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1、20XX 年天津市大学数学竞赛试题（理工类）一、填空题（共15 分，每空 3 分）1设1e12sin)(1)(3xxxfxf，则极限)(lim0 xfn（6）2设函数)(xf连续切不等于0，又Cxxxxfarcsind)(，则)(dxfx（Cx232)1(31）3半径为R的无盖半球形容器中装满了水，然后慢慢地使其倾斜3，则流出的水量V（3833R）4 设 函 数)(xf可 微 ， 且1)0(0)0(ff， 又 设 平 面 区 域222tyxD：， 则d)(1lim2230Dtyxft（32）5给定曲线积分yxxyyICd2d)(33，其中C为光滑的简单闭曲线，取正向当曲线C的方程为时，I的值最
2、大（13622yx）二、单项选择题（共15 分，每空 3 分）1 设函数)(xf有连续导数，0)0(1)0(ff， 又设0 x时，ttftxxFxd)()()(022与kx是同阶无穷小，则（） (D)（A）1k（B）2k（C）3k（D）4k2设函数)(xf在点0 x的一个邻域内有定义，且满足2)(xxf，则有（） (B)（A）)(xf在点0 x处不一定可导（B）)(xf在点0 x处可导，且0)0(f（C）)(xf在点0 x处可导，且0)0(f（D）)(xf在点0 x处取得极小值3设连续函数)(xfy在区间23，和 32 ，上的图形分别是直径为1 的上半圆周和下半圆周，在区间02，和 20 ，上
3、的图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 4 页形分别是直径为2 的下半圆周和上半圆周（如图所示），如果xttfxG0d)()(，那么函数)(xG非负的范围是（） (A)（A）整个 33，（B）仅为2023，（C）仅为30 ，（D）仅为 30 23，4设函数)(xf在区间 10 ，上连续，且0)(xf记101d)(xxfI，202d)(sinxxfI，403d)(tanxxfI，则（） (B)（A）321III（B）312III（C）132III（D）123III5螺旋线zyx，sincos（20）上与平面0zyx平行的切线有
4、（） （B）（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条三、 设211)21(nnaa（， 321n） ，c o s0a（0） ，求极限)1(4limnnna（本题 7 分） （22，其中nna2cos）四、 设)(xF是)(xf的一个原函数，且xxfxFF2cos)()(1)0(，求积分xxfd)(10（本题 7 分）（)12(2，其中xxxFcossin)(）五、 已知曲面14222zyx上的点P处的切平面平行于平面12zyx，求切平面的方程（本题 7 分） （12zyx）六、 求积分xxxnndln10，其中n为正整数（本题 7 分）（1)1(!) 1(nnnn，其中xxxnnxxxnnnn
5、dln1dln11010）七、 设曲线C与曲线：1C22xy和曲线：2C2xy的位置如图，)(yxP，是曲线1C上任一点，过点P垂直于x轴的直线与曲线C和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 4 页2C围成图形记为A， 过点P垂直于y轴的直线与曲线C和1C围成图形记为B 若A和B分别绕y轴旋转而得到的旋转体的体积相等，求曲线C的方程（本题7 分）（24xy）八、 一个半径为r（1r）的小球嵌入一个半径为1 的大球中，二球的交线恰好是一个半径为r的圆周（如图） ，问当r为何值时，位于小球内、大球为的那部分立体体积达到最大？（本题
6、 7 分）（52r，其中11232d)1 (32ryyrV）九、 设函数)(xf在区间10 ，上具有二阶连续导数，0)1()0(ff，并且 对 于 区 间) 10( ，中 的 一 切x有0)(xf 若 积 分xxfxfd)()(10存 在 ， 证 明 不 等 式4d)()(10 xxfxf（本题 7 分）（ 提示：设)(xf的最大值为)(0 xf，在区间 1000，、，xx上对函数)(xf使用微分中值定理，然后再对积分缩小，其中区间与函数都缩小）十、 设是以原点和三点)110()111()010(，、，、，为顶点的四面体（1）将三重积分zyxzyxddde222表示为“先z次y后x”的三次积分
7、；（2）试证明310)de(61ddde2222xzyxxzyx（本题 7 分）（101deddddde222222xyxzyxzyxzyxzyx，提 示 ： 后 者 的 证 明 将 区 域101010*zyx，：分 成6 个 四 面 体 ， 由 对 换 性 得*222222ddde61dddezyxzyxzyxzyx）十一、 设C是沿抛物线xycos由点)( ，A到点)(，B的有向曲线，计算曲线积分CyxyyxxyxI22d)(d)(（本题 7 分）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 4 页（23，提示：用积分与路径无关，注意避开原点）十二、 设密度为 1 的流体的流速为kxixzVsin2，曲面S是由曲线012xzy，（21z）绕z轴旋转而成的旋转面，其法向量与z周正向的夹角为锐角，求单位时间内流体流向曲面正侧的流量Q（本题 7 分）（15128，提示：补面用高斯公式，或用换坐标公式）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 4 页