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1、高中数学专题讲解之抛物线考点 1 抛物线的定义：平面上与一个定点F 和一条直线lF 不在l上的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。抛物线的定义中条件“F不在l上”不可遗漏，否则，如果F 在l上，则轨迹为过F 且与l垂直的直线。题型：利用定义 , 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例 1、 1已知点 P在抛物线y2 = 4x 上，那么点P到点 Q2， 1的距离与点P到抛物线焦点距离之和的最小值为2抛物线y=4上的一点 M到焦点的距离为1，则点 M的纵坐标是 ( ) A. B. C. D. 0 例 2、求平面内到原点与直线20 xy距离相
2、等的点的轨迹方程，并指出轨迹所表示的曲线。例 3、求到点A2,0的距离比到直线:3lx的距离小1 的点的轨迹方程。稳固练习：1. 已知抛物线的焦点为，点，在抛物线上，且、成等差数列，则有A BC D. 2. 已知点F是抛物线的焦点 ,M 是抛物线上的动点, 当最小时 , M点坐标是 ( ) A. B. C. D. 3. 已知方程220 xpy p的抛物线上有一点M, 3m，点 M到焦点 F 的距离为5，求m的值。4、在正方体1111DCBAABCD的侧面11AABB内有一动点P到直线11BA与直线BC的距离相等 , 则动点P所在的曲线的形状为( ) 2x161716158722(0)ypx p
3、F111222()()P xyP xy，333()P xy，|1FP|2FP|3FP321xxx321yyy2312xxx2312yyy),4,3(Axy82MFMA)0,0()62, 3()4,2()62,3(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页考点 2 抛物线的标准方程题型：求抛物线的标准方程例 4、求满足以下条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：(1) 过点 (-3,2) (2)焦点在直线上稳固练习：1、假设抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合, 则的值2、 对于顶点在原点的抛物线，给出以下条件：焦点在
4、y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为1 的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为5；由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为2，1. 能使这抛物线方程为y2=10 x的条件是 _. 要求填写合适条件的序号3、 假设抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点， M为准线与Y轴的交点， A为抛物线上一点 , 且，求此抛物线的方程考点 3 抛物线的几何性质抛物线的几何性质 () ：标准方程图形焦点240 xy22ypx2213xyp3| ,17|AFAM0ppxy22pxy22pyx22pyx22yxOyxOyxOyxO)0 ,2(pF)0,2(pF)2, 0(pF)2, 0(pFA1B1BAP
5、(A)A1B1BAP(B)A1B1BAP(C)A1B1BAP(D)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页准线范围对称轴轴轴顶点0，0题型：抛物线中的最值问题：例 5、求抛物线24yx上的点 P到直线34150 xy的距离的最小值，并求出 P点的坐标。例 6、给定抛物线22yx，设 A,0 ,aaR，P是抛物线上的一点，且PAd，求d的最小值。例 7、长度等于3 的线段的两个端点在抛物线2yx上运动，求AB的中点 M到 y 轴的距离的最小值。题型：抛物线与直线的位置关系问题：例 8、 设 A、 B是抛物线22,ypx上的
6、点，且满足90AOBO为坐标原点 ，求证：直线AB过定点，并求出此定点。例 9、已知正方形ABCD 的两个顶点A、B在抛物线2yx上，另两个顶点C、D在直线4yx上，如图，求此正方形的边长。例 10、已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在 x 轴的正半轴上，设A、B是抛物线 C上的两个动点 AB不垂直于x 轴但8AFBF，线段 AB的垂直平分线经过定点Q6,0，求抛物线的方程。例 11、设点O 为抛物线的顶点，F 为抛物线的焦点且PQ为过焦点的弦，假设OFa，PQb，求OPQ的面积。2px2px2py2pyRyx,0Ryx, 00,yRx0, yRxxy108642245ODCBA精选学习资料 -
7、 - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页例 12、 如下图，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为 (5，0) ，倾斜角为4的直线l与线段OA相交 (不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程，并求AMN的最大面积 . 例 13、已知抛物线y2=2px(p 0), 过动点M(a,0) 且斜率为1 的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且 |AB| 2p. (1) 求a的取值范围 . (2) 假设线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求NAB面积的最大值 . . 解： (1) 设直 线l的方程为：y=xa,
8、代入抛物线方程得(xa)2=2px, 即x22(a+p)x+a2=0 |AB|=224)(42apa2p. 4ap+2p2p2,即 4app2又p 0, a4p. (2) 设A(x1,y1) 、B(x2,y2) ，AB的中点C(x,y), 由(1) 知，y1=x1a,y2=x2a,x1+x2=2a+2p, 则有x=222,2212121axxyyypaxx=p. 线段AB的垂直平分线的方程为yp= (xap), 从而N点坐标为 (a+2p,0 点N到AB的距离为papa22|2|从而SNAB=2222224)(4221papppapa当a有最大值4p时，S有最大值为2 p2. 基础稳固训练1.
9、 过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线A.有且仅有一条 B.有且仅有两条 C.1条或 2 条 D.不存在2. 在平面直角坐标系中，假设抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为5，则点P的纵坐标为A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 xy42)(422RaaaxOy24xyP精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页3. 两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且则抛物线的焦点坐标为( ) A B C D 4. 如果，是抛物线上的点，它们的横坐标依次为，F是抛物线的焦点，假设成
10、等差数列且，则= A5 B6 C 7 D95、抛物线准线为l ，l与 x 轴相交于点E，过 F 且倾斜角等于60的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A，AB l，垂足为B，则四边形ABEF的面积等于 A BC D6、设是坐标原点，是抛物线的焦点，是抛物线上的一点，与轴正向的夹角为，则为题型、焦点弦问题例 14、已知抛物线220ypx p，过焦点 F 的弦 AB的直线倾斜角为，求 AB的弦长。例 15、假设 AB是抛物线22(0)ypx p的焦点弦过焦点的弦，且11( , )A x y，22( , )Bx y，则：21 24pxx，21 2y yp。例 16、已知直线AB是过抛物线22(0)
11、ypx p焦点 F，求证：11AFBF为定值。例 17、已知 AB是抛物线22(0)ypx p的过焦点F 的弦，求证：1以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切。(2) 分别过 A、B做准线的垂线， 垂足为 M 、N，求证：以 MN为直径的圆与直线AB相切。与准线 l 相切922 5,ba2()yba x1(0,)41(0,)41(,0)21(,0)41P2P8P24yx1x2x8x)(,21Nnxxxn45921xxx|5FP,42Fxy的焦点为33343638OF24yxAFAx60OABAMNQPyxOF精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
12、-第 5 页，共 13 页例 18、假设抛物线方程为，过2 p，0的直线与之交于A、 B两点，则OA OB 。稳固练习：1、假设直线经过抛物线的焦点，则实数2、 过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、 B, 假设 A、 B在抛物线准线上的射影为,则 ( ) A. B. C. D. 题型、中点弦问题：例 19、过点 A0, 1，作直线l交抛物线24yx于 B、 C两点，求BC中点 P的轨迹方程。例 20、假设抛物线2yx上存在两点PQ关于直线:3lym x对称，求 m的取值范围。稳固练习：1、在抛物线上求一点，使该点到直线的距离为最短，求该点的坐标2、已知抛物线为非零常数的焦点为，点为抛物线上
13、一个动点，过点且与抛物线相切的直线记为1求的坐标；2当点在何处时，点到直线的距离最小？3、设抛物线的焦点为F，经过点 F的直线交抛物线于A、B两点点C在抛物线的准线上，且BCX轴证明直线AC经过原点O4、椭圆上有一点M -4，在抛物线 p0的准线l上，抛物线的焦点也是椭圆焦点. 1求椭圆方程；2假设点N在抛物线上，过N作准线l的垂线，垂足为Q距离，求 |MN|+|NQ| 的最小值 . 5、已知抛物线C的一个焦点为F，0 ，对应于这个焦点的准线方程为x=-. 1写出抛物线C的方程；2过F点的直线与曲线C交于A、B两点，O点为坐标原点，求AOB重心G的轨迹方程；22 (0)ypxp10axy24y
14、xa11,BA11FBA45609012024yx45yx2:axyCaFPcPclFPFl22ypx0p12222byax59pxy222121精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页3点P是抛物线C上的动点，过点P作圆x-3 2+y2=2 的切线，切点分别是M，N.当P点在何处时，|MN| 的值最小？求出|MN| 的最小值 . 课后作业：一、选择题本大题共10 小题，每题5 分，共 50 分1如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为A 1, 0 B 2, 0 C 3, 0 D 1, 0 2圆心在
15、抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是Ax2+ y 2-x-2 y -=0 Bx2+ y 2+x-2 y +1=0Cx2+ y 2-x-2 y +1=0 Dx2+ y 2-x-2 y +=0 3抛物线上一点到直线的距离最短的点的坐标是A 1， 1B C D 2，44一抛物线形拱桥， 当水面离桥顶2m时，水面宽 4m ，假设水面下降1m ，则水面宽为 Am B 2m C4.5m D9m 5平面内过点A-2，0 ，且与直线x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是Ay 2=2x By 2=4x Cy 2=8xDy 2=16x6抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点-5，
16、 m 到焦点距离是6，则抛物线的方程是Ay 2=-2xBy 2=-4xCy 2=2xDy 2=-4x或y 2=-36x 7过抛物线y2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y1) ，B(x2, y2) 两点，如果x1+ x2=6，那么 |AB|= A8 B10 C 6 D 4 8 把与抛物线y2=4x关于原点对称的曲线按向量a平移，所得的曲线的方程是 ABCD41412xy042yx41,21)49,23(66)3, 2()2(4)3(2xy)2(4)3(2xy)2(4)3(2xy)2(4)3(2xy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
17、第 7 页，共 13 页9过点 M 2，4作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线l有A0 条B1 条C 2 条D3 条10过抛物线y=ax2(a0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于P、Q两点，假设线段PF与 FQ的长分别是 p、q，则等于A2aBC 4a D 二、填空题本大题共4 小题，每题6 分，共 24 分11 抛物线y2=4x的弦 AB垂直于x轴， 假设 AB的长为 4， 则焦点到 AB的距离为12抛物线y =2x2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是13 P是抛物线y2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点 Q的坐标是14抛物线的焦
18、点为椭圆的 左焦点 ，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为三、解答题本大题共6 小题，共76 分15已知动圆M与直线y=2 相切，且与定圆C：外切，求动圆圆心M的轨迹方程 (12 分) 16已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M 3，m 到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和m的值12 分17动直线y =a，与抛物线相交于 A 点，动点B 的坐标是，求线段 AB中点 M的轨迹的方程(12 分) 18河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5 米时，水面宽为8 米，一小船宽4 米，高2米， 载货后船露出水面上的部分高0.75 米， 问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12
19、 分) 19如图，直线l1和l2相交于点M ，l1l2，点 Nl1以 A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等假设AMN 为锐角三角形，|AM|=， |AN|=3 ，且|BN|=6 建立适当的坐标系，求曲线段C的方程 (14 分) qp11a21a4314922yx1)3(22yxxy212)3 ,0(a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页20已知抛物线过动点M，0且斜率为1 的直线与该抛物线交于不同的两点A、B，求的取值范围；假设线段AB的垂直平分线交轴于点N，求面积的最大值(14 分 ) 参
20、考答案一选择题本大题共10 小题，每题5 分，共 50 分题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A D A B C B A C C C 二填空题本大题共4 小题，每题6 分，共 24 分11 2 12 13 1，0 14三、解答题本大题共6 题，共 76 分15 12 分 解析 ：设动圆圆心为M x，y ，半径为 r ，则由题意可得M到 C 0，-3 的距离与到直线y=3 的距离相等， 由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C 0，-3 为焦点，以y=3 为准线的一条抛物线，其方程为16 (12分) 解析 ：设抛物线方程为，则焦点F ，由题意可得，解之得或，故所求的抛物线方程为，1
21、7 12 分 解析 ：设 M的坐标为x，y ， A， ，又 B得消去，得轨迹方程为，即18 12 分 解析 ：如图建立直角坐标系，)0(22ppxyalpAB2|axNABRt4kxxy542yx122)0(22ppyx0 ,2p5)23(6222pmpm462pm462pmyx8262的值为m22aa)3 ,0(aayax22a42yxxy42OxyAAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页设桥拱抛物线方程为，由题意可知，B 4，-5 在抛物线上，所以，得，当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA
22、，则A ，由得， 又知船面露出水面上部分高为0 75 米， 所以=2 米19 (14 分) 解析 ：如图建立坐标系，以l1为x轴， MN的垂直平分线为y轴，点 O为坐标原点由题意可知：曲线C是以点 N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A 、B分别为 C的端点设曲线段C的方程为，其中分别为 A、B的横坐标，所以， 由，得联立解得将其代入式并由p0 解得，或因为 AMN 为锐角三角形，所以，故舍去p=4，由 点B 在 曲 线 段C 上 ， 得 综 上 得 曲 线 段C 的 方 程 为20 (14 分) 解析 ： 直线的方程为，将，得设直线与抛物线两个不同交点的坐标为、，)0(22ppyx6
23、.1pyx2.32Ay,2Ay2.32245Ay75.0Ayh)0,(),0(22yxxxppxyBABAxx ,MNp)0,2(),0,2(pNpM17AM3AN172)2(2AApxpx92)2(2AApxpxpxA414Axp22AxpAxp222Axp1Ax42pBNxB)0, 41(82yxxylaxypxyaxy22代入0)(222axpaxl),(11yxA),(22yxB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页则又， 解得设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为，则由中点坐标公式，得，又为等腰直角三角形
24、，即面积最大值为1、抛物线yx82的准线方程是。2、已知P是抛物线xy42上的动点，F是抛物线的焦点，则线段PF的中点轨迹方程是。3 抛物线xy22关于直线01yx对称的抛物线方程是。4、顶点在原点，以x轴为对称轴且经过点)3,2(M的抛物线的标准方程为_ 5、25、如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由假设干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。已知镜口圆的直径为12 米, 镜深 2 米，假设把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为_米. 6.5米6、 设 F为抛物线y2=4x 的焦点，A
25、、 B、 C为该抛物线上三点，假设0FCFBFA则|FA|+|FB|+|FC|=B (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 7、已知点( 1,0),(1,0)AB及抛物线22yx，假设抛物线上点P满足PAm PB，则m的最大值为A3 B2C3 D28 已知：点P与点 F2，0的距离比它到直线x40 的距离小2，假设记点P的轨迹为.),(2,04)(42212122axxpaxxapaaxyaxy2211,221221)()(|yyxxAB4)(221221xxxx)2(8app0)2(8,2|0apppABpapp2)2(8042pap),(33yxpaxxx2213paxaxyyy2)
26、()(22121322222)0()(|ppapaQMMNQpQMQN2|21QNABSNAB|22ABppp 22222pNAB22 p精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页曲线 C。 1求曲线C的方程。2假设直线L 与曲线 C相交于 A、B 两点，且OA OB 。求证：直线L 过定点，并求出该定点的坐标。解：1解法 A ：点 P 与点 F2，0的距离比它到直线x 40 的距离小2，所以点P 与点 F2，0的距离与它到直线x20 的距离相等。- 由抛物线定义得：点P在以F为焦点直线x 20 为准线的抛物线上，抛物线
27、方程为28yx。-) 解 法 B ： 设 动 点( ,)P x y， 则22(2)|4 | 2xyx。 当4x时 ，222(2)(6)xyx，化简得：28(2)yx，显然2x，而4x，此时曲线不存在。当4x时，222(2)(2)xyx，化简得：28yx。21,12,2),)x yx y设直线 L：y=kx+b与抛物线交予点(，( )a 若L斜率存在，设为 k，220,880,864320y kxbkkyybyxkb=则，-(1分)222211121212222288,648yxy ybby yx xkkyx所以又，得，1212,1y yOAOBx x由得，即81kb，8bk，-分)直线为(8)
28、yk x，所以(8,0)L过定点-(分)x(b) 直线 L与 轴垂直，则直线OA （或直线 OB ）的斜率为 1,28,(8 0)8yxxyx得直线 L过定点、-(分 )由 a b得：直线恒过定点(8,0)。9、已知抛物线, 椭圆经过点，它们在轴上有共同焦点，椭圆的对称轴是坐标轴。1求椭圆的方程；2假设 P是椭圆上的点，设T 的坐标为是已知正实数 ，求 P与 T 之间的最短距离。24yx(0,3)Mx( ,0)tt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页解 ： 1 抛 物 线 的 焦 点 为 1， 0 ， 设 椭 圆
29、方 程 为， 则所以椭圆方程为。2设，则。当时，即时，；当时，即时，；综上，。10、 1直线l过抛物线)0(22ppxy的焦点，且与抛物线相交于),(),(2211yxByxA两点，证明：221pyy；2直线l过抛物线)0(22ppxy的焦点，且与抛物线相交于),(),(2211yxByxA两点，点C在抛物线的准线上，且xBC/轴，证明：直线AC经过原点。11、已知抛物线24yx，F是焦点，直线l是经过点F的任意直线(1) 假设直线l与抛物线交于两点A、B，且OMAB(O 是坐标原点，M是垂足 ) ，求动点M的轨迹方程；(2) 假设C、D两点在抛物线24yx上，且满足4OC OD，求证直线CD必过定点，并求出定点的坐标22221(0)xyabab221,3abb22143xy( , )P x y2222()()3(1)4xPTxtyxt22(4 )12124xtt( 22)x102t4xt2(4 ,3 3)Ptt2min33PTt12t2x(2,0)Pmin2PTt2min133,0212 ,2ttPTtt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页