 tan -cot = -2cot2 1+cos2 =2cos2 1-cos2=2sin2 1+sin =(sin /2+cos /2)2 其他：sin +sin( +2/n)+sin(+2*2/n)+sin(+2*3/n)+ +sin +2*(n-1)/n=0 cos+cos( +2/n)+cos(+2*2/n)+cos(+2*3/n)+ +cos +2*(n-1)/n=0 以及sin2()+sin2(-2/3)+sin2(+2/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 三角函数的角度换算编辑本段 公式一：设 为任意角，终边相同的角
7、的同一三角函数的值相等：sin（2k ）sin cos （2k ） cos tan（2k ） tan cot（2k ） cot 公式二：设 为任意角， +的三角函数值与的三角函数值之间的关系：sin（ ） sin cos （ ） cos tan（ ） tan cot（ ） cot 公式三：任意角 与 -的三角函数值之间的关系：sin（ ） sin cos （ ） cos tan（ ） tan cot（ ） cot 公式四：利用公式二和公式三可以得到 -与 的三角函数值之间的关系：sin（ ）sin cos （ ） cos tan（ ） tan cot（ ） cot 公式五：精选学习资料 - -
8、 - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页立身以立学为先，立学以读书为本利用公式一和公式三可以得到2-与 的三角函数值之间的关系：sin（2 ） sin cos （2 ） cos tan（2 ） tan cot （2 ） cot 公式六：/2 及 3/2 与 的三角函数值之间的关系：sin（/2 ） cos cos （/2 ） sin tan（/2 ） cot cot （/2 ） tan sin（/2 ） cos cos （/2 ） sin tan（/2 ）cot cot （/2 ） tan sin（3/2 ） cos cos （3/2 ）
9、sin tan（3/2 ） cot cot （3/2 ） tan sin（3/2 ） cos cos （3/2 ） sin tan（3/2 ） cot cot （3/2 ）tan (以上 kZ) 部分高等内容编辑本段 高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：sinx=e(ix)-e(-ix)/(2i) cosx=e(ix)+e(-ix)/2 tanx=e(ix)-e(-ix)/ie(ix)+ie(-ix) 泰勒展开有无穷级数，ez=exp(z) 1z/1！z2/2！z3/3 ！z4/4 ！zn/n ！ 此时三角函数定义域已推广至整个复数集。 三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组y=
10、-y;y=y ，有通解 Q,可证明Q=Asinx+Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数双曲函数， 其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。特殊三角函数值a 0 30 45 60 90 sina 0 1/2 2/2 3/2 1 cosa 1 3/2 2/2 1/2 0 tana 0 3/3 1 3 None cota None 3 1 3/3 0导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(logln)(csc)(cscsec)(seccsc)(sec)(222222
11、11)(11)(11)(arccos11)(arcsinxarcctgxxarctgxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页立身以立学为先，立学以读书为本222212211cos12sinududxxtguuuxuux，一些初等函数：两个重要极限：CaxxaxdxCshxchxdxCchxshxdxCaadxaCxctgxdxxCxdxtgxxCctgxxdxxdxCtgxxdxxdxxx)ln(lncsccscsecseccscsinseccos22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaa
12、xdxCaxarctgaxadxCctgxxxdxCtgxxxdxCxctgxdxCxtgxdxarcsinln21ln211csclncscseclnsecsinlncosln22222222CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnxdxxdxInnnnarcsin22ln22)ln(221cossin222222222222222222222020 xxarthxxxarchxxxarshxeeeechxshxthxeechxeeshxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.590457182818284.
13、2)11(lim1sinlim0exxxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页立身以立学为先，立学以读书为本三角函数公式：诱导公式：函数角 A sin cos tg ctg -sin cos-tg -ctg90 -cossin ctg tg 90 +cos-sin -ctg -tg 180 -sin -cos-tg -ctg 180 +-sin -costg ctg 270 -cos-sin ctg tg 270 +-cossin -ctg -tg 360 -sin cos-tg -ctg 360 +sin co
14、stg ctg 和差角公式：和差化积公式：2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsinctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页立身以立学为先，立学以读书为本倍角公式：半角公式：cos1sinsincos1cos1cos12cos1sinsincos1cos1cos122cos12cos2cos12sinctgtg 正
15、弦 定 理 ：RCcBbAa2sinsinsin余 弦 定 理 ：Cabbaccos2222反三角函数性质：arcctgxarctgxxx2arccos2arcsin高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvukknnnvunnvnuvuvuCuv中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率：.1;0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsd
16、sKMMsKtgydxydss的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：定积分的近似计算：23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页立身以立学为先，立学以读书为本bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)(
17、)()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式：babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数：。代表平行六面体的体积为锐角时，向量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间,cos)(.sin,cos,cosPrPr)(Pr,cosPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaabababababababab
18、aajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页立身以立学为先，立学以读书为本（马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000czby
19、axczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvyxufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz，隐函数，隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(
20、),(),(),(),()(),(),(),(22),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组：微分法在几何上的应用：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页立身以立学为先，立学以读书为本),(),(),(30)(,()(,()(,(2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000
21、000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线方向导数与梯度：上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中
22、的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(gradsincos),(grad),(grad),(),(sincos),(),(多元函数的极值及其求法：不确定时值时，无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),( , 0),( , 00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABACCyxfByxfAyxfyxfyxfyyxyxxyx重积分及其应用：DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFF
23、FFaaMzxoydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdxdyyzxzAyxfzrdrdrrfdxdyyxf222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(), 0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin,cos(),(，其的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲面柱面坐标和球面坐标：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页立身以立学为先，立学以读书为本dvyxIdvzxIdvzyIdvxMd
24、vzMzdvyMydvxMxdrrrFddddrdrrFdxdydzzyxfddrdrdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzrdrdzrFdxdydzzyxfzzryrxzyxr)()()(1,1,1sin),(sin),(),(sinsincossinsincossin),sin,cos(),(,),(),(,sincos222222200),(0222，转动惯量：，其中重心：，球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分：)()()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL特殊情况：则：的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一
25、类曲线积分（对弧。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0 ,0(),(),(21212,)()()coscos()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00yxdyyxQdxyxPyxuyxuQdyPdxyPxQyPxQ
26、GyxQyxPGydxxdydxdyADyPxQxQyPQdyPdxdxdyyPxQQdyPdxdxdyyPxQLdsQPQdyPdxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxDLDLDLLLL曲面积分：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页立身以立学为先，立学以读书为本dsRQPRdxdyQdzdxPdydzdzdxzxzyxQdzdxzyxQdydzzyzyxPdydzzyxPdxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxPdxdyyxzyxzyxzyxfdsz
27、yxfzxyzxyxyDDDDyx)coscoscos(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页立身以立学为先，立学以读书为本dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRdxdyQdzdxPdydzdvzRyQxPnndiv)coscoscos(.,0div,div
28、)coscoscos()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：dstARdzQdyPdxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdxdydzdxdydzRdzQdyPdxdxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：，关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjirotcoscoscos)()()(常数项级数：是发散的调和级数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqqnn1312112)1(32111112级数审敛法：
29、散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理的审敛法或交错级数113214321,0lim)0,(nnnnnnnnurrusuuuuuuuuuuu绝对收敛与条件收敛：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页立身以立学为先，立学以读书为本时收敛时发散级
30、数：收敛；级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1 () 1()2()1 ()2()2() 1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数：0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点对于级数时，发散时，收敛于函数展开成幂级数：nnnnnnnnnx
31、nfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(! 2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(! 2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数：)()!12() 1(! 5! 3sin) 11(!)1() 1(! 2)1(1)1(121532xnxxxxxxxnnmmmxmmmxxnnnm欧拉公式：2sin2cossincosixixixixixeexeexxixe或三角级数：。上的积分在任意两个不同项的乘积正交性：。，其中，0,cos,
32、sin2cos,2sin,cos,sin, 1cossin)sincos(2)sin()(001010nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn傅立叶级数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页立身以立学为先，立学以读书为本是偶函数，余弦级数：是奇函数，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期nxaaxfnnxdxxfabnxbxfnxdxxfbannxdxxfbnnxdxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnncos2)(2, 1 , 0cos)(20sin)(3 ,2
33、,1nsin)(201241312116413121124614121851311)3 ,2 ,1(sin)(1)2, 1 ,0(cos)(12)sincos(2)(00022222222222222210周期为l 2的周期函数的傅立叶级数：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页立身以立学为先，立学以读书为本llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3, 2, 1(sin)(1)2, 1 , 0(cos)(12)sincos(2)(10其中，周期微分方程的相关概念：即得齐次方
34、程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。得：的形式，解法：为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程或一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程：)1 ,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方
35、程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程：通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果CyxuyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程：时为非齐次时为齐次，0)(0)()()()(22xfxfxfyxQdxdyxPdxyd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中式的通解：出的不同情况，按下表写、根据(*),32
36、1rr的形式，21rr(*)式的通解两个不相等实根)04(2qpxrxrececy2121两个相等实根)04(2qpxrexccy1)(21一对共轭复根)04(2qp242221pqpirir，)sincos(21xcxceyx二阶常系数非齐次线性微分方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页立身以立学为先，立学以读书为本型为常数；型，为常数，sin)(cos)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页