《2022年高一数学第一章集合总复习第二章部分知识讲解 2.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高一数学第一章集合总复习第二章部分知识讲解 2.pdf（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高一数学必修 1 第一章集合 总复习一、集合及其基本概念1、一般地，指定的某些对象的全体称为集合。集合常用大写字母A,B,C,D, 标记。集合中的每个对象叫作这个集合的元素。集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。注意：集合 0与空集的区别：前者是含有一个元素“0”的集合，后者是不含元素的集合。2、元素与集合的关系一个集合A与一个对象a，要么a是A中的元素，记作aA（读作a属于A） ；要么a不是A中的元素，记作aA（读作a不属于A） 。这个性质即为集合中元素的确定性。在元素与集合之间，只能用或表示，它们之间只存在这两种关系。3、集合的表示方法我们用列举法与描述法表示一个集合。列举法就是把集合中
2、的元素一一列举出来，并写在大括号中。描述法就是通过描述 集合中 所 有元素 的共同特性来表示 集合，一般写作|xx具有某种特性。我们应熟练记住一些常用的数学符号：自然数集可以用N表示；正整数集可以用+N表示；整数集可以用Z表示；有理数集可以用Q表示；实数集可以用R表示。二、集合与集合的关系1、子集对于两个集合A和B，如果集合A中任何一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B的子集，记作AB。任何集合都是自己的子集； 空集是任何集合的子集。2、真子集对于两个集合A和B，如果集合AB，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，记作AB。含有)N*(nn个元素的有限集合的子集个数
3、为2n个，真子集个数为21n个，非空子集个数为21n个，非空真子集个数为22n个。3、相等的集合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页对于两个集合A和B， 若AB且BA则称集合A与集合B相等， 记作AB。也就是说，集合A和集合B含有完全相同的元素。由定义可知，要证集合A与B相等，只需证明AB且BA。三、集合的运算集合的运算从文字语言、符号语言和图形语言三个角度来认识和理解。1、交集(1) 定义由集合A与集合B的所有公共元素组成的集合叫做A与B的交集，记作“AB” 。即|ABxxAxB且。(2) 交集的性质ABBA；AAA
4、；A；,ABAABB；若ABA，则AB；反之亦然。2、并集（1）定义由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A与B的并集，记作“AB” 。即|ABxxAxB或。（2）并集的性质ABBA；AAA；AA；,AABBAB；若ABB，则AB；反之亦然。2、并集（1）定义由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A与B的并集，记作“AB” 。即|ABxxAxB或。（2）并集的性质ABBA；AAA；AA；,AABBAB；若ABB，则AB；反之亦然。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页高一数学必修 1 第二
5、章 函数1、函数的定义（1） 古典定义：如果在某个变化过程中有两个变量x，y， 对于x在某个范围D内的每一个确定的值按照某种对应法则f，y都有唯一的值与它对应， 那么y就是x的函数，记作yfx，x叫做自变量，x的取值范围D叫做函数的定义域，和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（2） 现代定义： 非空数集A到非空数集B的一个映射f：AB（即A中每一个元素在B中都有唯一的元素和它对应）叫做A到B的函数，记作yfx，其中xA，yB，原象集A叫做函数的定义域，象集C叫做函数的值域（一般有CB）注意点： 函数定义中要求对定义域中的任何一个x， 在值域中有且只有一个y值和它对应；但
6、并不要求对于值域中的每一个y也只能有一个x和它相对应，即函数的对应法则可以是1 对 1，也可以多对 1，但不可以 1 对多（即定义域中一个x对应值域中一个以上的y） 定义域与值域都必须是非空数集 定义域的表示方法有：集合表示法、区间表示法（注意区间端点必须是实数） 函数的表示法有：1解析法；2图像法；3列表法其中，列表法不必通过计算就能知道两个变量之间的对应关系，比较直观。但是，它只能表示有限个元素间的函数关系。图像法可以直观地表示函数的局部变化规律，进而可以预测它的整体趋势。 解析法将函数的对应关系用自变量的解析表达式表示出来， 是表示函数的一种主要方法， 当函数解析式是用两个或两个以上的数
7、学式子给出时， 就成为分段函数， 分段函数的定义域为它在各段上定义域的并集2、函数的三要素函数的三要素为：定义域、值域、对应法则其中对应法则是核心注意点：两函数相同的充要条件是函数的三要素相同，但因为当函数的定义域和对应法则一旦确定， 函数值域也就随之确定， 因此判断两函数相同， 则只需看定义域和对应法则是否一致 （值域对应法则相同，不一定有定义域相同）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页3.映射：设,A B是两个非空的集合 ,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y
8、与之对应 ,那么就称对应:fAB为从集合A到集合B的一个映射 . 如果集合A中的元素x对应集合B中元素y,那么集合A中的元素x叫集合B中元素y的原象 ,集合B中元素y叫合A中的元素x的象. 映射概念的理解(1)映射BAf :包含三个要素 :原像集合 A,像集合 B(或 B 的子集 )以及从集合 A 到集合 B的对应法则f.两个集合 A,B 可以是数集 ,也可以是点集或其他集合 .对应法则f可用文字表述 ,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性 :映射是有次序的 ,一般地从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的; (2)任意性 :集合 A 中的任意一个元
9、素都有像 ,但不要求 B中的每一个元素都有原像; (3)唯一性 :集合 A 中元素的像是唯一的 ,即不允许 “ 一对多 ” ,但可以 “ 多对一 ”.函数与映射的关系函数是一种特殊的映射 .映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射BAf :函数ByAxxfy,),(集合 A,B 可为任何集合 ,其元素可以是物 ,人,数等函数的定义域和值域均为非空的数集对于集合 A 中任一元素a,在集合 B中都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个x,值域中都有唯一确定的值与之对应对集合 B中任一元素b,在集合 A 中不一定有原像对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应注：函数是特殊的映射
10、,映射是函数的推广 . 注意 （1）函数实际上就是集合A 到集合 B 的一个特殊对应f：AB。这里 A，B 为非空的数集。（2） A： 定义域，原象的集合；)(xf|xA ： 值域，象的集合，其中)(xf|xAB；f：对应法则，xA，yB 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页（3）函数符号：y=)(xf，y是x的函数，简记)(xf4、函数的定义域和值域：（1）一次函数)(xf=axb(a0)：定义域R，值域R（2）反比例函数)(xf=xk(k0)：定义域 x|x0 ，值域 y | y0 （3）二次函数)(xf=ax2b
11、xc(a0)：定义域R，值域：当a0 时，y|yabac442 ；当a0 时， y|yabac442 。5、函数的值：关于函数值)(af例析：若)(xf=x23x1，求)2(f。解：)2(f=22321=11 注意 （1）在y=)(xf中f表示对应法则，不同的函数其含义不一样；（2）)(xf不一定是解析式，有时可能是“列表” 、 “图象” ；（3）)(xf与)(af是不同的，前者为变数， 后者为常数，)(af是)(xf的一个特殊值。6、区间的概念设a、b是两个实数，而且ab，我们规定：（1）满足不等式axb的实数x的集合叫做闭区间，表示为a,b；（2）满足不等式axb的实数x的集合叫做开区间，
12、表示为（a,b） ；（3）满足不等式axb或者axb的实数x的集合叫做半开半闭区间，表示为),ba、,(ba；（4）实数集R可以用区间表示为 （ ,） ；满足不等式xa，xa，xb，xb的实数x的集合可以分别表示为 a,)， （a,） ， （ ,b，（ ,b） 。注意注意集合与区间之间的关系：区间是数集， 表示区间端点的两个实精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页数不能相等，但数集中不等式两端的两个实数可以相等，如axa。三、实例提升例析例 1、设集合 M=x|0 x2，N=y|0y2，从 M 到 N 有 4种对应如下图
13、所示：其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有 。解析根据对应的含义和函数的概念，可以看出能表示M 到 N 的函数关系。例析例 2、求下列函数的定义域：21)(xxf；)(xf=23x；)(xf=1xx21解析函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式y=)(xf，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数x的集合。解：x2=0，即x=2 时，分式21x无意义，而x2 时，分式21x有意义这个函数的定义域是 x|x2。3x20，即x32时，根式23x无意义而 3x20，即x32时，根式23x才有意义这个函数的定义域是 x|x32。当x10 且 2x0，精选
14、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页即x1 且x2 时，根式1x和分式x21同时有意义这个函数的定义域是 x|x1 且x2 另解：要使函数有意义，必须：x10 且 2x0 x1 且x2 这个函数的定义域是：x|x1 且x2 强调解题时要注意书写过程， 注意紧扣函数定义域的含义。 由本例可知，求函数的定义域就是根据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所求的函数的定义域。求函数的定义域的常见类型：（1）当)(xf为整式时，定义域为R；（2）当)(xf为分式时，定义域为使分母不为0
15、的x的集合；（3）当)(xf为 n 次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的x的集合；（4）当)(xf是由几个式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x的取值的集合。例析例 3、已知函数)(xf=3x25x2，求)3(f，)2(f，)1(af。解析解：f(3)=332532=14；)2(f=3(2)25(2)2=852；)1(af=3(a1)25(a1)+2=3a2a。例析例 4、下列函数中哪个与函数y=x是同一个函数？（1）2)(xy；（2）33xy；（3）2xy解析解： （1）y=x，x0，y0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数；（2）y=x，xR，yR，定义域值域都相同，是同一
16、个函数；（3）y=|x|=)0()0(xxxx，y0；值域不同，不是同一个函数。例析例 5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（1）3)5)(3(1xxxy52xy（定义域不同）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页（2）111xxy) 1)(1(2xxy（定义域不同）（3）21)52()(xxf52)(2xxf（定义域、值域都不同）注意两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。四、演练反馈1、函数) 13lg(13)(2xxxxf的定义域是（）A),31(B)1 ,31(C)31,31(D)31,(2、下列各组
17、，函数)(xf与)(xg表示同一个函数的是（）A)(xf=1，)(xg=x0 B)(xf=x0 ，)(xg=xx2C)(xf=x2，)(xg=4)(xD)(xf=x3，)(xg=93)( x3、已知函数)(xf=2x3，求：（1）)0(f，)2(f，)5(f；（2）)(xff；（3）若x0，1，2，3 ，求函数的值域。4、若4,3,2, 1A，,cbaB，, ,a b cR，则A到B的映射有个，B到A的映射有个， A到 B 的函数有个演练反馈答案： 1、B 2、D 3、 （1）)0(f=3，)2(f=1，)5(f=7； （2）)(xff=4x9； （3）值域为 3，1，1，3 4、81,64,81 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页